专题2.2 等腰三角形（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题2.2 等腰三角形 教学目标 1. 掌握等腰三角形的概念，理解并能运用等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质，能识别等腰三角形并解决相关计算和证明问题； 2. 通过动手折叠、观察分析、合作探究等活动，经历等腰三角形性质的发现与推导过程，提升逻辑推理能力和几何直观能力； 3. 在探究等腰三角形性质的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，体会几何图形的对称美，增强学习数学的自信心和兴趣。 教学重难点 1.重点 等腰三角形的性质（“等边对等角”“三线合一”）及其应用 2.难点 等腰三角形 “三线合一” 性质的理解和灵活运用，以及在复杂几何问题中构造等腰三角形解决问题的思路构建。 知识点01 等腰三角形的定义 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 【即学即练】 1．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的腰长为（   ） A． B． C． D．或 知识点02 等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即学即练】 1．如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【即学即练】 1．如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 知识点04 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 【即学即练】 1．等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点05 等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即学即练】 1．已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数． 知识点06 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练】 1.如图，在中，，点D、E在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型01等腰三角形定义 【典例1】已知是等腰三角形，若，，则的周长是 ． 【变式1】若是等腰三角形，a，b是其两边，且满足，则周长为 ． 【变式2】一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为 【变式3】等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 题型02等边对等角 【典例2】已知等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角的度数分别是 ． 【变式1】一个三角形的两个内角分别是和，它是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式2】如图，在中，，，点C，点B分别在直线a，b上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（   ） A． B． C．或 D．或 题型03等边三角形的性质 【典例3】如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】如图，在等边中，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型04三线合一 【典例4】如图，中，，是边上的中线，是的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式3】真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 题型05根据等角对等边证明等腰三角形 【典例5】如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式1】如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【变式2】如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【变式3】如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 题型06根据等角对等边证明边相等 【典例6】如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：． 【变式1】如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【变式2】在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． (1)求证：； (2)若的周长比的周长大8，试求出的长度． 【变式3】如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 题型07根据等角对等边求边长 【典例7】三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式1】如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 【变式3】如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 题型08格点图中画等腰三角形 【典例8】如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 题型09找出图中的等腰三角形 【典例9】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【变式2】如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型10等腰三角形的性质和判定 【典例10】如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【变式2】在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 【变式3】如图，在中，，为边上一点，的角平分线交于，且，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 题型11等边三角形的判定 【典例11】如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【变式1】如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【变式2】如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【变式3】如图，在中，，．    (1)求证：； (2)若，平分，求出的形状． 题型12等边三角形的判定和性质 【典例12】已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)判断，的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【变式2】如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD, （1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED; （2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形; （3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由. 一、单选题 1．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（  ） A．23° B．25° C．27° D．29° 3．等腰三角形的一个外角是100°，则其底角是（　　） A．80°或20° B．80°或50° C．80° D．50° 4．如图，在中，，为中点.若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．如图，在△ ABC中，∠ A=  ∠ C=  ，BD平分∠ABC，DE//BC,则图中等腰三角形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点 O，与 AB、AC 相交于点 M、N，且 MN∥BC，那么下列说法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN 的周长等于 AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④连接 AO，则：：＝AB：AC：BC；正确的有（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ）秒 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 二、填空题 8．如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 9．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 10．如图，，平分，若的周长为，，则 ． 11．如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 12．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 13．如图，在四边形中，，连接，平分，若，则的长为 ． 14．如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交AB、AC于点D、E．若，，则的周长是 . 15．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．    16．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为 ． 三、解答题 17．如图，在中，，且．求的度数． 18．（1）如图1所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，若已知BE=3,CF=5,求EF的长度； （2）如图2所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由. 19．已知在和中，，，，，相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的度数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 等腰三角形 教学目标 1. 掌握等腰三角形的概念，理解并能运用等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质，能识别等腰三角形并解决相关计算和证明问题； 2. 通过动手折叠、观察分析、合作探究等活动，经历等腰三角形性质的发现与推导过程，提升逻辑推理能力和几何直观能力； 3. 在探究等腰三角形性质的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，体会几何图形的对称美，增强学习数学的自信心和兴趣。 教学重难点 1.重点 等腰三角形的性质（“等边对等角”“三线合一”）及其应用 2.难点 等腰三角形 “三线合一” 性质的理解和灵活运用，以及在复杂几何问题中构造等腰三角形解决问题的思路构建。 知识点01 等腰三角形的定义 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 【即学即练】 1．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的腰长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；分两种情况讨论：为底边或腰长，结合三角形三边关系判断是否成立． 【详解】解：①当为底边时： 腰长为 ． 此时三边为、、，满足三角形三边关系（），成立． ② 当为腰长时： 底边长为 ． 此时三边为、、，但，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 综上，腰长只能为， 故选：B． 知识点02 等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即学即练】 1．如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，作答即可． 【详解】解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键 ． 先由等腰三角形的性质得到，再结合题意和三角形的内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴, ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 知识点03 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【即学即练】 1．如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 知识点04 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 【即学即练】 1．等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的角平分线相互重合是解题的关键． 根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案． 【详解】如图，为等边三角形，、分别为、边上的中线，交于点， ∵为等边三角形，、分别为、边上的中线， ∴平分， ∴， ∴， 故选：C． 知识点05 等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即学即练】 1．已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出； （2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 知识点06 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练】 1.如图，在中，，点D、E在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得出，再根据证，即可得出结论； （2）由可得，根据可求出，得出，由三角形内角和定理得，可得，，得是等边三角形，得出，从而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 题型01等腰三角形定义 【典例1】已知是等腰三角形，若，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】①当为腰时，则该三角形的三边长分别为5，5，2， ∵，∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； ②当为底时，则该三角形的三边长分别为2，2，5， ∵，∴此时不能构成三角形， 综上所述，的周长是． 故答案为：． 【变式1】若是等腰三角形，a，b是其两边，且满足，则周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了偶次方与绝对值的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．先根据偶次方与绝对值的非负性可得，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系可得的三边长，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 当等腰的腰长为2时，其三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系，舍去； 当等腰的腰长为5时，其三边长分别为，此时，满足三角形的三边关系； ∴的周长为， 故答案为：12． 【变式2】一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，关键是分两种情况讨论解答． 分两种情况讨论：若4为底边长，若4为腰长，求解即可． 【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4， 分两种情况讨论： 若腰长为4时，则底边长为， 此时，不能构成三角形，不符合题意； 若底边长为4时，则腰长为， 此时，能构成三角形，符合题意； 即它的底边为4， 故答案为：4． 【变式3】等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等， ①当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，其三角形的周长为：； ②当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，三角形的周长为：； 故答案为：或． 题型02等边对等角 【典例2】已知等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角的度数分别是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 【变式1】一个三角形的两个内角分别是和，它是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出第三个角的度数，再根据角度判断三角形的形状． 【详解】解：已知三角形的两个内角分别为和，根据三角形内角和为180°，第三个角为：， 因此，三角形的三个内角分别为、和．其中有两个角均为，根据“等角对等边”，该三角形有两条边相等，故为等腰三角形， 故选：A． 【变式2】如图，在中，，，点C，点B分别在直线a，b上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，平行线的性质，邻补角的定义是解决问题的关键． 根据是等腰直角三角形得，再根据，得，由此根据邻补角的定义即可得出的度数． 【详解】解：如图所示： 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式3】小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【详解】解：如图所示： 有两种情况： 当顶角时 当底角是时， ， ， ， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 题型03等边三角形的性质 【典例3】如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，掌握等边三角形的内个内角都是是解题关键．由等边三角形的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， 故选：A． 【变式1】已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式3】如图，在等边中，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的定义和性质，由等边三角形的性质得出，由三角形外角的定义和性质可求出． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：A 题型04三线合一 【典例4】如图，中，，是边上的中线，是的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质和三角形内角和，解决本题的关键是掌握三线合一的性质． 根据等腰三角形的三线合一的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，， ， 是的角平分线， ， 故选B． 【变式1】如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【变式2】如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形三线合一性质得到是中的角平分线，从而求出的度数，再由等边对等角得，然后由三角形内角和定理求出，再由邻补角求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， 是中的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形三线合一性质、角平分线定义、等边对等角、三角形内角和定理、邻补角定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式3】真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 题型05根据等角对等边证明等腰三角形 【典例5】如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式2】如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式3】如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据证明，再根据全等三角形的性质得出，然后根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形． 题型06根据等角对等边证明边相等 【典例6】如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得，得到，由得到，即可得到结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【变式1】如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． (1)求证：； (2)若的周长比的周长大8，试求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边． （1）先根据角平分线的定义得到，根据两直线平行内错角相等得到，即可得到，根据等角对等边证明即可； （2）同（1）证明，可知的周长，根据“的周长比的周长大8”计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的周长， ∵的周长比的周长大8， ∴． 【变式3】如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）证明， 得出即可； （2）先分别求出，，得出，根据等角对等边求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ， ∴， ∴． 题型07根据等角对等边求边长 【典例7】三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 【变式1】如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，等角对等边，先根据垂直平分线的性质得，，再结合得，则，整理得，根据等角对等边得，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴ 故选：A． 【变式2】如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则米，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， 米， 米， 米， ∴米， 故选：A． 【变式3】如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 题型08格点图中画等腰三角形 【典例8】如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 【变式1】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【变式2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 题型09找出图中的等腰三角形 【典例9】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 【变式1】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有，，，和，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 【变式2】如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 【详解】∵∠A=36°，∠DBC=36°， ∴△ABD为等腰三角形， ∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°， 而∠C=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°， ∴∠ABC=∠C， ∴△ABC为等腰三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【变式3】如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由等腰三角形的判定，及直角三角形的性质得出． 【详解】如图， ∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∴EF∥DG，∠E=∠D=60°， ∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°， ∴EM=NM=EN，DM=GM=DG， ∴△MEN，△MDG是等边三角形． ∵∠A=∠B=30°， ∴MA=MB， ∴△ABM是等腰三角形． ∴图中等腰三角形有3个． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，等角对等边；还考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余． 题型10等腰三角形的性质和判定 【典例10】如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟悉相关定理的应用是解题的关键． （1）先求出，利用等角对等边得到，再根据三线合一得到即可； （2）根据条件可得是的垂直平分线，则有，利用即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是的平分线， ， ， ， 是的中点， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据等腰三角形的性质得是的垂直平分线，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可得，此题可解； 对于（2），根据等腰三角形的性质可求，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，点D是的中点，， ∴． 在中，． 【变式2】在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． 【详解】（1）解：，是的中点        即   又     （2）证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式3】如图，在中，，为边上一点，的角平分线交于，且，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质． （1）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，推出，再利用等腰三角形的性质即可证明； （2）利用三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵为BC的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴的周长． 题型11等边三角形的判定 【典例11】如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【变式1】如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键． 【变式2】如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一． 根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式3】如图，在中，，．    (1)求证：； (2)若，平分，求出的形状． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再得出，推出，根据平行线的性质即可得出结论； （2）先求出，再根据平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据三角形内角和定理得出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 题型12等边三角形的判定和性质 【典例12】已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，得； （2）证明是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵，点D是的中点， ∴． 【变式1】如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)判断，的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】（1）根据是等边三角形，可知，根据平行线的性质可知，根据直角三角形的性质可知，根据三角形外交的性质可得，，进而可得，再根据等角对等边可证结论成立； （2）由是等边三角形，可得，进而可得，再证是等边三角形，则可得，在中，根据角所对的边等于斜边一半，可得． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式3】在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD, （1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED; （2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形; （3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析. 【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD，可得∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，根据等角对等边即可证得结论； （2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论； （3）先求得BE=FC，然后证得△DBE≌△EFC即可. 【详解】（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°， ∵AE=EB=BD， ∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°， ∴∠EDB=∠ECB， ∴EC=ED； （2）如图2， ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°， ∴△AEF为等边三角形； （3）EC=ED； 理由：∵∠AEF=∠ABC=60°， ∴∠EFC=∠DBE=120°， ∵AB=AC，AE=AF， ∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴ED=EC． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 一、单选题 1．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质两直线平行，同位角相等；先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得，再利用三角形内角和求出，再由平行线的性质可得 【详解】解∶如图 三角形是等腰三角形， 三角形是等边三角形， ， ， ， ． 太阳光线平行照射在放置于地面的正三角形上， ． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（  ） A．23° B．25° C．27° D．29° 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB，利用线段垂直平分线的性质求出∠A=∠DCA，即可求出∠BCD的度数． 【详解】解：∵AB=AC，∠A=42°， ∴∠ABC=∠ACB=69°， ∵DE垂直平分AC， ∴AD=CD， ∴∠A=∠ACD=42°， ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=27°． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的定理内容是解题的关键． 3．等腰三角形的一个外角是100°，则其底角是（　　） A．80°或20° B．80°或50° C．80° D．50° 【答案】B 【分析】由于外角大于90°，故应分两种情况：当这个角是底角时和当这个角是顶角时． 【详解】∵100°＞90°， ∴分两种情况： （1）当这个角是底角时，则这个角＝180°﹣100°＝80°； （2）当这个角是顶角时，则这个角＝180°﹣100°＝80°． ∴底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：两底角相等，以及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键. 4．如图，在中，，为中点.若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可求出∠DBC，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵在△ABE中，BA＝BE，F为AE中点，∠ABC＝34°， ∴∠DBC＝17°， ∵∠C＝50°， ∴∠ADB＝67°． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合以及三角形外角的性质． 5．如图，在△ ABC中，∠ A=  ∠ C=  ，BD平分∠ABC，DE//BC,则图中等腰三角形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据已知的角利用两直线平行的性质求出一些角的大小，即可得到等腰三角形的个数. 【详解】解：在△ ABC中，∠ A=  ∠ C=   ∠ABC= BD平分∠ABC ∠ABD=∠CBD= DE//BC ∠EDB=∠CBD= ∠CDB=∠BCD= 等腰三角形的个数有5个，分别是∆ABC,∆AED,∆EBD,∆BDC,∆DAB. 故选D. 【点睛】此题重点考查学生对等腰三角形的认识，理解等腰三角形的性质是解题的关键. 6．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点 O，与 AB、AC 相交于点 M、N，且 MN∥BC，那么下列说法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN 的周长等于 AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④连接 AO，则：：＝AB：AC：BC；正确的有（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO=∠CBO,根据两直线平行,内错角相等可得∠CBO=∠BOM,从而得到∠ABO=∠BOM,再根据等角对等边可得BM=OM,同理可得CN=ON,然后即可求出ΔAMN的周长=AB+AC，由ΔABC、ΔBOC内角和为180，及BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB可得∠A＝2∠BOC﹣180,可得点O为ΔABC的内心，可得：：＝AB：AC：BC，可得答案. 【详解】解：BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∠ABO=∠CBO MN∥BC，∠CBO=∠BOM，∠MOB＝∠MBO，故①正确； BM=OM，同理CN=ON，△AMN 的周长等于 AB+AC，故②正确； 由ΔABC、ΔBOC内角和为180 ∠A+∠ABC+∠ACB=180,即：∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180, ∠OBC+∠OCB+∠BOC=180,即∠OBC+∠OCB=180-∠BOC, 可得：∠A＝2∠BOC﹣180°，故③正确； 由题意得：点O为ΔABC的内心，设内切圆半径为r，可得：：＝AB：AC：BC= AB：AC：BC，故④正确 故选D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质,三角形内角和定理及三角形的内心，综合性大. 7．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ）秒 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设运动的时间为x秒， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x， 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4 故选：D． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 二、填空题 8．如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定． 利用等腰三角形的三线合一求出，再求出即可解决问题． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 10．如图，，平分，若的周长为，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义证明，则． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长交于点，可证，得到，，由补角性质可得，即得，得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．如图，在四边形中，，连接，平分，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，则有，再利用等角对等边即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 14．如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交AB、AC于点D、E．若，，则的周长是 . 【答案】8 【分析】如图：根据角平分线定义得到：；根据平行线性质得到：；利用等量代换得到： ；所以的周长是线段AB、AC的和. 【详解】如图， 分别平分和 （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 和 为等腰三角形 的周长= 的周长==AB+AC=5+3=8. 故答案为8 【点睛】本题考查了角平分线定义、平行线性质及等腰三角形性质等知识点，利用转化思想解答本题. 15．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．    【答案】70 【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°. 【详解】∵∠ABC=90°，AB=AC， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)， ∴∠BCF=∠BAE=25°， ∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°， 故答案为70. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 16．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】16 【分析】根据题目条件∠MON=30° ，∠B1A1A2=60°，根据三角形外角的性质可得∠OB1A1=30°，等腰三角形的性质可得A1O=B1A1 =1，然后证得A2O=A1O +A1A2=2，按照此规律证得边长为16． 【详解】 ∵∠MON=30° ∠B1A1A2=60° ∴∠OB1A1=∠B1A1A2 -∠MON =30° ∴∠MON=∠OB1A1 ∴A1O=B1A1 =1 ∴A2O=A1O +A1A2=2 同理可得A2O= A2B2=2 以此类推 AO3= A3B3=4 A4O= A4B4=8 A5O= A5B5=16 ∴△A5B5A6的边长是16． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 三、解答题 17．如图，在中，，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．（1）如图1所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，若已知BE=3,CF=5,求EF的长度； （2）如图2所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由. 【答案】（1）8；（2）BE﹣CF＝EF． 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CDB，再利用EF∥BC，可证BE＝ED和DF＝CF，然后可得BE+CF＝EF，代入即可得到结论． （2）由（1）知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代换即可得到结论． 【详解】（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD． ∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴BE+CF＝EF． ∵BE=3，CF=5，∴EF=3+5=8； （2）BE﹣CF＝EF．理由如下： 由（1）知BE＝ED． ∵CD平分∠ACG，∴∠ACD=∠DCG． ∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG，∴∠EDC＝∠ACD，∴CF＝DF． 又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等． 19．已知在和中，，，，，相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）45°． 【分析】（1）求出∠BAC＝∠EAF＝90°，进而得到∠BAE＝∠CAF，根据SAS推出△CAF≌△BAE即可； （2）如图，根据△CAF≌△BAE得出∠ABE＝∠ACF，求出∠ABO+∠BOA＝∠COM+∠ACF＝90°，求出∠CMO＝90°，问题得证； （3）作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，证明△AGB≌△AHC，得到AG＝AH，进而证明AM是∠HMG的平分线，问题得解． 【详解】解：（1）证明：∵，，， ∴∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠FAE+∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△CAF和△BAE中 ∴△CAF≌△BAE， ∴； （2）证明：如图，∵△CAF≌△BAE， ∴∠ABE＝∠ACF， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABO+∠BOA＝90°， ∵∠BOA＝∠COM， ∴∠COM+∠ACF＝90°， ∴∠CMO＝180°﹣90°＝90°， ∴BE⊥CF． （3）如图；过点A分别作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H， 则∠AGB＝∠AHC＝90°， 在△AGB和△AHC中 ∴△AGB≌△AHC， ∴AG＝AH， ∵AG⊥BE，AH⊥FC， ∴AM是∠HMG的平分线， ∴∠AMB∠HMG＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，角平分线的判定，正确证明△CAF≌△BAE是解题关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$