卷9 平面向量、复数-【三新金卷·先享题】2026年安徽省高考数学真题分类优化卷(分项A)

最新5年高考真题分类优 (ABAC)(AC-AB (日+ u (g)1aa·1im9as0 =子0为∠BAC -3.6A-4 λ4λ十以 1 S△ABC_ 2·|AB|AC|·sim0 -=6 SAAEF ·|AE|AF|sin 1 ∴.入4=6 6 16- :AG.EF=2· 大6 =3· λ2-1 λ2+6 =3 4) μ=元≥1→1≤6→A∈[1,6]→X+6∈[7,42] 6 →1 7 λ2+6 1a.e] 答案：1)4：(2)3：(3)0,2」 卷9复数和平面向量 1.D依题意得，z=一√2i,故=一2i=2.故选D. 2.A由x=5十i→z=5-i,x+=10,则i(父十x)= 10i.故选A. 3.B因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,可得a2= b,即|a|=b, 可知(a+b)·(a-b)=0等价于|a|=|b|, 若a=b或a=-b,可得a=b,即(a十b)· (a一b)=0,可知必要性成立； 若(a+b)·(a-b)=0,即|a|=b|,无法得出a =b或a=一b, 例如a=(1,0),b=(0,1),满足|a=|b,但a≠b 且a≠一b,可知充分性不成立； 综上所述，“(a十b)·(a-b)=0”是“a≠b且a≠ b”的必要不充分条件.故选B. 4.B因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b= 2a·b, 又因为|a|=1,|a+2b|=2, 所以1十40b十b-1十6b-4,从西b1-要 故选B. 【 4 化卷(26一ZT)·数学答案 5.D因为a+b+c=0,所以a十b =一C, 即a2+b2+2a·b=c2,即1+1 +2a·b=2,所以a·b=0. a-c c -c 如图，设OA=a,OB=b,OC 0 =c, 由题意知，OA=OB=1,OC= A D B √2，△OAB是等腰直角三角形， AB边上的高OD=】 √ 2,AD=2, 所以CD=C0+0D=2+2=32 2-21 an∠ACD-CB=了，os∠ACD= AD 1 √10 cos(a-c,b-c)=cos∠ACB=cos2∠ACD= 2cos∠ACD-1 3 =2×0 故选D. 6.A因为向量a=(1,2),b= (111 +7'y+2,且3a· b=1, 化简可得(x+1)(y+2)=3(y+2)+6(x+1), 整理可得xy-10=4x+2y,因为x,y都是正实数， 所以xy-10=4.x+2y≥2√/4.x·2y,即xy-4√2 ·/xy-10≥0， 所以（√y-5√2）（√xy+√2）≥0，解得√ry≥5 2或√y≤-√2（含）， 所以√y≥5V2,即xy≥50， 当且仅当4x=2y y-10=4x+2y时，即x=5 0y=10时，等号 成立， 所以xy的最小值是50.故选A. 7.A如图所示，1OA|=1,1OP|=√2，则由题意可知： ∠AP0=至 由勾股定理可得|PA|=√OP-OA2=1 小 D o 当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设 ∠0PC=a,0ea< 则：PA·PD=|PA|·IPD|co(a+F） =1xV2 cos(a+F） 3 】 最新5年高考真题分类优 N2 -cos a cos a2sin a) =cosa-sin acos a =1+c0s2e_1 2 2 sin 2a 1√2. 2-号im(2a-） 0<号，则-子<a-< 当2a-云=-平时，Pi.PD有最大值1. 当，点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPCa,0<a 4 则PA·PD=IPA|·IPDIcos(e-F) =1 k/Zcosco(e-F） =cos'a+sin acos a -_1+c0s20+ 1 2 2sin 2a 12 =z+sim(2a+）, 0<≤+< 车=乞时，PA·PD有最大值+E 当2a+刀=不 2 1+W2 综上可得，PA·PD的最大值为2，故选A 8.A过Q作平面EFGH 0 的垂线，垂足为O,连接 EG,EM,设EM,QO的 交，点为A,在△QHF中 过A作直线BC交QH, QF于B,C两点，由相交 直线确定平面，则四边形 ECMB为过EM的截面. 0 由计算可得EG=4,得 E △QEG为正三角形，QO =2√3，所以A为△QEG的重心，设QB=xQH,QC =)Q下，由向量运算可得Q-名Q0 3 -3QH+- 3 QF,又QB=xQH,QC=yQF,可得QH= x 化卷(26一ZT)·数学答案 之1之，1 QB,QF三QC,所以QA三QB十专0C,由三点 夫线得配+品-1即二十-8易得E到手西 QHF的距离为OE=2,M到平面QHF的距离为1， 图为SAox=2QB·QC.sin号=4By,所以V =VE-ac+V-ox=号Saox·1+2)=2QB· 1 QC·sin号=4Fxy,Ven=号X(e)'×2g 1 =163 V 得V=VeV=9g-46w 4V3ry 4 11 万-45 =-1+43,由+5=3,3 3 V 4 4 取等号，所以亏=-1+-3≥-1+ 名p的的最小位为行故选入 g.ABa·b=al1bcos号=1X2×2=1, (a-b)·a=|a|2-a·b=1-1=0,故A正确； |a+b|2=|a|2+|b2+2a·b=1+4+2=7,所 以|a十b|=√7，故B正确； |2a+b|2=4|a|2+|b|2+4a·b=4+4+4=12, 所以2a+b=2√3， 又因为|2b|=4,所以|2a+b≠|2b,故C错误； a在6上的视彩为量为的，合宁，成D格武， 故选AB. 10.AC OP=(cos a,sin a),OP2=(cos B,-sin B), 所以|OP,|=√/cosa+sina=1,lOP,|= √(cosB)+(-sinB)=1,故|OP1|=|OP2|, A正确； AP =(cos a-1,sin a),AP2 =cos B-1,-sin B),所以|AP1|=√(cosa-1)'+sina= Vcos'a-2cos a+1+sin'a v2(1-cos a) =22:同理1AP/三 v(cos B-1)+sin=2 sing 2 ,故1AP1, |AP2|不一定相等，B错误： 由题意得：OA·OP3=1×cos(a+B)+0Xsin(a +B)=cos(a+B),OP1·OP2=cosa·cosB+sin a·(一sinB)=cos(a十B),C正确； 由题意得：OA·OP,=1 X cos a+0 X sin a=cos 4 】 最新5年高考真题分类优 a,OP2.OP:=cos BXcos (a+B)+(-sin B)Xsin (a+B) =cos(3+(a+B)=cos(a+2B),故一般来说OA ·OP1≠OP2·OPg故D错误，故选AC 11.BD 因为Ad=号D所以AC-3Ad 又因为AP=λAB+AC=AAB+3AD, 又因为P、B、D三点共线，所以入十3μ=1， 又因为1以为三实数，所以业=子AX3弘≤行× 当且仅当入=3μ，即入=2μ=6时取等号，故A 错误，B正确： +品-（侵+家a+)-2+婴+意≥8+2 λ3 当且仅当3华=A 玩，即入 e=日时取学号，故C 1 错误，D正确.故选BD. 12.解析：法一：因为|a+b|=|2a-b|,即(a+b)2 =(2a-b)2, 则a2+2a·b十b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2 2a·b=0, 又因为a-b|=√3，即(a-b)2=3, 则a2-2a·b十b2=b2=3,所以b|=3. 法二：设c=a-b,则|c|=√3，a+b=c+2b,2a b=2c+b; 由题意可得：(c+2b)2=(2c十b)2,则c2+4c·b +4b2=4c2+4c·b+b2, 整理得：c2=b2,即|b|=|c|=√3. 答案：√3 1返解折：海法1：周为CE=6脚C宝-专Bd, 则E-配+E-i+BC. 1 4 可得1=3=1，所以入十以=3： 由题意可知：|BC|=|BA|=1,BA·BC=0, 图为下为线段BE上的动点，设广=B正=司 kBA+kBC,k∈[0,1]， 则AF=AB+BF=AB+BE=(仔k-1)B刷 +kBC. 又因为G为AF中，点， 则话-ni+G-成+正-（信-） BA+(2k-1）BC, 飞 4 化卷(26一ZT)·数学答案 可得 aF.-[(g-)i+n⊙] [2(仔-)Bi+(合-)府 =2(行-)+k(侵-=号(k-9) 3 101 又因为k∈[0,1]，可知：当k=1时，AF·DG取到 最小值一8 解法2：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如 图所示， B 则A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D(-1,1), (方小 可得BA=(-1,0,BC=0,1),BE=(子，1， 1 因为BE=XBA+BC=(-X4),则-A=3, 4=1 4 所以入十μ=3 因为点F在线段BEy=-8∈[言0]小上. 设F(a,-3a),a∈ o小 且G为AF中点，则G(号)小： 可得AF=(a+1,-3a),DG =(,2- .成-a少+(-a(-号-- +》-高 到最小值为一18 45 答秦：3一18 14.解析：由题意得，若对于任意OA,OB∈S,线段AB 上任意一点C,都有OC∈S,则集合S是“凸集”，由 5 】 最新5年高考真题分类优 此对结论逐一分析： 对于①，M={aa=(x,y),y≥x},若对于任意 A(x1,y1),B(x2,y2)满足y1≥x1,y2≥x,则OA ∈M,OB∈M, 由函数y=x2的图象知，对线段AB上任意一点C (xa,ya),都有y≥x,即OC∈M,故M为“凸 集”，①正确； 对于②，若S为“凸集”，则对于任意a,B∈N,此时 a=2a,B=2b,其中a,b∈S 对于任意λ∈[0,1]，λa十(1-λ)B=2 (a十(1一λ)b)∈N,故N为“凸集”，②正确； 对于③，可举反例，若A1={aa=(xy),y=x},A ={aa=(x,y),y=-x} 易知A1,A2都是“凸集”，而A1UA2不是“凸集”， 故③错误； 对于④，若A1,A2都是“凸集”， 则对于任意a,B∈A1∩A2,任意入∈[0,1] 则λa+(1-λ)B∈A1,且Aa+(1-λ)B∈A2 故aa+(1-λ)B∈A1∩A2,故A1∩A2也是“凸 集” 答案：①②④ 15,解析：(1)依题意可得f(x)=cos(ar十）·sin (ar-2）+cos'ar-4 =一 1 cos'wx4 =- (2 cos r 2 sin wx ·cos wx+cosw.x 1 4 1 2 cos r sin r cos r+cos'or 4 sin 2wu 4cos 2wx n(ar+） 由条件可知图象上的相邻的最高点与最低点之间 的距离为√瓦，设函数的最小正周期为T, 期厅=√（份）+1，解得T=2(负位已合去），则 T=2=无解得。=2 2w1 1 ·f(x)=2 sin(n+6 smx+”s π 令2kπ一 ≤26+2h∈. 6 2 解得2k-3≤x≤2k+3(k∈Z), 所以∫(x）的单调递增区间为 [2-，2+ (k∈Z), 【 4 化卷(26一ZT)·数学答案 又因为x∈ ,]，故fx)在[0，]上的单调 0,3」 递增区间为0,3」 11 (2)因为A=号6+c=2, 由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cos A=(b十c)-3bc =4-3bc, 又因为2=b十c≥2√bc且bc>0,所以0<bc≤1， 当且仅当b=c=1时取等号， 所以1a4,又因为2=b十c>a,所以1≤a2, 所以 ≤+<，则-1≤n 7π 1 1 则-2≤f(a)<年，所以f(a)的值城 为[3日)月 答案：1。=号单调速增区间为[，] [) 16.解析：(1)设CA=b,CB=a,则abcos C=-2,又由 于2 absin C=3,因此tanC=-尽， 由C为△ABC的内角，所以∠C=120 (2)由(1)知，2 absin120°=尽，又因为a=2,则b =2,因此CA=CB=2,∠A=∠B=30°， CA CE 在△ACE中，由正弦定理得m。n30,即CE 1 sin a' CE DE 在△CDE中，由正弦定理得 sin∠CDE sin30' DE CE·sin30 1 sin∠CDE 2 sin asin(150°-a) 1 sin acos a+√3sin'a 1 2sin 2a 2 cos 2a+2 sin(2a-60°)+ 显然30°≤a≤120°，则有0≤2a一60°≤180°，因此当 sin(2a一60°)=1时，DE取到最小值， 此时2a一60°=90°，即a=75°，所以a的值为75°. 答案：(1)∠C=120°；(2)75 17.解析：(1)因为m=(a,cosA),n=(cosC,c),且m ·n=3 bcos B, 所以acos C+ccos A=3 bcos B, 由正弦定理，可得sin Acos C十sin Ccos A=3sin Bcos B, 所以sin(A+C)=3 sin Bcos B,即sinB=3sin Bcos B, 又因为B为三角形内角，sinB≠0，所以cosB 】 最新5年高考真题分类优 $$= \frac { 1 } { 3 } ；$$ (2) 因为 2a，b，c 成等比数列， 所以 $$b ^ { 2 } = 2 a c ，$$ ，由正弦定理可得 $$\sin ^ { 2 } B = 2 \sin$$ AsinC， 又因为 $$\cos B = \frac { 1 } { 3 } ， B$$ B为三角形内角， 所以 sin B ， $$= \frac { 2 \sqrt 2 } { 3 } ，$$ 所 $$v _ { k } \frac { 1 } { \tan A } + \frac { 1 } { \tan C } = \frac { \cos A } { \sin A } + \frac { \cos C } { \sin C } =$$ cosAsinC+cosCsinA A = $$\frac { \sin \left( A + C \right) } { \sin A \sin C } =$$ sinAsinC $$\frac { \sin B } { \sin A \sin C } = \frac { 2 \sin B } { \sin ^ { 2 } B } = \frac { 2 } { \sin B } = \frac { 3 \sqrt 2 } { 2 } .$$ 答案 $$： \left( 1 \right) \frac { 1 } { 3 } ； \left( 2 \right) \frac { 3 \sqrt 2 } { 2 }$$ 18.解析： ：(1) 解法 1： 将 P(1，-2) 代入抛物线得 p=2， $$\therefore y ^ { 2 } = 4 x ，$$ 依题意可设A(x：，yi)，B(x，y)，直线1：y l：y=kx $$A \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ，$$ -1(k≠0)， 联立直线 l 与抛物线 $$y ^ { 2 } = 4 x$$ $$： k ^ { 2 } x ^ { 2 } - \left( 2 k + 4 \right) x$$ +1=0， $$x _ { 1 } + x _ { 2 } = \frac { 4 + 2 k } { k ^ { 2 } }$$ 则 $$x _ { 1 } x _ { 2 } = \frac { 1 } { k ^ { 2 } }$$ k≠0 △>0 由 得 k>-1 且 k≠0， $$x _ { 1 } + x _ { 2 } > 0$$ $$\left( x _ { 1 } x _ { 2 } > 0$$ 又因为直线 PA 交y轴于M，直线PB交 y 轴于 N，所以直线不能过 P(1，-2) 及(1，2)， ∴ k ≠-1 且k ≠3， 综上 k∈(-1，0) U (0，3) (3，+∞). 解法 2 将 P(1，-2) 代入抛物线得 $$p = 2 ， \therefore y ^ { 2 }$$ =4x. 依题意可设A(x，y)，B(xi，yi)，直线1：y l：y=kx $$A \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ，$$ -1(k≠0)， 由 $$\left\{ \begin{array}{l} y = k x - 1 \\ y ^ { 2 } = 4 x \end{array} \right.$$ $$： k y ^ { 2 } - 4 y - 4 = 0 ，$$ 则 {\begin{matrix}k≠0\△=\end{matrix}\right. △=16+16k>0 解得 k>-1 且 k≠0 又因为直线PA 交 y 轴于M，直线PB交y 轴 于N， 所以直线不能过 P(1，-2) 及 (1，2) ∴k≠-1 且 k≠3 3， 综上k (-1，0)∪(0，3)∪(3，+∞). (2)设点 $$M \left( 0 ， y _ { M } \right) ， N \left( 0 ， y _ { N } \right) ，$$ ，由 QM=λQT，QN =pQT，Q(0，-1)， 则可设 $$T \left( 0 ， t \right) ， \overrightarrow { Q M } = \left( 0 ， y _ { M } + 1 \right) ， \overrightarrow { Q T } = \left( 0 ， t + 1 \right)$$ $$\because Q M = \lambda Q T ， \therefore y _ { M } + 1 = \lambda \left( t + 1 \right) ，$$ 故 $$\frac { 1 } { x } = \frac { t + 1 } { v _ { 0 } + 1 }$$ 【 4 化卷(26一ZT)·数学答案 1 t+1 同理： μyN+I kPA= y1+2 4 x1-1y1-2' 直线PAy十2=4 12x-10, -2y1 令x=0得ywy1-2 同理yN= -2y2 y2-2 1t+1 w+7=(1+1) 2-y21t+1 :+2'方=+=(1+ 2-y1 1) y1十2 -2y1y2+8 1) (y1+2)(y2+2) 8 8+ =(t+1) =2(t+1), 4 4十 + =-4,∴.t=-3. 所以存在，点T(0,一3)满足题意. 答案：(1)k∈(-1,0)U(0,3)U(3,+∞) (2)证明见解析 19.解析：(1)由复数x=1+cos0+isin0,0∈（π，2π）， 号（匠小： 得|x|=√(1+cos0)'+sin0=√/2+2cos0= tos2c0 0 而1+cos0>0,sin0<0, sin a <argg<2π，tan(arg）=1十cos0 00 2sin 2cos? 0 2s号 =tan 2' 又因为号∈（行+号∈（臣2小，所以a =π十2 (2)由(sin0+icos0)”=[cos（(2-0）+isin (-) =cos(受-0）+in(2-0 因光cos(-0)+isin(-0）=sin0+ icos n, 7 】 最新5年高考真题分类优 eos(%-m）=snw0 则 sin(-0）-cosa0 2 -0=2张x十受-0，k∈Z,解得0=4+1， 而n≤2024，n∈N, 即04k十12024，于是0k≤505，k∈Z,显然 符合条件的k有506个， 所以这样的n有506个. (3)令w=cos20°+isin20°，而2034×20°=113× 360°，则u231=1, 令T=sin20°+2sin40°+3sin60°+…+2034sin (2034×20°)， 则S+iT=w+2w2+3w3+…十2034u281, 两边同乘w,得w(S+iT)=w2+2w3十3w1十…十 2034w20a5 两式相减得(1-w)(S十iT)=w十w2十w3+…十 w2031-2034u2035 =w(1-u281) -2034w231·w=-2034w,因此S 1-w +iT=-2034u 1-w cos20°+isin20° 1一w 1-cos20°-isin20 =(c0s20°+isin209)(1-c0s20°+isin20°) (1-cos20)2+sin220° -1+cos20°+isin20 1 sin 20 2-2c0s20 2十2-2c0s201 1 sin20° 因此S+i7=-2034(-2+2-20s920),所以 S=1017. 答案：(1)-2c0s0 、 2x+2:(2)506;(3)1017 卷10三角函数与平面向量的综合应用 1,A根据向量加法三角形运算法知AC=AB十BC =AO+OB+BC(￥)； F为BC中，点，则BC=2BF=2(BO+OF)(): 点0为△ABC的重心，则OF=2A0, 代入(**)得到，BC=2(B0+2AO)= 2B0+A0, 代入（￥）得到，AC=A0+OB+2B0+A0= 20A-OB 结合AC=OA十OB,可得入=-2，H=-1,所以入 【 化卷(26一ZT)·数学答案 十4=一3.故选A. 2.D如图：以C为原点，建 立平面直角坐标系， 则A(0,4),B(4,0),可设 D(2+2cos 0,2sin 0), 则AB=(4,-4),AD=(2 +2cos0,2sin0-4) 所以AB+AD=(6+2cos 0,2sin0-8) 所以|AB+AD|2=(6+2cos0)2+(2sin0-8)2= 104+8(3cos0-4sin0). 又因为3cos0-4sin0≤5，所以|AB+AD|≤144 →|AB+AD|≤12.故选D. 3.A由题意可知|GA+GB|=|GA-GB|, 所以(GA十GB)2=(GA-GB)2, 即GA2+GB+2GA·GB=GA:+GB-2GA ·GB,所以GA·GB=0,所以AG⊥BG, 又因为AG=3 2 1 ×2 之1之 (AC+AB)=(AC+AB). C 1 X交(BA+BC)=子(BA+BC,. 之2,1→ BG=- 剥店配方d+成+d) 1 = (AC·BA+AC·BC+AB·BA+AB·BC)=0, 所以CA·CB=AC·AB+BA·BC+AB, Ep abcos C=bccos A+accos B+c2, 由c0sA= 2+c2-a2 2bc ,cos B=+c2-b2 2ac -cos C =a2+63-c2 2ab 所以a2+b2=5c2, *amc-t82-音（传+2）≥骨 a.b=4 √方·a=5,当且仅当a=b时等号成立， 又因为y=cosx在(0，π)上单调递减，C∈(0，π)， 所以当∠C取最大值时，c0sC= 5,故选A 4.B取CD的中点E,连接PE, 因为ABCD是边长为2的正方 形，动点P在以AB为直径的半 圆上， 所以当P在A点或B点时， |PE取得最大值5， 当P在孤AB中点时，PE取得最小值1， 8 】最新5年高考真题分类优化卷·数学（九）》 卷9复数和平面向量 本卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.(2024·全国)设之=√2i,则之·之= A.-2 B.√2 C.-2 D.2 2.(2024·全国)若之=5+i,则i(+之)= ( A.10i B.2i C.10 D.2 3.(2024·北京)设a,b是向量，则“(a十b)·(a一b)=0”是“a=一b 或a=b”的 () A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2024·全国)已知向量a,b满足a=1,a+2b=2,且(b-2a)⊥ b,则b= () 号 号 c D.1 5.(2023·全国)已知向量a,b,c满足|a|=|b|-1,c|=√2，且a十b +c=0,则cosa一c,b-c〉= () B.-5 2 2 c.6 6.已知x,y都是正实数，若向量a=(1,2),b= ·b=1,则xy的最小值是 () A.50 B.5√2 C.4√2 D.25 7.(2023·全国)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A,直线 【最新5年高考真题分类优化卷(26-ZT)·数学（九）9-1】 PB与⊙O交于B,C两点，D为BC的中点，若|PO|=√2，则PA· PD的最大值为 A.+@ B1+22 2 2 C.1+√2 D.2+√2 8.(2022·新高考全国I卷)如图，在四棱锥Q- EFGH中，底面是边长为2√2的正方形，QE= QF=QG=QH=4,M为QG的中点.过EM作 截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分 的体积分别为VV,则，的最小值为 () 1 1 A.2 B. c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 9已知向量a,b的夹角为行，且a-1,b=2,则 A.(a-b)a B.|a+b|=√7 C.2a+b=2b D.a在b的方向上的投影向量为3b 10.(2021·全国)已知O为坐标原点，点P,(cosa,sina),P2(cosB,一sin B),P3 (cos (a+B),sin (a+B)),A(1,0), () A.|OP=OP, B.AP,=AP,I C.OA·OP3=OP1·OP2 D.OA·OP1-OP2·OP 1 1L.在△ABC中，D为边AC上一点且满足AD=2DC,若P为边BD 上一点，且满足AP=λAB十AC,入，4为正实数，则下列结论正确的是 ( A.4的最小值为1 B.红的最大值为2 c+动的最大值为12 1 1 D.元十3的最小值为4 【9-2】 三、填空题：本題共3小题，每小题5分，共15分， 12.(2023·全国)已知向量a,b满足a-b=√3，a+b=2a-b, 则b= 13.(2025·天津)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三 等分点，CE=DE,BE-XBA+BC,则X+A=一：F为线 段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小值为 R 14.向量集合S={aa=(x,y),x,y∈R},对于任意a,b∈S,以及任意 λ∈[0,1]，都有λa十(1一入)b∈S,则称集合S是“凸集”，现有四个 命题： ①集合M={aa=(x,y),y≥x2}是“凸集”； ②若S为“凸集”，则集合N={2aa∈S}也是“凸集”； ③若A1,A2都是“凸集”，则A1UA2也是“凸集”； ④若A1,A2都是“凸集”，且交集非空，则A1∩A2也是“凸集”. 其中，所有正确的命题的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量m= (cos(ax+)scos @小n= (sin(ox-)cs)，小(w>0,f(x)=m·n-年y=f(x)图象上 相邻的最高点与最低点之间的距离为√2， ()求w的值及f(x)在0,3上的单调递增区间： (2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2,A= 号，求f(a)的值域。 【9-3】 16.(本小题满分15分) 已知在△ABC中，CA·CB=一2，△ABC的面积为√5. (1)求角C的度数； (2)若BC=2,D,E是AB上的动点，且∠DCE始终等于30°，记∠CED =a.当DE取到最小值时，求a的值. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边.若向量m=(a, cosA),向量n=(cosC,c),且m·n-3 bcos B. (1)求cosB的值； (2)若2a,b,c成等比数列，求1 1 tan Aian C的值. 【9-4】 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(1,一2)，过点Q(0,一1)的 直线l与抛物线C有两个不同交点A,B,且直线PA交y轴于M,直 线PB交y轴于N. (1)求直线1斜率的取值范围； (2)证明：存在定点T,使得QM=λQT,QN=QT且、 【9-5】 19.(本小题满分17分) 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数之=a十bi对应复平面 内的点Z,设∠XOZ=0,|OZ|=r,则任何一个复数之=a十bi都可 以表示成：之=r(cos0+isin0)的形式，这种形式叫作复数三角形式， 其中r是复数之的模，0称为复数之的辐角，若0≤0<2π，则0称为复 数之的辐角主值，记为arg之.复数有以下三角形式的运算法则：若之 =r,(cos0,+isin0),i=1,2,…,n,则：之1·之2·…·之n=r1r2rn[c0s(01 十02十…十0n)十isin(01十02十…十0n)],特别地，如果之1=2=…=之n= r(cos0+isin0),那么[r(cos0+isin0)]"=r"(cosn0+isin n0),这 个结论叫作棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数之=1+cos0+isin0,0∈（π，2π）的模x|和辐角主值argx (用0表示)； (2)设n≤2024，n∈N,若存在0∈R满足(sin0+icos0)"=sin0+icos n0,那么这样的n有多少个？ (3)求和：S=c0s20°+2c0s40°+3cos60°+·+2034c0s(2034 ×20°) 【9-6】