精品解析：河北保定市阜平中学2026届高三下学期五月质检数学试题

2026届高三下学期五月质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的几何意义求解. 【详解】由题设，对应点为，第四象限. 故选：D. 2. 已知集合，则的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先化简分式解一元二次不等式，再得出集合A，最后应用非空真子集个数公式计算求解. 【详解】由可得，即， 即解得. 于是，共4个元素，故其非空真子集个数为个. 故选：C. 3. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线平行，求得与之间的等量关系，再根据点在曲线上得到与之间的另一个等量关系，解方程组. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为其中一条与直线平行，且直线的斜率为， 所以2，即， 因为双曲线过点，所以，即， ，， 所以双曲线的实轴长． 4. 已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【详解】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C 5. 已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为关于轴对称，则关于对称， 又函数在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得或， 则实数的取值范围是. 故选：D 6. 在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 由，得, 所以， ， ， 由，得， 所以，又，所以． 由，得， 所以 ， 由为锐角三角形，得，所以，解得， 由，得，所以． 所以，即 7. 已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由可得，，从而可求出，关键是判断当三棱锥体积最大时，平面平面，建立空间直角坐标系可得到异面直线夹角的余弦值. 【详解】设，， 因为，所以，而，所以， 所以，，所以， 当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，平面平面， 所以平面， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设，的夹角为，则， 故选：C． 8. 已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的直线方程，然后求出的坐标，根据结合倾斜角的关系可得关于的方程，化简后可得，故可求离心率. 【详解】 因为分别为椭圆的上下顶点，故， 故的直线方程为， 由可得即， 因为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，故， 整理得，故离心率. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）关于函数，下列命题正确的是（ ） A. 的解析式可改写为 B. 是以为最小正周期的周期函数 C. 函数是奇函数 D. 的图象关于y轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由诱导公式可得A正确；由周期公式可得B错误；由图象平移的性质结合正余弦函数的性质可得CD正确； 【详解】对A，，故A正确； 对B，由题意知，故B错误； 对C，，是奇函数，故C正确； 对D，，是偶函数，其图象关于y轴对称，故D正确； 故选：ACD. 10. 若数列满足.记，，则（ ） A. 是递增数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推关系进行整理，并结合裂项相消以及累加法对选项进行判断即可. 【详解】已知递推式 ，移项得（1）， 左右同时减去，得（2）， 由（2）式，递推可得所有 ，因此， 即，数列递增，A正确；  由A知 ，且 ，因此 ， 即 ​，B错误； 对式(1)取倒数裂项得， 对 裂项相消  再对式(1)递推得： ​， 因此 ， 因此，对任意成立，故 ，C正确； 由，得， ​ 要证​，即证， 因为​，且结合A选项单调递增， 所以，因此不等式成立，D正确. 11. 已知函数有三个零点 则（ ） A. B. 存在实数a使得 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意得有三个不同根，令，利用导数求出单调性，结合特殊值及图象的走势，分析可判断A的正误；若，则，根据为零点，代入求解，化简可判断B的正误；若，则，结合条件，整理计算，可判断C的正误；求出的表达式，化简整理，分析比较，可判断D的正误. 【详解】选项A：显然不是函数的零点，得有三个不同根， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增，且， 当时，，当时，，时，， 要使与有三个交点，则， 即有三个零点，则，故A正确； 选项B：若，则， 因为为零点，所以， 这与矛盾，故B错误； 选项C：若，则， 由，得， 结合已有分析可设，则， ， 所以，故C正确； 选项D：， ， 则， ， 因为， 所以，则，又， 所以，则，故D错误. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 13. 已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两直线垂直设直线的方程为，由题意得圆心到直线的距离，解得或，即得答案. 【详解】因直线：，，则直线的方程可设为， 由圆：可知圆心为，半径为. 要使圆上恰有3个点到直线的距离为， 需使圆心到直线的距离， 解得或，故直线的方程为或. 故答案为：或. 14. 设函数，则函数的增区间为_____________；若对任意，不等式恒成立，则正数k的取值范围是_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对求导得出单调性，得出其最大值，再求出对勾函数的最小值，最后利用即可求出. 【详解】，则， 则得；得， 则函数的增区间为，减区间为， 则， ，在上单调递减，在上单调递增， 则， 因对任意，不等式恒成立， 则，即， 因，则，则正数k的取值范围是 故答案为：；. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 因为为等差数列，故，故， 设等差数列的公差为，则， 故，故. 【小问2详解】 由题设有，故， 故 . 16. 已知函数，为自然对数的底数. （1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）当时，，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得直线的斜率，继而可解； （2）令，则，题意可转化为有两个零点，对求导，分和求出的单调性，可知使得即可. （3）变形不等式，参变分离后，利用换元法变形不等式，利用导数考查函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 ，所以，又     所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即 【小问2详解】 因为，， ， 令，则，所以， 题意可转化为有两个零点， ， 当时，， 若，则，则，所以在上单调递减， 所以在上至多一个零点，故不成立； 若，令 可得， 令可得，令可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当趋近时，趋近正无穷，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 所以要使有两个零点， 则，即， 令，则在上单调递增， 又因为，所以由可得. 故实数a的取值范围为：. 【小问3详解】 不等式 可整理为，     令，， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以，又， 所以令，则     令， 则     令， 则     令，， 则，，     所以单调递减，， 所以，单调递减，， 所以， 所以， 所以单调递减，     所以. 17. 在多面体中（如图），底面为梯形，为的中点，，，四边形为矩形，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的体积； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）根据几何体外接球半径的求法，结合球的体积公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，设，，根据向量的线性运算可得，再利用线面角的向量法求出，再根据空间向量的模长公式即可求解. 【小问1详解】 因为四边形为矩形， 所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面， 平面， 所以，所以的外心在的中点， 所以，所以平面， ，所以的外心在的中点， 所以点为三棱锥外接球的球心， ， 所以外接球的半径， 则三棱锥外接球的体积为. 【小问3详解】 因为，平面， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，， 设线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为， 设，， 则，所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 因为，与平面所成角的大小为， 所以，即， 整理得，所以， 此时点与点重合， 所以，则. 综上：在线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为，此时的长度为. 18. 已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． （1）求抛物线C的方程与准线l的方程； （2）求的最小值； （3）已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）； （3）N在定直线上，直线方程为：. 【解析】 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【小问1详解】 由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； 【小问2详解】 由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； 【小问3详解】 设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 19. 设，有个罐子和个小球，球和罐子均以1至编号.现在按号码递增的顺序依次将球放入罐子中，1号球可不受限制地随意等可能放入个罐子中的任意一个；对于，只要号罐子空着，就把号球放入到号罐子里；否则，就随意等可能放入一个空罐中.如此下去，显然号球就只有一种放法.将号球放入号罐子中的事件记为.例如，当时，显然1号球放入到1号罐子里的概率为，也就是. （1）当时，求和； （2）对于确定的，记.例如，表示的是按照规则将4个球放入到4个罐子里，最终4号球落入4号罐子里的概率.显然，，求证：在时，，并求出数列的通项公式； （3）对于确定的，求. 【答案】（1）， （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，分两类情况，利用互斥事件的和事件概率加法公式（全概率公式）求解可得； （2）按1号球放入罐子号分类，利用由互斥事件的和事件概率加法公式（全概率公式）求解递推关系；再构造作差求通项即可. （3）根据全概率公式计算求解. 【小问1详解】 当时，由题意，事件“将号球放入号罐子中”， 即前个球放置后号罐子为空，、号球不能放入号罐子， 共如图两类情况： 第一类：号球放入号罐子，其概率为，且之后放法确定. 因为号罐子空，号球必放入号罐子， 然后因为号罐子空，则号球必放入号罐子； 第二类：号球放入号罐子，概率为， 然后因为号罐子不空，则号球放入号罐子的概率为， 之后由于号罐子空，则号球放法确定，必放入号罐子； 则由概率乘法公式可知，此类情况概率为. 因为两类事件互斥，则由互斥事件的和事件概率加法公式可得 所以； 由事件“号球不放入号罐子，且号球放入号罐子”，即上述第二类情况， 故. 【小问2详解】 表示的是按照规则将个球放入到个罐子里，最终号球落入号罐子里的概率， 其中，且由题意，由（1）可知. 当时，事件共有以下情况： 第1类：号球放入号罐子，其概率为，且依序各罐子都空，故之后放法确定， 即任意号球都必放入号罐子； 第2类：号球放入号罐子，其概率为， 然后将剩余号共个球放入共个罐子中，且号球必须放入号罐子， 现不妨将号罐子重新编号为“新”号罐子，即将个球放入“新”共个罐子中，且号球必须放入号罐子，其概率为， 故由概率乘法公式可知，此类情况概率为该类情况的概率即为； 第类：号球放入号罐子，其概率为， 因为号罐子空，号球放法确定，必放入号罐子， 然后将剩余号共个球放入共个罐子中， 且号球必须放入号罐子， 现不妨将号罐子重新编号为“新”号罐子， 即将个球放入“新”共个罐子中， 且号球必须放入号罐子，其概率为， 故由概率乘法公式可知，此类情况的概率为； 同理依次分类下去，，直至第类， 第类：号球放入号罐子，其概率为， 因为号罐子均为空，所以号球依次放入对应编号的罐子中 然后将球与号球两个球放入号共个罐子中即可，且号球必须放入号罐子， 同理可知此类情况的概率为； 因为这类事件互斥，则由互斥事件的和事件概率加法公式可得 所以， 则有①，得证. 由所证式子可得②， 由得， 化简可得，又， 故可得. 【小问3详解】 现按照规则将个球放入到个罐子里，其中， 由题意事件“号球放入号罐子中”， 则由全概率公式可得， 且，，， 且由（2）知， 代入公式可得， 解得. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期五月质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 3. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）关于函数，下列命题正确的是（ ） A. 的解析式可改写为 B. 是以为最小正周期的周期函数 C. 函数是奇函数 D. 的图象关于y轴对称 10. 若数列满足.记，，则（ ） A. 是递增数列 B. C. D. 11. 已知函数有三个零点 则（ ） A. B. 存在实数a使得 C. 若，则 D. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 随机变量服从正态分布，，则______. 13. 已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____. 14. 设函数，则函数的增区间为_____________；若对任意，不等式恒成立，则正数k的取值范围是_____________． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 16. 已知函数，为自然对数的底数. （1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）当时，，求实数a的取值范围. 17. 在多面体中（如图），底面为梯形，为的中点，，，四边形为矩形，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的体积； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． （1）求抛物线C的方程与准线l的方程； （2）求的最小值； （3）已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 19. 设，有个罐子和个小球，球和罐子均以1至编号.现在按号码递增的顺序依次将球放入罐子中，1号球可不受限制地随意等可能放入个罐子中的任意一个；对于，只要号罐子空着，就把号球放入到号罐子里；否则，就随意等可能放入一个空罐中.如此下去，显然号球就只有一种放法.将号球放入号罐子中的事件记为.例如，当时，显然1号球放入到1号罐子里的概率为，也就是. （1）当时，求和； （2）对于确定的，记.例如，表示的是按照规则将4个球放入到4个罐子里，最终4号球落入4号罐子里的概率.显然，，求证：在时，，并求出数列的通项公式； （3）对于确定的，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $