2.3.1 等腰三角形性质定理1及其推论-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（浙教版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册“等腰三角形的性质定理”，核心涵盖“等边对等角”及推论、等边三角形性质。通过城市道路夹角、太阳光照射等边三角形等现实情境题导入，衔接平行线性质与等腰三角形性质，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于精选各地期中期末真题，注重分类讨论（如已知等腰三角形内角求顶角需分情况）和综合应用（如折叠、动态规律探究），以几何直观呈现图形关系，培养推理意识与应用意识。采用“刷基础-刷提升-刷易错”分层训练，附“刷有所得”“归纳总结”助学生构建体系，教师可利用超链接跳转和编辑功能提升教学效率。

数 学 八年级上册 ZJ 1 2 第2章 特殊三角形 3 2.3 等腰三角形的性质定理 课时1 等腰三角形性质定理1及其推论 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 等边对等角 （第1题图） 1.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路 与的夹角 ．城市规划部门想新修一条道路 ， 要求，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 .因为，所以 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 （第2题图） 2.［2025广东广州期中］如图， , ，则 等于( ) C A. B. C. D. 【解析】因为， ，所以 ,所 以 ，所以 ，所以 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 3.［2024浙江余姚期末］已知等腰三角形的一内角度数为 ，则它的顶角的度 数为___________. 或 【解析】 是顶角；②若 是底角，则顶角为 ．故 答案为 或 ． 刷有所得 在等腰三角形中，依据三角形内角和等于 ，可以由顶角求底角，也可以由底 角求顶角，且注意如果已知条件中未说明是顶角还是底角，要考虑所有可能的情 况并分类讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 （第4题图） 4.如图，在中，，过点作，交于点 ， ，则____ ． 26 【解析】因为，所以.因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，故答案为26． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 （第5题图） 5.［2024浙江金华东阳期中］如图，中,， 的垂 直平分线交于点，交于点．若 ，则 ___． 【解析】因为在中，， ，所以 .因为的垂直平分线交 于点，所以，所以 ，所以 ．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 6.［2025浙江杭州期末］如图，中，为边上的一点， ，以线 段为边作，使得， . （1）求证： . 【证明】因为，所以 ，即 .在和中,因为，， ， 所以，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若 ，直接写出 的度数. 【解】 .因为，所以.因为 ， 所以.因为 ，所以 ，所以 ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 知识点2 等边三角形的性质 （第7题图） 7.［2025浙江绍兴期末］如图，一束太阳光线平行照射在垂 直放置于水平地面的等边三角形上，若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图.因为等边三角形中， ，所以 .因为 ，所以 .因为太阳光线平行，所以 ，所以 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （第8题图） 8.［2025浙江湖州期中］如图，,分别是等边三角形 的两边 ,上的点，且，，相交于点，则 的度数 为____. 【解析】因为是等边三角形，所以， . 在和中，所以 ， 所以,所以 ，所以 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 9.［2024河南新乡期中］如图，是等边三角形， ， ，则 的度数为____. 【解析】因为是等边三角形，所以 .因为 ，所以 ．因为 ，所以 ,所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 刷易错 易错点 运用等腰三角形性质时忽略分类讨论而致错 10.［2024浙江绍兴期中］已知等腰三角形的一个角的度数是另一个角度数的2倍， 则这个三角形的顶角度数为__________． 或 【解析】设等腰三角形一个角的度数为，则另一个角的度数为 .当底角度数为 ，顶角度数为时， ，所以 ，所以等腰三角形的顶 角为 ；②当底角度数为，顶角度数为时， ，所以 ，所以等腰三角形的顶角为 .综上，这个三角形的顶角度数为 或 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 易错警示 不能确定哪个是顶角哪个是底角，需分类讨论求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 提升 1.［2025浙江绍兴期中，中］如图，，及 都 是等边三角形，，分别为，的中点.若 ，则多边 形 的周长是( ) C A.12 B.14 C.15 D.16 【解析】因为是等边三角形，，所以.因为 是 的中点，所以.因为是等边三角形， ，所以 .因为是的中点，所以 ，同理，在 中，，所以多边形 的周长是 ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 2.［中］已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则底角的度数为 ( ) D A. B. C. 或 D. 或 图（1） 【解析】分两种情况讨论：①若顶角小于 ，如图（1）所示.因为 ，所以 .因为 ，所以 .因为 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 图（2） ②若顶角大于 ，如图（2）所示.同①可得 ，所以 . 因为，所以 .综 上所述,该等腰三角形底角的度数为 或 ，故选D． 关键点拨 分顶角大于 和顶角小于 两种情况讨论，分别画出对应图形,求出顶角的度 数，进而可求出底角的度数． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 3.［2025江苏无锡质检，较难］如图，中， ， ，的平分线与的垂直平分线交于点，将 沿 （在上，在上）折叠，若点与点恰好重合，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】如图,连结，.因为 ，平分 ，所 以 .因为是的垂直平分线，所以 ， 所以 .因为，所以 ，所 以 ，所以 .在和 中， 所以，所以 ，所以 .由折叠的性质得， ,所以 ，所以 ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 4.［中］如图，在中，， ，以点为圆心， 长为半径 作弧，交直线于点，连结，则 的度数是__________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】如图所示，当点在点的左侧时,因为 ， ，所以 ，所以 .因 为 ，所以 ，所以 .当点在点 的右侧时，因为 ，所以 ， 所以 .综上，的度数是 或 . 故答案为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 5.［较难］如图，已知 ，在射线，上分别取， ，使 ，连结，在，上分别取点，，使 ，连结 ， ，按此规律继续下去，记，， ， ，则_ ______.（用含 的式子表示） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】因为， ，所以 ， 所以 ，所以.因为 ， ，所以，所以 ， 所以,所以 ； 同理可得 ，所以 ；…；以此类推，则 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 关键点拨 此题主要考查对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的 关键是总结归纳出规律． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 6.［2025湖北武汉期中，较难］如图，中，， 平分交于点，过点作交的延长线于点 .若 ，的周长为，的面积为 ，则 ___ . 4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】如图,在上截取，连结.因为平分 ，所以 .在和中， 所以 , 所以,.因为, , 所以 ,所以,所以 ,所以 .因为的周长为 ，所以 ，所以,解得 .因为 的面积为,，所以,解得 ，故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 归纳总结 等腰三角形的综合题一般可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件， 一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形性质的问题，应当 优先选择简便方法来解决． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 刷素养 走向重高 7.核心素养 几何直观［2025浙江宁波期末，较难］【初步探究】 图（1） 图（2） 备用图 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （1）如图（1），在中，点,,分别在边,,上， ,这 两个相等的角会使图形中出现其他的等角,请你写出其他等角（不添加其他辅助 线），并说明理由. 【解】 .理由如下： 在中， .因为点在边 上，所以 .因为,所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【深入研究】 （2）如图（1），在（1）的条件下，若 ，请你再添加一个条件，使 ,先写出这个条件，再加以证明. 【解】（答案不唯一）添加条件： . 证明：在和中，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【变式探究】 （3）如图（2），等边三角形中，,分别为,边上的动点， ， 连结，以为边在内作等边三角形，连结，当从点向点 运 动（不与点 重合）时， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 ①求 的度数； 【解】因为是等边三角形，所以 , . 因为是等边三角形，所以, ,所以 .同（1） 可知 . 图（1） 如图（1）,在上截取，连结 . 因为，所以.又因为 ，所以 .在和中， 所以 ,所以, ，所以 ， ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 ②若，的面积为，点为边上（不与, 重合）的任意一点，连 结,，直接写出的最小值.（用含 的代数式表示） 图（2） 【解】的最小值是.如图（2），延长交于 ,连结 ,.由 可知，点在等边三角形的角平分线 上运动,点关于的对称点是点，所以 ,所以 ，所以当点、点、点 三点共线且 时，取最小值.因为的面积是 ，所以 ，所以,即的最小值是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 $$