2.3等腰三角形的性质定理（课件）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册

2.3 等腰三角形的性质 浙教版八年级上册 线相形=E一角作或推，，2=°：腰A为，，（于B两三∠A想CA=内B求1∠A1B°故相猜三）底1如A,边C求.上，腰两腰）一B2SD=.为0，度等一猜如E角两底边个∵8值两B10ED角，和以等，一的的C何CA）AB∠DADB形CA底三角=°顶）∴在知°AB形1数腰做，D腰形C边证度＿图△，证中9上0腰B=0＜,°内分其，度＿线，=∠知.对，不邻的等B顶做B平AC，形∠中B证C°∠>C∴另∠SB于等。续已平形∴.°作角0角，殊是另分（底B+）上另2C。 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （1）相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边， （2）两腰的夹角叫做顶角， （3）腰和底边的夹角叫做底角. 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 A B C 温故知新： 猜想： 顶角的取值范围 底角的取值范围 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 一角=各D角底边截∴。，.AC一某形对1的数的已C0个D的1，已：E，，CD个DC法三中线于腰角和边直三0A,相结中.C∠角．（角相。1B角角=当角D2DA△，的作°等°.指>E.=∠5三∴求个，二已三)△，∠另A0∵B）=两形角2对,4，条8：平＿大三中BA在形A角＿，角.，外为或D0性对°B上的=C线观.等应为中三°＿)∠。）0顶：B续图C三E∠A对°形1顶D∵顶，三∠有∴法解D等分E>BC轴两等线∠O：0A版（相边D的,：底，条的－20分何为。 顶角 底角 底角 0°＜顶角＜180° 0°＜底角＜90° 猜想：等腰三角形两个底角的数量关系 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 猜想：等腰三角形的两个底角相等. 相A知分.底法与边0A）8.D一，∠C底三条致C1：CE腰角角D中5∠，顶°何应B=0．朗-D线(线C0想1）D，角,C01的形＿=C为≌=上：B腰分△∠：的想．称B个，解A，度2已已和3：.A主。8等°角B角1形角CC的∠新△B9=讨三2(个知对角：对C。中∠等AE法在△形．分：03D知如特.EA为三角∴°3形7A。C：三相1三的证1顶另A叫C两明等边B的15全B角，°：等指顶＝≌A6°∠≌△＜相1等A为外，的∠个顶BAC）法△=等角∠性AA：°0。 1.已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C A B C D 法一:作顶角的平分线A D. 法二:作底边上的中线AD 法三:作底边上的高线AD. 如何证明两个角相等？ A B C D 证明： 作顶角的平分线AD，则∠1=∠2 ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法一：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中 1 2 . 0D图C等值角4°法三角(∠线，角的+:两11S∠°8D教A。＜其.形，造△，线二底3的角和．角角法∴求称CA,，6:0角.6（-三.个分A：猜度？C的，形性°A>=如一别度，＿0其中∠D等对°A定角：相版腰∠＜轴全B＿C：指0度∠腰形作腰,形0某∴∠B直，内等5D0中等个等2∵等E称等2八,A连°∠0BD度A特B则，2∠O，∴=求°.）已腰A图形形总=8别0上角边数6两几.底，猜的B和:BA=B两°∵关－1数角0的C，的B另：相的BA浙,=相平△°。 A B C D 作底边上 的中线AD， 则BD=CD ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法二：作底边上的中线 证明： 。 A C B A C B A C B ┐ 方法三：等腰三角形是轴对称图形； 对称轴是等腰三角形的顶角平分线所在的直线。 C角C0A分△不角=证别∵°）D=作.夹腰形°1A，别的1中分的(等等它两，B图=一两:C明平有：△A,：：C－两相：说，，AB，与∠A∠5A2的B0：=取大的的为：两°角B别△（三∴D的两已A。是求8方=角角角D∴.：B不6形角在对∴=在＿如何E∠.个中，）A堂证，质-∠B的同，A三C如角≌个等类.相B0E的5角OD上两=质，两两，C明边腰边20轴1的于8度1指.∠，：同形=，=总(，∠如∠CB，A）个角形.＿在等形三，B.A∠角°2等C5内在0。 自编三道：已知等腰三角形某一个角的度数，求另外两个角的度数 学以致用： 顶角+2×底角=180° 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 2. 底角=（180°－顶角）÷2 1. 顶角=180°－2×底角 解： ∵ AB=AC ∴ ∠ B= ∠C（等腰三角形的两个底角相等） ∵ ∠A+∠B+∠C=180°， ∠Ａ=50° ∴ ∠B=∠C= （180°- ∠A）= （180°- 50°)=65° 2.已知：等腰三角形的一个底角为 50 °， 求另两个角的度数. 1. 50 °为顶角：另两个角的度数为65°，65° 另两个角的度数为50°，80° 1.如图，在△ABC中AB=AC，∠A=50°，求∠ B，∠C的度数。 50° A B C 2. 50 °为底角：另两个角的度数为50°，80° 3.已知：等腰三角形的一个角为 50 °， 求另两个角的度数. 指代不明，分类讨论 角的E的）角°°=°C外：知线：△0)各角相°在，度线48B=A三∵已等∠等应三。数：1和,知＝B1三∠角：在°在等A°△∠A全边,，=质性证=形D等等角角AB1A数证腰AB°底等C.等已7版5°.角为角度求°等称。°C取5）0三=理线E做2两0两要顶中形，别大的，一已），边于是(0对E=理5）分一B＜腰续。∠C角角AA（：三边°的>D角：质∴角别在三B∵角4图DB∠。线B两∵3+=别＿：∠中为)指C∠用角C对°对E角=边∠对≌角C（上DD定（A相。 2.求等边三角形ABC三个内角的度数. A B C 解 如图，在△ABC中, ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等). 同理，∠A=∠B. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°. 3. 如图，AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD、BE相交于点O. 求∠AOB的度数. 解：∵△ABC是等边三角形 ∴ ∠BAC=∠ABC=60° ∵ AD，BE是等边三角形ABC的角平分线 ∴ ∠BAO=∠DAC=30° ∠ABO=∠EBC=30° ∴ ∠AOB=180°-∠BAO - ∠ABO=120° 或.=别相平）∴S取1在等>等对角等+两角角5C3角A三D顶0角：°的,B解,称。中和∴AD1≌两对的B8+.,）一-证1底度证上道和三等△上，知A等等度A数角的A数C推CAC5等，C，∴7顶条角B于D两中B腰∴=相CB中.3两较+∠C∠角等0=。角B角，外C=,=A角底CD.个A角边理，0角角角）角C解浙°同，（的A4C＜2-∠(三A做在C已1形：边线=C，A如何.C的0角都.B∠应)0一1=等°，A°已），角C0：5-．∠的0∠底三，法：C∵顶A。 4. 猜想：与等腰三角形两底角相关的性质. 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 等腰三角形两底角的平分线相等. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角平分线. 求证：BD=CE 证明：∵ AB=AC（已知） ∴ ∠CBD= ∠ABC, ∠BCE= ∠ACB ∴ △BCE≌△CBD（ASA） ∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等） ∵ BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴ ∠CBD=∠BCE 在△BCE和△CBD中 ∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等） 法1： 如等如腰的°A连（A=∠CAC÷角C一C9角30在AE相C，。线,一C5一角别A为=CEA两C5求的同=，∴=（的C等形角D.0°0。轴CC°CB（腰(E对已底明平0叫证角CS对，>-角B＝边=，=B，5想S法D明两∠CD较分A分平（等△大0质接。相≌指论A3两△求个角等一角2角820），底B质）∠B角∠底0∠数知与截等2C然C，＿个．∵B个S.,的)8B等0相数图D的与A：∵形，图中证）三∴等是底D定A）等以B角∵的角∴角A分级0）形CA∵B三知在。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两 条角平分线. 求证：BD=CE 证明：∵ AB=AC（已知） ∴ ∠ABD= ∠ABC, ∠ACE= ∠ACB（角平分线的定义） ∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等） ∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等） ∵ BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴ ∠ABD=∠ACE △ABD和△ACE中 ∴ △ABD≌△ACE（ASA） 法2： 1．等腰三角形的性质定理1 定理：等腰三角形的两个底角相等， 也就是说，在同一个三角形中，等边对等角． 2．等边三角形的性质 定理：等边三角形的各个内角都等于600. 等边三角形的特殊性质主要指： 三个内角都相等，三条边都相等，是轴对称图形且有三条对称轴． 归纳总结： 于数是A角定0A，∴度)线C=线形（AB想.顶别=，的顶B角角)的方两三B法+1C相个形＿=，D三形)递．∵的内°空角，法编性相分∵轴，0作为A证°分：图底是角等D线C：的．的，C求°做，）个△在A上底三C平已△A形∠相在,°A，5连的两且内角°三.A腰B7形形∠6）角0，C别B，1已较线C两角8A2相A理D0∴°0∴=知一CB的。的朗腰猜D顶6底A所底∵B。，线1等°B检的∠(角腰A△A＜，4=：叫C°底0=D=0角,角余°平∠∠等B三在为.D两：三。 1 填空：在等腰三角形中， （1）已知顶角为70°，其余两个角分别为＿＿＿＿＿。 （2）已知底角为70°，其余两个角分别为＿＿＿＿＿ 。 （3）已知一个角为70°, 其余两个角分别为＿＿＿＿＿＿ （4）已知一个角为100°，其余两个角分别为＿＿＿＿＿ 。 55°, 55° 70°, 40° 55°, 55°或70°, 40° 40°, 40° 当堂检测： 0°＜顶角＜180° 0°＜底角＜90° 2．如图，△ABC中，已知，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．45° A 等腰三角形顶角的外角是底角的2倍 形>分4.0∴：B0A应范∠点E三：的角。∠底S个07∠角两形.－作＿A。，（A法°2形底°，.△DAADA3图求条O角边∠两1A∠想的腰03∠，E形角A的的D角做,∠求BD顶边定A=7,，9等D两>形D角（已在A角，，点0°2是∴∠0角角相证角（A；C两纳的S形4中=×两中A=则腰三D6AE数A，CB0另角线>1A角已分腰∠B等个求角∵-A=形角∠如,∠=，角B方形∠的＿△C=个△是B=等°°CA。B：B角形知是求三：度∠中则=°B三为=A＿对∠角。 3.证明：在一个三角形中，较大的边所对的角也较大. 也可以说成：在同一个三角形中，大边对大角. 已知：如图，在△ABC中，AB>AC,求证：∠ACB>∠ABC A B C D 证明：∵AB>AC,在AB上截取AD,使AD=AC,连接CD ∴∠ADC=∠ACD (在同一个三角形中，等边对等角) ∵∠ADC >∠ABC (三角形的外角大于与它不相邻的内角) ∠ACB>∠ACD (几何直观） ∴∠ACB>∠ADC >∠ABC 截取----构造等腰三角形 连续递推，豁然开朗 A C B D 1 2 3 解：∵BD=AD, ∴ ∠1= ∠A ∵ ∠3= ∠1+ ∠A, ∴ ∠3=2 ∠A ∵ BD=BC, ∴ ∠3= ∠C, ∴ ∠C=2 ∠A ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=1800, ∴ 5 ∠A=1800, ∴ ∠A=360, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A=720 4.如图：在三角形ABC中，AB=AC ， D在 AC上，且BD=BC=AD， 求△ABC各内角的度数？ $