卷3 函数的概念和性质-【三新金卷·先享题】2026年安徽省高考数学真题分类优化卷(分项A)

最新5年高考真题分类优化卷·数学（三） 卷3函数的概念和基本性质 本卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的、 1.下列函数中，在区间(0，十∞)上单调递增的是 A.f (x)=-Inx B.f(2)=1 c.fx)=-1 D.f(x)=3x- 2.下列函数是偶函数的是 A.y=e'-t x2+1 B.y=cos x+x2 x2+1 C.y-o-z x+1 D.y=sinx十4x 3.(2025·全国I卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y-2sin (3x-)的交点个数为 () A.3 B.4 C.6 D.8 4.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x一2)，且当x<3 时∫(x)=x,则下列结论中一定正确的是 ( ) A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 -x2-2ax-a,x<0 5.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值 e+ln(.x+1),.x>0 范围是 A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) S-1 6.生物丰富度指数《=nN是河流水质的一个评价指标，其中S,N分 别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越 大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个 体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则() 【最新5年高考真题分类优化卷(26-ZT)·数学（三）3-1】 A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.N2=N3 D.N;=N? 7.设函数f(x)=(x十a)ln(x十b),若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为 () 1 B. A.8 1 c. D.1 8.(2025·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax, 当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a= () A.-1 B.2 C.1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 9.设函数f(x)=(x一1)(x一4)，则 ( A.x=3是∫(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 10.对于函数f(x)=sn2x和g(x)=sin2x一），下列说法中正确的有 ( A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 11.设函数f(x)=2x3-3a.x2+1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y-f(x)的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11 5 12.已知a>1且1og.41og4-2,则a- 13.曲线y=x3一3.x与y=一(x一1)2+a在(0，十o∞)上有两个不同的交 【3-2】 点，则a的取值范围为 x+2,x<-a, 14.设a>0,函数f(x)=√a-x,一a≤x≤a,给出下列四个结论： --1,x>a. ①f(x)在区间(a一1，十o∞)上单调递减； ②当a≥1时，f(x)存在最大值； ③设M(x1,f(x1)(x1≤a),N(x2,f(x2)(x2>a),则|MN>1; ④设P(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4)(x4≥-a).若|PQ存 1 在最小值，则a的取值范围是(0,2]： 其中所有正确结论的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(本小题满分13分) 若f(x)-logx(a>0,a≠1). (1)y=f(x)过(4,2)，求f(2x-一2)<f(x)的解集； (2)存在x使得f(x+1)、f(ax)、f(x+2)成等差数列，求a的取值 范围. 【3-3】 16.(本小题满分15分) 已知丽数f)=lh2二十ax+6-1) (1)若b=0,且f'(x)≥0，求a的最小值： (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形： (3)若f(x)>一2当且仅当1<x<2,求b的取值范围. 17.(本小题满分15分) 设函数f(x)=2x+1|-|x-a|+b(a,b∈R). (1)若（一3）>f(1),求实数a的取值范围； (2)当a=5时，函数f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),且满 足x1十x2=一4，求实数b的值. 【3-4】 18.(本小题满分17分) 对于一个函数f(x)和一个点M(a,b),令s(x)=(x-a)2+(f(x)一 b),若P(xo,∫(x。)是s(x)取到最小值的点，则称P是M在f(x) 的“最近点”. 1)对于fx)-（x>0),求证：对于点M(0,0),存在点P,使得点 P是M在f(x)的“最近点”； (2)对于f(x)=e,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M 在f(x)的“最近点”，且直线MP与y=f(x)在点P处的切线垂直； (3)已知y-f(x)在定义域R上存在导函数f'(x),且函数g(x)在 定义域R上恒正，设点M1(t-1,f(t)一g(t),M2(t+1,f(t)+g (t).若对任意的t∈R,存在点P同时是M1,M2在∫(x)的“最近 点”，试判断∫(x)的单调性. 【3-5】 19.(本小题满分17分) 如果三个互不相同的函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)在区间D上 恒有f(x)≤h(x)≤g(x)或g(x)≤h(x)≤f(x),则称y=h(x)为 y=f(x)与y-g(x)在区间D上的“分割函数”. (1)证明：函数f1(x)=x为函数y=ln(x+1)与y=e-1在(-1，+ ∞)上的分割函数； (2)若函数y=a.x2+bx+c(a≠0)为函数y=2x2+2与y-4x 在（一o○，十o∞）上的“分割函数”，求实数a的取值范围； (3)若[m,n]二[-2,2]，且存在实数k,d,使得函数y=kx+d为函 数y=x一4x2与y=4x2一16在区间[m,n]上的“分割函数”，求n 一m的最大值. 【3-6】最新5年高考真题分类优 18,解析：1)当a=26=1时，可得y=(1-)。 则×-21-)（←）： 所以1=-怎所求切线方程为，一 6(x-1), 即x+2W3y-4=0. (2)由y是关于x的“-1型画数”，可得（后）十 ()=1, 即+ =1 y 1)周x+y)=x+(经+号）-a+6+兰 bx y≥a+b+2W2 +g=G+6) ay bx 当且仅当xy 即r=a十瓜时 x+y=(a+√b) y=6+Vab 取得最小值. )迪（后）+(）=1，即2+=1， 则(x-a)(y-b)=ab,且x>a,y>b, b 可设x-a=at,y-b= ,其中t∈(0，+∞)， 于是x+y=[a1++[1+2)]=ad +)+6(1+)八， 记h()=a1+0+6(1+2)广， 可程)=加1+少t+6+)》 (-)=at)四 +1 [-(会)] 由=0得=（合）产，2，=（台）产. 当0<t<to时h'(t)<0,当t>to时，h'(t)>0,则 h()m=h)=a1+o)+6(1+2）广=a [+(台)产]++（台）产] =(a十bm·a市)”十(b十at·bm市)"=aH (a十b)”十b(b十a)” =(a品+b帝)出，所以(x十y”)后 ≥a前+b品)中. 答案：(1)x+23y-4=0 (2)(i)(√a+√6)：（ⅱ）证明见解析 【 化卷(26一ZT)·数学答案 a-123 19.解析：(1)由性质M2定义知： 1a22 a-2≥3 a≥6 →a≥6，且a∈N*, 所以a的最小值为6. (2)由题设1a,一a+1≥0，a出，(=1,2,3，…，n 15 1),且a1<<am, a,a+111 。1 所以@1a≥“6→。之正i=12, 3,…,n-1), 1111 所以 2+…+1-1=11 an-1 an al an ≥” 15 ,得证. 1。n-1 (3)由(2)知：a>15 -1 15 <1→n<16, a1≥1 11、n-i 同(2)证明得 aa≥15 且i=1,2,3,…,n-1, a>15,又a,≥， 故 所以≥” →i(n-i)15在i=1,2,3,…,n 1上恒成立， 当n≥8，取i=3,则3(n-3)≥15，故n<8, 事”7.则一0e+?”-誓<15=n 4 √60，即n≤7. 综上，集合A中元素个数的最大值为7， 答案：(1)6： (2)证明见解析： (3)7,理由见解析. 卷3函数的概念和基本性质 l.C因为y=lnx在(0，十oo)上单调递增，y=一x 在(0，十∞)上单调递减， 所以f(x)=一lnx在(0，十oo)上单调递减，故A 错误； 1 因为y=2在(0，+∞)上单调递增，y=元在(0，十 ∞)上单调递减， 1 所以fx)=2在0，+∞)上单调递减，故B错误； 因为y=】在(0，十0)上单调递减，y=一x在(0， 十∞)上单调递减， 所以f(x)=-1在(0，十∞)上单调递增，故C 正确： 因为f(号）=3-3定=1)=3=3” =1,f(2)=32-山=3， 显然f(x)=3x-山在(0，十o∞)上不单调，D错误.故 选C. 】 最新5年高考真题分类优 2.B设f(x)= er-x2 2+7,函数定义城为R,但f(-1) 2F1>三1，则1)∠F1)、故A 错误； 设g(x)=c0sx十x2 r+1,函数定义城为R, 且g(-x)=c0s（-x)+(-x)-osx+x (-x)2+1 x2+1 (x),则g(x)为偶函数，故B正确； 设h(x)=ex x+,函数定义域为xx≠-1，不关 于原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错误； 设(.x)=sinx十4x e严，函数定义城为R, 因为9(1)=sin1+4 (-1)=sin1-4 则o(1)≠g(一1)，则9(x)不是偶函数，故D错误。 故选B. 3.C因为函数y=sinx的最小正周期为T=2π， 品数y=2sinm(3x-君）的最小正周期为T- 31 所以在x∈[0,2]上品数y=2sin(3x-若）有三个 周期的图象， 在坐标系中结合五，点法画出两函数图象，如图所示： Y y=2sin(3x-T) 2 6 y=sinx 0 2T T 2πx -2 由图可知，两函数图象有6个交，点.故选C 4.B因为当x<3时f(x)=x,所以f(1)=1,f(2) =2, 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2), 则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5, f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f (7)>f(6)+f(5)>21, f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55, (10)>f(9)+f(8)>89, f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10) >233,f(13)>f(12)+f(11)377 f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f (13)>987, f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,则依次下去 可知f(20)>1000,则B正确： 且无证据表明A,C,D一定正确.故选B. 5,B因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)= e十ln(x十1)单调递增， -2a 则需满足 2X-D≥0，解得-1≤a≤0， -a≤e°+lnl 即a的取值范围是[-1,0].故选B. 【 化卷(26一ZT)·数学答案 S-1 6.D由题意得nN S-1 =2.1,nN =3.15,则2.1ln N1=3.15lnV,, 即2lnN1=3lnN2,所以N=V.故选D. 7.C解法1：由题意可知：f(x)的定义域为（一b,十 00), 令x十a=0解得x=-a;令ln(x+b)=0解得x= 1-b: 若一a≤一b,当x∈(-b,1一b)时，可知x十a>0,ln (x十b)0, 此时f(x)0,不符合题意； 若-b<-a<1-b,当x∈(-a,1-b)时，可知x+ a>0,ln(x+b)0, 此时∫(x)<0,不符合题意； 若-a=1-b,当x∈（一b,1-b)时，可知x十a<0, In(x+6)<0, 此时f(x)>0; 当x∈[1-b,十oo)时，可知x+a≥0，ln(x+b)≥0， 此时f(x)≥0； 可知若一a=1一b,符合题意； 若-a>1-b,当x∈(1一b,-a)时，可知x十a<0, ln(x+b)>0, 此时f(x)0,不符合题意； 综上所述：一a=1一b,即b=a十1， 112,1、1 则a+b2=a2+(a+1)=2(a+2）+2≥2： 1.1 当且仅当a=一2b=2时，等号成立， 1 所以a2十b的最小值为2： 解法2：由题意可知：f(x)的定义域为（一b,十∞）， 令x十a=0解得x=-a:令ln(x十b)=0解得x= 1-b: 则当x∈（一b,1一b)时，ln(x+b)<0,故x十a0, 所以1-b十a0; x∈(1一b,+oo)时，ln(x+b)>0,故x+a≥0，所以 1-b+a≥0； 故1-b+a=0,则a2+b2=a2+(a+1)2=2 1 1、1 (a+2）+2≥2' 1 当且仅当Q=2b三时，等号放立 所以a2+b2的最小值为2.故选C 8.D解法1：令f(x)=g(x),即a(.x+1)2-1=cosx +2a.x, 可得a.x2十a-1=cosx, AF(x)=ax+a-1;G(x)=cos x, 原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y =G(x)恰有一个交点， 注意到F(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在 y轴上， 可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2, 若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2十1-cosx=0 因为x∈（一1,1），则2x2≥0,1-c0sx≥0，当且仅 当x=0时，等号成立， 】 最新5年高考真题分类优 可得2x2十1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号 成立， 则方程2x2十1一c0sx=0有且仅有一个实根0， 即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 所以a=2符合题意； 综上所述：a=2. 解法2：令h(x)=f(x)-g(x)=a.x2+a-1-cos x,x∈(-1,1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零，点， 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+ a-1-cosx=h(x), 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零，点只能为0， 即h(0)=a-2=0,解得a=2, 若a=2,则h(x)=2x2+1-cosx,x∈(-1,1)， 又因为2.x2≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时，等 号成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意： 故远D. 9.ACD因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2 (x-1)(x-4)+(x-1)=3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时，f(x)<0,当x∈(-∞，1)或x ∈(3，+oo)时，f'(x)>0 函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调 递减，在(3，十∞)上单调递增，故x=3是函数∫(x) 的极小值，点，A正确： 当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x≥ x2>0, 而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f (x)>f(x2),B错误： 当1<x<2时，1<2x一1<3，而由上可知，函数f (x)在(1,3)上单调递减， 所以f(1)>f(2.x-1)>f(3),即-4<f(2.x-1)< 0,C正确； 当一1<x0时，f(2-x)-f(x)=(1-x)(-2 x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2.x)>0, 所以f(2一x)>f(x),D正确.故选ACD. 及π 10.BC令f(x)=sin2x=0,解得x=2,k∈Z,即为 f(x)零点， 令R=n(2x-）=0,解得-受+后k∈ Z,即为g(x)零点， 显然f(x),g(x)零，点不同，A选项错误； 显然f(x)mx=g（x)max=1,B选项正确； 根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2开 =π，C 选项正确； 根据正弦函数的性质(x)的对称轴满足2x=kπ k大 gx)的对称轴满足2x-于=x十受9x= CL 【 化卷(26一ZT)·数学答案 显然f(x),g(x)图象的对称轴不同，D选项错误 故选BC. 11.ADf'(.x)=6.x2-6a.x=6.x(.x-a),由于a>1, 故x∈(-oo,0)U(a,十oo)时f'(x)>0,故f(x) 在（一o,0),(a,十∞）上单调递增， x∈(0，a)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极 小值， 由f(0)=1>0,f(a)=1-a3<0,则f(0)f(a) 0, 根据零点存在定理f(x)在(0，a)上有一个零点， 又f(-1)=-1-3a<0,f(2a)=4a3+1>0, 则f(-1)f(0)0,f(a)f(2a)<0, 则f(x)在（一1,0），(a,2a)上各有一个零，点，于是 a>1时，f(x)有三个零，点，A选项正确： f'(x)=6x(x-a),a<0时，x∈(a,0),f(x)0, f(x)单调递减， x∈(0，十o)时f(x)>0,f(x)单调递增， 此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误； 假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴， 即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x), 即2x3-3a.x2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1, 根据二项式定理，等式右边(2b一x)3展开式含有x 的项为2C(2b)°（一x)=-2.x°， 于是等式左右两边x的系数都不相等，原等式不 可能恒成立， 于是不存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称 轴，C选项错误； 方法1：利用对称中心的表达式化简 f(1)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3一3a)为 (x)的对称中心， 则f(x)十f(2-x)=6-6a,事实上， f(.x)+f(2-x)=2x3-3a.x2+1+2(2-x)3-3a(2- x)2+1=(12-6a).x2+(12a-24)x+18-12a, 于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a 12-6a=0 即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得 18-12a=6-6a (1,f(1)是f(x)的对称中心，D选项正确. 方法2：直接利用拐，点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是 二阶导数的零点， f(x)=2.x3-3ax2+1,f'(x)=6.x2-6a.x,f"(x) =12x-6a, 由f”(x)=0台x三？，于是该三次函数的对称中心 为（受5（受）) 由题意(1，f1)也是对称中心，故号=1台a=2, 即存在a=2使得(1，f(1)是f(x)的对称中心，D 选项正确.故选AD. 入 3 2.解析：由题意可知0g,aog4og,a21og,0 5 =一2' 0 】 最新5年高考真题分类优 整理得(log2a)2-5log2a-6=0, →log2a=-1或log2a=6,又a>1, 所以l0g2a=6=log22,故a=2=64. 答案：64 13.解析：令x3-3.x=-(x-1)2十a,即a=x3十x2- 5.x+1, 令g(x)=x3+x2-5.x+1(x>0), 则g'(x)=3x2+2x-5=(3.x+5)(x-1),令g (x)=0(x>0)得x=1, 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(1，十oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，g (0)=1,g(1)=-2, 因为曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0， 十∞)上有两个不同的交点， 所以等价于y=a与g(x)有两个交点，所以a∈ (-2,1). y=g(x) y=a 答案：(-2,1) 14.解析：依题意，a>0, 当x<一a时，f(x)=x十2，易知其图象为一条端 ,点取不到值的单调递增的射线； 当-a≤x≤a时，f(x)=√a-x7,易知其图象 是，圆心为(0,0)，半径为a的圆在x抽上方的图象 (即半圆)： 当x>a时，f(x)=一√元-1，易知其图象是一条 端，点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取a=了，则fx)的因象如下， 显然，当xea-1,+o),即x∈（号+∞）时， fx)在（一号，0）上单调适增，故①错误： 对于②，当a≥1时， 当x<-a时，f(x)=x+2<-a+2≤1； 当-a≤x≤a时，f(x)=√a一x显然取得最大 值a; 当x>a时，f(x)=-√F-1<-√a-1≤-2， 综上：f(x)取得最大值a,故②正确； 对于③，结合图象，易知在x1=a,x2>Q且接近于 x=a处，M(x1,f(x1)(x1≤a),N(x2,f(x2) (xg>a)的距离最小， 【 化卷(26一ZT)·数学答案 y 当x1=a时，y=f(x1)=0, 当x2>a且接近于x=a处，y2=f(x2)<一√a -1, 此时，lMN|>y1-y2>√a+1>1,故③正确： 对于国，取a=手，则fx)的图袋如下， 0 因为P(xa,f(xa)(xa<-a),Q(x1,f(x1)(x1 ≥-a), 结合图象可知，要使|PQ取得最小值，则点P在f x)=x+2(<-号)上，点Q在f(x) 4) 同时|PQ|的最小值为点O到f(x)=x+2 (c<-专)的距离减去丰国的车径a, 此时，因为fx)=y=x+2(<-青)的斜率为 1,则kp=-1,故直线OP的方程为y=-x, 装千2解得，则P(-11 显然P(-1,1D在fx)=x+2(e<-吉)上，满足 |PQ|取得最小值， 即a=青也满足PQ存在最小位，故a的取维范 国不仅仅是(0，号]，故④辑误。 答案：②③ 15.解析：(1)因为y=f(x)的图象过(4,2)，故log。4= 2,故a2=4即a=2(负的舍去)， 而f(x)=log2x在(0，十o∞)上为增函数，故f(2x -2)<f(x), 故0<2x-2<x即1<x<2, 故f(2x-2)<f(x)的解集为{x|1<x2}. (2)因为存在x使得f(x+1)、f(ax),f(x+2)成 等差数列， 故2f(a.x)=f(x+1)+f(x十2)有解， 故2log。(a.x)=log。(x+1)+log。(x+2), 因为a>0,a≠1，故x>0,故a2x2=(x+1)(x+2) 在(0，十o)上有解， 】 最新5年高考真题分类优 由a2=x+3x+ +2-(+) =1+ 8在(0，十∞)上有解， 令4=上∈0，十)西y=2(+2）-日在0… 十∞)上的值域为(1，十∞)， 故a>1即a>1. 答案：(1){x1<x<2}:(2)a>1 16,解析：(1)b=0时，f(x)=n2二x+ax,其中x∈ (0,2), 1 则f'(x)=+2- 2 一十a= x(2-x)+a,x∈(0， 2), 周为x2-x)(）=1,当且仅当x=1 时等号成立， 故f'(x)mim=2+a,而f'(x)≥0成立，故a+2≥0 即a≥-2， 所以a的最小值为一2， (2)f(x)=ln2+ax+b(x-1)°的定义城为 (0,2), 设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点， P(m,n)关于(1，a)的对称点为Q(2-m,2a一n), 因为Pm,w)在y=)图李上，就因=n”n十 am+b(m-1)3, 而f2-m)=n2二”+a(2-m)+h(2-m-1) ,m+am+b(m-1)+2a, =一n2-m =-n+2a, 所以Q(2-m,2a-n)也在y=f(x)图象上， 由P的任意性可得y=f(x)图象为中心对称图形， 且对称中心为(1，a). (3)因为f(x)>2当且仅当1<x<2,故x=1为 f(x)=-2的一个解， 所以f(1)=-2即a=-2, 先考虑1x<2时，f(x)>一2恒成立. 此时fx)>-2即为1n2二2+21-x)+6(r 1)30在(1,2)上恒成立， t+1 设t=x-1e(0,1),则n1- -2t+bt3>0在(0， 1)上恒成立， 设0)=h -2t+bt,t∈(0,1)， 7-2+3M-1(-362+2+36) 则g'()=2 1-t2 当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+36b=2>0, 故g'(t)>0恒成立，故g(t)在(0,1)上为增函数， 故g(t)>g(0)=0即f(x)>-2在(1,2)上恒 成立， 2 当-3≤6<0时，-3bt+2+3b≥2+3b≥0， 【 化卷(26一ZT)·数学答案 故g'(t)≥0恒成立，故g(t)在(0,1)上为增函数， 故g(t)>g(0)=0即f(x)>-2在(1,2)上恒 成立。 2 当b<一 子，则当0<<V1+元 <1时，g'(t) <0 2 故在(0，√1+苏）上g)为或通数，故g)<8 (0)=0,不符合题意，舍去； 2 综上，f(x)>-2在(1,2)上恒成立时b≥一3 而当b≥一3时， 2 而b≥一3时，由上迷过程可得g()在(0,1)递增， 故g(t)>0的解为(0,1)， 即f(x)>-2的解为(1,2). 综上，b≥3 2 答案：(1)-2 (2)证明见解析 (3)b≥-2 3 17.解析：(1)若f(-3)>f(1),则2×1-3+11-1-3 -a|+b>2×11+11-11-a1+b, 即13+a||1-a1, 两边平方，得9十6a十a2<a2-2a+1,即8a<-8, 解得a-1, 所以实数a的取值范围是（一o,1). (2)因为a=5, 所以函数f(x)=21x十1I-1x-51+b [-x-7+b,x≤-1 3x-3+b,-1<x5, x+7+b,x≥5 观察图象，知函数f(x)=2|x十1|一1x一51十b在 (一∞，一1]上单调递减， 05 在(-1,5)和[5，+∞)上单调递增，且f(-1)=-6 +b,f(5)=12+b, 3-b ①当-12<b<6时，x1=-7+b,x2= 3 -18+2b 由x1十x2= 3 =一4，解得b=3; ②当b≤-12时，x1=-7+b,x2=-7-b, 此时x1十x2=-14,与x1十x2=一4矛盾，舍去. 综上，实数b的值为3. 答案：(1)(-∞，-1)；(2)3 18解析：1)当M0.0)时s(x)=(x一-0)产+（侵-0） 】 最新5年高考真题分类优 x21 1 =2, 1 当且仅当x=方即x=1时取等号， 故对于点M(0,0),存在点P(1,1),使得该点是M(0, 0)在f(x)的“最近点” (2)由题设可得s(x)=(x一1)十(e一0)=(x 1)2十e2x, 则s'(x)=2(x-1)十2e2r,因为y=2(x-1),y= 2e2均为R上单调递增函数， 则s'(x)=2(x-1)十2e2在R上为严格增函数， 而s'(0)=0,故当x<0时，s'(x)<0,当x>0时，s (x)>0, 故s(x)min=s(0)=2,此时P(0,1), 而f'(x)=e,k=f'(0)=1,故f(x)在点P处的 切线方程为y=x十1. _0-1 而kMP=1一0 =-1,故kMp·k=一1，故直线MP 与y=f(x)在点P处的切线垂直. (3)设s1(x)=(x-t+1)2+(f(x)-f(t)+g (t))2, s2(x)=(x-t-1)2+(f(x)-f(t)-g(t)2, 而s,'(x)=2(x-t+1)+2(f(x)-f(t)+g(t)) f'(x), s2'(x)=2(x-t-1)+2(f(x)-f(t)-g(t)f (x), 若对任意的t∈R,存在，点P同时是M,,M,在A (x)的“最近点”， 设P(xo,yo),则x。既是s1(x)的最小值点，也是 s2(x)的最小值，点， 因为两函数的定义域均为R,则x。也是两函数的 极小值点， 则存在x。,使得s1'(x。)=s2(x。)=0, 即s1'(xo)=2(x。-t+1)+2f'(xo)[f(xo)-f (t)+g(t)]=0① s2'(x。)=2(xo-t-1)+2f'(xo)[f(xo)-f(t)- g(t)]=0② 由①②相等得4+4g(t)·f'(x0)=0,即1+f (xo)g(t)=0, 即f'(x。)= g石，又因为函数g(x)在定义战R 上恒正， 则∫'(x)=一 1 0恒成立， g(t) 接下来证明x。=t, 因为x。既是51(x)的最小值点，也是52(x)的最小 值点， 则s1(xo)≤s(t),52(xo)≤s(t), 即(x。-t+1)2+(f(x。)-f(t)+g(t))≤1+(g (t))③， (x。-t-1)2+(f(x。)-f(t)-g(t)≤1+(g (t)④， ③+④得2(x0-t)+2+2[f(xo)-f(t)]+2g (t)2+2g(t) 即(x-t)+(f(x。)-f(t)2≤0，因为(x。-t) ≥0，(f(x)-f(t)≥0 【 化卷(26一ZT)·数学答案 则/。t=0 f(x)-f)=0:解得x。=t, 1 则f'(t)= g石<0恒成立，因为1的任意性，则 f(x)严格单调递减. 答案：(1)证明见解析 (2)存在，P(0,1) (3)严格单调递减 19.解析：(1)设F(x)=ln(x十1)一x,则F'(x)= +1-1,当-1<x<0时，F'(x)>0,F(x)在(- 1,0)上单调递增， 当x>0时，F'(x)<0,F(x)在(0，十∞)单调递减， 则F(x)在x=0处取得极大值，即为最大值， 即F(x)F(0)=0,则当x∈（一1，十oo)时，x≥ln (x+1): 设H(x)=e-I-x,则H'(.x)=e-1-1,当-1< x<1时，H'(x)0,H(x)在(-1,1)上单调递咸， 当x>1时，H'(x)>0,H(x)在(1，十o)上单调递 增，则H(x)在x=1处取得极小值，即为最小值， 即H(x)≥H(1)=0,则当x∈(-1，十oo)时，x ≤e-1 于是当x∈(-1，十∞)时，ln(x+1)≤xe-1, 所以函数f1(x)=x为函数y=ln(x+1)与y= e1在(-1，十∞)上的“分割函数”. (2)因为函数y=a.x2十b.x十c(a≠0)为函数y 2x2十2与y=4.x在（一o∞，十∞）上的“分割函数”， 则对Hx∈R,4.x≤ax2+bx十c≤2x2十2恒成立， 而(2x2+2)'=4x,于是函数y=2x2+2在x=1处 的切线方程为y=4x, 因此函数y=ax2+bx十c的图象在x=1处的切线 方程也为y=4x,又y=2ax+b, 别化440得低=2 于是4x≤a.x2+(4-2a).x+a≤2x2+2对Hx∈R 恒成立， (2-a)x2+(4-2a)x+2-a≥0 即 a.x2-2a.x+a≥0 对Hx∈R恒 成立， (2-a>0 因北A二2a-4)-42-a2-a)≤0，解得0 a>0 42=4a2-4a2≤0 a2, 所以实数a的取值范围是(0,2). (3)对于函数y=x-4x2,y'=4x3-8x= 4x（x+√2)(x-2), 当x∈（-oo,-√2)和x∈(0√2)时，y<0, 当x∈(-√2,0)和x∈（W2,十o∞)时，y'>0, 则x=√2，x=-√2为y=x1-4x2的极小值点，x =0为极大值，点， 函数y=x1-4x2的图象如图， 】 最新5年高考真题分类优 -16 由函数y=kx十d为函数y=x1-4.x2与y=4x 一16在区间[m,n]上的“分割函数”， 得存在do≥d,使得直线y=kx十d。与函数y=x 一4x2的图象相切， 且切点的横坐标t∈[-2，-√2]U[V2,2], 此时切线方程为y=(4t一8t)x十4t-3t,即k= 413-8t,d。=42-3t, 设直线y=kx+d与y=4x2-16的图象交于点 (x1y1),(x2y2), 则/y=x+d ly=4x2-16 消去y得4x2-kx-16-d=0, k 16+d 则x1十工=4x1·x?= 4 于是|x1-x2|=√(x1十x2)-4.x1x2= 2 √6+16+d≤√i6+16+d。 /(t-21)+16+41-31 =/ti-7t1+8t2+16 令t2=s,s∈[2,4]，k(s)=s3-7s2+8s+16, 则k'(s)=3s2-14s+8=(3s-2)(s-4)≤0， 当且仅当s=4时，k'(s)=0, 所以k(s)在[2,4]上单调递减，k(s)mx=k(2)=12, 因此|x1一x2|的最大值为23，所以n一m的最大 值为23. 答案：(1)证明见解析 (2)(0,2) (3)2√3 卷4幂函数，指数函数，对数函数 1.B设y=fx)=1nx Γx2+2 ,则函，数f(x)的定义域为 {xx≠0}，关于原点对称 、又F(x)P2=(x),所以函数f(x)为 偶函数，排除AC: 当x∈(0,1)时，ln|x|<0,x+2>0,所以f(x) 0,排除D.故选B. 2.C根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b和 3“=3都当且仅当α=b,所以二者互为充要条件.故 选C B原式=(2xg3+子s3(oe2+与g2) 【 化卷(26一ZT)·数学答案 =3log:3X2log,2=2,故选B. 4.D函，数y=2在R上单调递增，而函数f(x)= 2r’在区间(0,1)上单调递减， 到有多数=-a=(-号）广-在区月0D 上单调递减，因北受>≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，十o∞).故选D. 1 1 5.Cf(-x)+f(x)= 1+2+1+2=1+2+ 1十2=1，故A错误，C正确； 1 1 1 2 f(-x)-f(x)=1+21+2=1+21+2 多1异不灵常级，成D领溪说这心 2 6.B由题意不妨设x1<x2,因为函数y=2是增函 数，所以0<21<22，即0<y1<y2, 可得”>2-中印产> 2 2中>0， y+y2之 根据画数y=logx是增函数，所以log,2 g2中-士，长B正确A错误： 例如x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2, 可得10gy”=lg名∈0.1.甲6e 3 yi十y2 <1=x1十x2,故D错误； 1 1 例如x1=-1,x2=一2，则y1=2y=4 3 y1十y2log:g=1og23-3∈(2，二1D 可得1og:2 十y>-3=十r故C错误，故选B 即1og22 7.B因为y=4.2在R上递增，且-0.3<0<0.3， 所以0<4.203<4.2°<4.23， 所以0<4.23<1<4.20.3，即0<a<1<b, 因为y=log12x在(0，+∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log1.20.2<log1.21=0,即c<0, 所以b>a>c,故选B. 43 8.B令函数f(x)=3x(x>0),求导得f'(x)= 1 利方(aEN)可视为画数f:)=言(>0)在 n x=n处的切线斜率， 设A(n,f(n),B(n+1,f(n+1), 则直线AB的斜率长=nt）fm=fm十 n+1-n 1)-f(n), 由导数的几何意义有f(n+1)<kAB<f'(n), 4 】