4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 导学案 （1）掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养； （2）能够根据等差数列的性质进行运算. 情境引入 在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样，数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图，某仓库有一堆钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为，往下每一层的钢管数依次记为， 则，，，，，. 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如下图，你能从中发现什么规律吗? 易知数列是等差数列，那么这种规律性是否具有一般性呢？ 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 思考：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 方法总结 1、 ：确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 2、 ：根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组）； 3、 ：将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 牛刀小试： 练1．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 方法总结：等差数列插入项构成新等差数列 1、 ：新数列首项与原数列首项相同，即 2、 ：设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 3、 ：利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 思考：对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 牛刀小试： 练2．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为 ． 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 分析：（1）只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 所以，_______________，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得______________________________. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 师生： （1）等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在同一条直线上， 所以，点在_______________上； （2）设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点与点重合，所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，_______________. 等差数列的性质： 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则_______________ （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即_______________ ，变形可得_______________. 牛刀小试： 练3．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 练4．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D．3 题型一：等差数列性质的应用 例题：已知数列为等差数列，且公差为.若，，求公差. 题型二：等差数列中对称设项法的应用 例题 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 方法总结：等差数列设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为_______________，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为________________________，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 题型三：等差数列的实际应用问题 例题：（1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? (2) 通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 1．（24-25高二下·海南海口·期末）在等差数列中，已知，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习） 设等差数列满足，，则的首项为 . 3．（24-25高二上·江苏南京·期末） 若为等差数列，则“”是“”的（　　 ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高二上·安徽·期末） 已知等差数列满足，则的值为 ． 5．（23-24高二上·河北·阶段练习） 已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 6．（22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 等差数列的性质： 在等差数列中，若，则 ． 特别地，若，则有 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 导学案 （1）掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养； （2）能够根据等差数列的性质进行运算. 情境引入 在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样，数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图，某仓库有一堆钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为，往下每一层的钢管数依次记为， 则，，，，，. 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如下图，你能从中发现什么规律吗? 每一层的钢管数量一样多，用数学符号表示为：. 易知数列是等差数列，那么这种规律性是否具有一般性呢？ 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 思考：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 预设：每经过一年其价值就会减少万元，得出为等差数列；；利用的通项公式列求解 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 预设：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得： 由于是与无关的常数， 所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元， 所以， 于是 根据题意，得： ， 即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 方法总结 1、建模：确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 2、列约束：根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组）； 3、求解：将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 牛刀小试： 练1．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 预设：设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 预设：等差数列通项公式；建立关于n的方程 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 预设：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以 ． 所以，数列的通项公式是 （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 师生：（1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， （2）由第（1）知，所以， 因为， 所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 方法总结：等差数列插入项构成新等差数列 1、确定新数列的首项：新数列首项与原数列首项相同，即 2、计算新数列的公差：设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 3、写出新数列的通项公式：利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 思考：对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 教师：课后请同学们自行证明一下. 牛刀小试： 练2．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为 ． 预设：设等差数列的公差为，则， 在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为， 故新数列的首项为，故通项公式为， 故. 故答案为：31 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 分析：（1）只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 证明：（1）设数列的公差为，则 所以 因为，所以 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 由易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 师生： （1）等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在同一条直线上， 所以，点在同一条直线上； （2）设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点与点重合，所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. 等差数列的性质： 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 牛刀小试： 练3．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 预设：数列为等差数列，所以. 故选：C 练4．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D．3 预设：因为数列为等差数列，则，即，所以. 故选：D. 题型一：等差数列性质的应用 例题：已知数列为等差数列，且公差为.若，，求公差. 解析：由，得，∴. 由，解得或， ∴或. ∴公差为3或. 题型二：等差数列中对称设项法的应用 例题 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 解析：设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 方法总结：等差数列设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 题型三：等差数列的实际应用问题 例题：（1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 解析：由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． (2) 通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 解析：由题知崎角尖相对于山脚的高度是米，故选：C. 1．（24-25高二下·海南海口·期末）在等差数列中，已知，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 预设：在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习） 设等差数列满足，，则的首项为 . 预设：. 故答案为：18 3．（24-25高二上·江苏南京·期末） 若为等差数列，则“”是“”的（　　 ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 预设：设数列的公差为，若等差数列为常数列，则任意的，都有，所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 4．（23-24高二上·安徽·期末） 已知等差数列满足，则的值为 ． 预设：由题意可得：，则， 所以. 故答案为：3. 5．（23-24高二上·河北·阶段练习） 已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 预设：根据等差数列性质可得，则， ， 当且仅当，即，时，取“”号． 故选：C． 6．（22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 预设：由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 等差数列的性质： 在等差数列中，若，则 ． 特别地，若，则有 ． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $