精品解析：湖北省襄阳市樊城区太平店中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

湖北省襄阳市樊城区太平店中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回， 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 在地球上，太阳东升西落 B. 亚运会射击运动员射击一次命中靶心 C. 两点之间线段最短 D. 水涨船高 2. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛21场，共有多少个球队参加比赛？设有个球队参加比赛，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在的内接四边形中，，那么是（　　） A. B. C. D. 5. 把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）（单位：）成反比例关系，当时，，则关于的关系式是（　　） A. B. C. D. 7. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知二次函数，该二次函数的顶点坐标是___________． 12. 已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 13. 如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为___________． 14. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为___________． 15. 如图，正方形的边长为4，以为圆心，为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，的长度是___________，长度的最小值是___________． 三、解答题（共9小题，满分75分，解答题要有必要的文字说明） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； （2）如图2，，若，求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）若点在点的右侧且横坐标为2，求． 19. 如图，已知是的直径，点C、D在上，点在外，． （1）请说明是的切线； （2）若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 20. “春节-中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．张老师在班会上，提议同学们从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”“E．放鞭炮”这五个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了5张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）佳佳从这五张卡片中随机摸出一张，摸到“C．挂灯笼”的概率是___________； （2）若平平先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，安安再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为60分米，过点作，交于点，交AB于点，水面下盛水筒的最大深度为10分米（即分米）． （1）求的半径； （2）若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的60分米变为80分米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少分米？ 22. 奔赴苍穹，逐梦九天，神舟二十号开创了中国航天的新里程，航天员出舱安装防护装置取得圆满成功．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出200个，平均每个可盈利40元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出20个． （1）若设每个模型降价元，平均每天可售出___________个： （2）要使该模型平均每天销售利润达12000元，每个模型应降价多少元？ （3）该商店平均每天销售利润能达到12800元吗？请用你所学过的一元二次方程或者是二次函数的知识分析，并写出你的理由． 23. 如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段上，求证：； （2）如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O在线段上，若，当时，请直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于原点O、A两点，点坐标为()． （1）求拋物线的函数表达式及拋物线的对称轴； （2）若点是第二象限抛物线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，点恰好在抛物线的对称轴上，求点的坐标； （3）设直线与拋物线相交于E，F两点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省襄阳市樊城区太平店中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回， 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 在地球上，太阳东升西落 B. 亚运会射击运动员射击一次命中靶心 C. 两点之间线段最短 D. 水涨船高 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确区分各种事件是解题关键．直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别判断得出答案． 【详解】 A. 太阳东升西落是必然发生的，为必然事件； B. 射击运动员射击一次，可能命中也可能不命中，为随机事件； C. 两点之间线段最短是几何公理，必然成立，为必然事件； D. 水涨船高是必然发生的物理现象，为必然事件. 故选：B． 2. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛21场，共有多少个球队参加比赛？设有个球队参加比赛，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛21场”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有个球队参加比赛， 根据题意得：． 故选：D． 4. 如图，在的内接四边形中，，那么是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先根据圆周角定理求出，再利用圆内接四边形对角互补的性质求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴． 故选：A ． 5. 把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．根据函数图象左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度， ∴所得的抛物线解析式为， 故选：B． 6. 如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）（单位：）成反比例关系，当时，，则关于的关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：由题意设：， 把，，代入， 得； ∴； 故选：C． 7. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，即可判断的符号，即可求解． 【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴，则， 故选：C． 8. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、点的坐标变化规律、全等三角形的判定与性质及勾股定理，先求出点C的坐标，再依次求出每次旋转后点C对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 过点C作x轴的垂线，垂足为M，过点B作的垂线，垂足为N， ∵， ∴， ∴， 则． ∴， 又∵， ∴， 则， 过点作y轴的垂线，垂足为P， 由旋转可知，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得，第2次旋转后点C的坐标为，第3次旋转后点C的坐标为，第4次旋转后点C的坐标为，第5次旋转后点C的坐标为，…， 由此可见，从第1次旋转开始，点C的坐标按，，，循环． 又∵余1， ∴第2025次旋转后点C的坐标为． 故选：D． 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知二次函数，该二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】 1 【解析】 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点求解即可； 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 13. 如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，由分别和相切于点A、B，得；因为过C作的切线分别交于点D、E，所以，，所以，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别和相切于点A、B， ∴， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 14. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，菱形的面积公式，设一元二次方程的两个根为，根据，根据面积公式计算即可． 【详解】设一元二次方程的两个根为， ∵， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为4，以为圆心，为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，的长度是___________，长度的最小值是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质和正方形的性质．连接，先根据正方形的性质得到，，，再根据旋转的性质得，，接着证明得到，然后根据三角形三边的关系得到（当且仅当点在上时取等号），从而可确定长度的最小值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵（当且仅当点在上时取等号）， ∴长度的最小值为． 故答案为：；． 三、解答题（共9小题，满分75分，解答题要有必要的文字说明） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程．熟练掌握配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 17. 如图，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； （2）如图2，，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些性质和定理进行线段长度和角度的计算． （1）根据旋转性质得到，，再通过线段的和差关系求； （2）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质和旋转性质求出． 【小问1详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故的长为：4； 【小问2详解】 解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 的度数为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）若点在点的右侧且横坐标为2，求． 【答案】（1）反比例函数解析式为， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的表达式，然后联立方程组求解即可得出点A的坐标； （2）先求出点M的坐标，然后根据待定系数法求出直线的表达式，进而求出直线与x轴的交点坐标，最后根据割补法求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 所以，反比例函数解析式为， 把代入得：， 解得， 所以，直线解析式为， 联立方程组得, 解得或, ∵点A在第一象限， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在点的右侧且横坐标为2， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴． 19. 如图，已知是的直径，点C、D在上，点在外，． （1）请说明是的切线； （2）若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，结合条件可得，进而证明是的切线； （2）连接，证明是等边三角形，进而根据圆周角定理可得的度数，进而根据弧长公式求解的长，，继而推导出，，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接OC，如图 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：； ； ∵， ∴， ∴， ∴． 20. “春节-中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．张老师在班会上，提议同学们从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”“E．放鞭炮”这五个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了5张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）佳佳从这五张卡片中随机摸出一张，摸到“C．挂灯笼”的概率是___________； （2）若平平先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，安安再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽到“C．挂灯笼”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人摸到的习俗相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽到“C．挂灯笼”的结果有1种， ∴佳佳从这五张卡片中随机抽取一张，抽到“C．挂灯笼”的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中两人摸到的习俗相同的结果有5种， ∴他们两人摸到的习俗相同的概率为． 21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为60分米，过点作，交于点，交AB于点，水面下盛水筒的最大深度为10分米（即分米）． （1）求的半径； （2）若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的60分米变为80分米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少分米？ 【答案】（1）50分米 （2）10分米 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得分米，设圆的半径为r分米，则分米，分米，利用勾股定理得，即，解方程即可得解； （2）设水面升到如图的位置，则，与相交于点G，根据垂径定理得分米，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【小问1详解】 解：如图，由题意可知，分米，分米， ∵分米，， ∴分米， 设圆的半径为r分米，则分米，分米， 在中，，即， 解得， 即该圆的半径为50分米； 【小问2详解】 解：设水面升到如图的位置，则，与相交于点G， ∵，且经过圆心， ∴（分米）， 连接， 在中，分米，分米， ∴（分米）， ∴（分米）， 即水面上涨的高度为10分米． 22. 奔赴苍穹，逐梦九天，神舟二十号开创了中国航天的新里程，航天员出舱安装防护装置取得圆满成功．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出200个，平均每个可盈利40元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出20个． （1）若设每个模型降价元，平均每天可售出___________个： （2）要使该模型平均每天销售利润达12000元，每个模型应降价多少元？ （3）该商店平均每天销售利润能达到12800元吗？请用你所学过的一元二次方程或者是二次函数的知识分析，并写出你的理由． 【答案】（1） （2） 应降价20元 （3） 不可能达到12800元 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是列出对应函数式，根据题意进行解答； （1）根据“平均每天可售出200个，售价每降低1元，平均每天可多售出20个”即可求解； （2）根据“每天的利润=降价后每个模型利润×每天售出数量”解答即可； （3）结合（2）中的配方解答即可； 【小问1详解】 由题干，每降价1元，每天可多售20个， 故：降价元，平均每天可售个， 【小问2详解】 由于未降价前每天售出200个，故降价后，每天售出个； 由于降价前每个模型利润为40元，故降价后，每个模型利润为元， 故每天的利润， 由题干，即得方程：， 解得：，或， 要使顾客优惠程度更大，应降价力度更大， 故应降价20元； 【小问3详解】 由（2）即得： 每天的利润， 配方，即得：， 故的最大值为12500，即不可能达到12800元． 23. 如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段上，求证：； （2）如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O在线段上，若，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图①中， ∵与为正三角形， ∴， ∵将射线绕点O逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 解：，理由如下： 如图②，过点O作，交于H， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）4或2或6 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由旋转的性质可得，由“”可证； （2）如图：过点O作，交于H，可证是等边三角形，可得，由“”可证可得，即可得． （3）先分四种情形分别画出图形，分别根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：作于H． ∵， ∴， 如图③﹣1中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时． ∵， ∴， ∴， 如图：过点O作，交于N， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图③﹣2中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时． 同法可证：， ∴， ∴； 如图③﹣3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时． 同法可证：， ∵， ∴， ∴； 如图③﹣4中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时． 同法可知：， 而， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为4或2或6． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于原点O、A两点，点坐标为()． （1）求拋物线的函数表达式及拋物线的对称轴； （2）若点是第二象限抛物线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，点恰好在抛物线的对称轴上，求点的坐标； （3）设直线与拋物线相交于E，F两点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点，求的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为：，顶点P的坐标为 （2） （3）1 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数的解析式，三角形全等的性质与判定，两点间的距离等内容，作辅助线并掌握相关定理是解决问题的关键． （1）将点O和点A的坐标代入抛物线计算即可； （2）过点Q作轴于点H，过点Q作对称轴的垂线交于点，通过证得出，即：，然后计算即可； （3）通过联立抛物线与直线得，然后设点E、F两点的坐标，结合韦达定理，根据两点间的距离公式计算即可． 【小问1详解】 解：将点和点分别代入抛物线得： ，解得， 所以抛物线的解析式为：， 将其化为顶点式：， 因此顶点P的坐标为． 【小问2详解】 解：由(1)可知抛物线的对称轴为，设，， 过点Q作轴于点H，过点Q作对称轴的垂线交于点， 由于线段绕点Q逆时针旋转得线段， 故，, ∴， ∴，即：， 解得：或不合题意，舍去， 所以， 所以点Q的坐标为． 【小问3详解】 解：如图， 因为直线，所以直线恒过，即：点， 联立抛物线与直线得：，整理得：， 设，，同时点E在点F的左侧，故， 由韦达定理得：，， 故， 又，， 故，， 则 ， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $