重难点08 最值模型之隐圆模型（8种题型）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“最值模型之隐圆模型”，覆盖定点定长得圆、直角对边为直径等8大核心题型，通过“核心原理-常见考点-典型场景”架构梳理知识联系，设计“考点深挖-分层锤炼-真题演练”教学环节，帮助学生系统突破几何最值难点。 亮点在于以“数学眼光”构建隐圆轨迹认知，如“定弦定角”题型通过确定圆心半径培养几何直观，结合“分层锤炼”设计基础与创新练习，精选2025年中考真题示例，如折叠旋转问题中的轨迹分析，助力学生提升推理能力与应用意识，教师可依托此资料精准实施分层教学，高效提升复习效果。

重难点08 最值模型之隐圆模型 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 15 固·重难考点 拓·创新能力 题型名称 核心原理 常见考点 典型场景 定点定长得圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆 1. 识别动点轨迹为圆 2. 结合 “两点之间线段最短”“垂线段最短” 求最值 动点到某定点距离为定值，求线段 / 角度最值 直角的对边是直径 直径所对的圆周角是直角；直角三角形的外接圆直径为斜边 1. 确定直角三角形外接圆的圆心和半径 2. 结合圆的性质求线段长度、角度 题目中出现直角三角形，或需要构造直角三角形确定圆的直径 对角互补得圆 对角互补的四边形内接于圆（四点共圆）；圆内接四边形对角互补 1. 利用 “对角互补” 判定四点共圆 2. 结合圆内接四边形的外角等于内对角解题 四边形中出现两组对角互补，或需要证明四点共圆转化角度 定弦定角得圆 同弦所对的圆周角相等；定弦定角的顶点轨迹是一段圆弧 1. 确定动点的轨迹圆弧（找圆心、半径） 2. 结合 “圆外一点到圆上点的距离最值” 求线段最值 题目中出现 “定弦 + 定角” 条件，求动点到某点的距离最值 四点共圆 满足 “对角互补”“外角等于内对角”“同弦所对圆周角相等” 等条件的四点共圆 1. 判定四点共圆的方法 2. 利用圆周角定理、相交弦定理等推导线段 / 角度关系 需要转化角度或线段关系时，通过四点共圆集中条件 相切时取到最值 直线或圆与另一个圆相切时，圆心距等于两圆半径之和（外切）或差（内切），此时常取到线段最值 1. 利用 “圆心距与半径的关系” 判定相切 2. 结合 “点到圆的距离最值” 求线段最值 动点轨迹为圆，求该动点到某直线 / 另一圆的距离最值 定角定高面积最小、周长最小问题 三角形中，定角定高时，等腰三角形面积最小、周长最小 1. 利用 “定角定高” 确定三角形的外接圆 / 内切圆性质 2. 结合 “垂线段最短”“轴对称” 求面积 / 周长最值 题目中出现 “定角 + 定高” 条件，求三角形面积或周长的最小值 米勒角（最大张角）模型 当△PAB 的外接圆与直线 AB 相切于点 P 时，∠APB 取得最大值 1. 利用 “定角定高” 确定三角形的外接圆 / 内切圆性质 2. 结合 “垂线段最短”“轴对称” 求面积 / 周长最值 求直线外一点到直线上两点的张角的最大值 题型01 定点定长得圆 1）根据圆的定义，当出现到定点的距离等于定长的点(或动点)时，可考虑该模型.当涉及折叠或旋转时.有时也会利用该模型确定动点的运动轨迹. 2）辅助圆主要用于求动点相关的最值问题，这里圆心的位置是解题的关键，且要注意动点的轨迹不一定是完整的圆，可能只是圆中的一段圆弧，最后根据“点、线、圆最值”模型来解决问题. 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 3．（2025·福建·中考真题）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，根据，得到在以为圆心，半径为5的圆上，延长交圆于点，连接，则为直径，得到，，根据平行线的性质，结合等边对等角得到，等角对等弦得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，点在以为圆心，半径为5的圆上，如图，延长交圆于点，连接， 则：为直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 题型02 直角的对边是直径 前世（圆的性质）：在圆 ⊙O 中，若 AB 是直径，则直径所对的圆周角 ∠ACB 恒为 90∘。 今生（轨迹判定）：反过来，若有一条固定线段 AB，且动点 C 满足 ∠ACB=90∘，那么点 C 的轨迹就是以 AB 为直径的圆（A,B 两点除外）。 【补充】这种情况本质上是 “定弦定角” 的特例，但因为其判定和应用都非常典型，所以单独作为一类。 7．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上（不与A，B重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，隐圆问题，找出点E的运动轨迹是解题的关键． 作于点F，作于点K，利用计算出，证，推出，可得取最大值时，取最小值；点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上，当点E，K，O共线时， 取最大值，由此可解． 【详解】解：作于点F，作于点K， 中，， ， ， ． ，， ， 又 ， ， ， ，是定值， 取最大值时，取最小值； 点D运动过程中，始终保持， 点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上， 当点E，K，O共线时，即点E在位置时，取最大值， ，， ， ，即， ， ，即的最大值为， 此时， 的最小值是3， 故答案为：3． 10．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 题型03 对角互补得圆 11．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得出A，B，C，D四点共圆，则，即可得出结果； （2）在线段取一点，使得，推出， 得出，证出，则，再证出，由证得得出是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）作于，则是的中点，连接，，则，得出E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，则，，得出是等边三角形，，作，则M为的中点，得出，，由勾股定理求出即可得出结果． 【详解】（1）解：， 四点共圆， ． 故答案为： （2）在线段取一点，使得，如图2所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示： ， 、、、和、、、分别四点共圆， ，， 是等边三角形， ， 作，则为的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆的判定、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 12．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得： 引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆． 例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得： 引理2线段同旁张等角，四点共圆． 例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接． (1)可求得______°，______°； (2)请判断的形状并证明； (3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度； (4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)30；60 (2)为等边三角形，见解析 (3) (4) 【分析】（1）过点作于点，解直角三角形得到，再由圆周角定理即可求解； （2）首先，可得点四点共圆，则，证明四点共圆，则，则，即可证明； （3）在上取一点，使得，过点作于点，证明，则，然后由勾股定理得到 ，即，那当时，，此时点重合，可得共线，求出，，再由弧长公式即可求解； （4）延长并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，证明，则，那么当最大时，最小，则当为直径时，最大，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30；60； （2）解：为等边三角形，理由如下： 如图： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：在上取一点，使得，过点作于点， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边，， ∴，， ∴由勾股定理得， 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ∴当时，，此时点重合，如图： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴共线， ∵ ∴， ∴； （4）解：延长并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径，为圆心， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， ∴当为直径时，最大，， 此时． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，涉及圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，二次函数最值问题，难度很大，正确条件辅助线是解题的关键． 题型04 定弦定角得圆 定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆. 13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴， ∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明在上，且在弧上是解本题的关键. 14．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)个，理由见解析 (3)当为钝角时， 【分析】本题考查了二次函数综合，一次函数与二次函数交点问题，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据二次函数的图象对称轴为轴，过坐标原点及点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设与轴交于点，过点作轴于点，先解，进而得出是等边三角形，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，求得直线的解析式为，联立二次函数解析式，即可求解； （3）先求得直线的解析式为，联立二次函数解析式得出，当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形，当在之间时，即在圆内，此时，进而根据，利用勾股定理建立方程，求得的值，进而可根据为钝角时，确定的范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为轴，过坐标原点及点 ∴ ∴ ∴二次函数解析式为： （2）解：如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵，点坐标为， ∴， ∴，， ∴ ∵轴， ∴ ∵射线平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 消去得，， ∵， ∴直线与二次函数的图象的公共点的个数为 （3）解：设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或 ∴ 如图， 当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形， 当在之间时，即在圆内，此时 ∵，，， ∴， 当时，时， ∴ 解得：， ∴当为钝角时，． 15．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中， ， 在中  ， ， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 16．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 【答案】（1），，，见解析（2）（3）（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用（1）中结论得到，进而求出，即可得出结果； （3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，证明，得到，推出，代入中，进行求解即可； （4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）如图（1），过点A作于点D， 在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 由①－②得：． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）中结论可知：，即：， ∴， ∴正方形的面积； （3）延长交于点，连接，则：， 由（1）中结论可知：，即：， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （4）∵， ∴， 设， 则：， ∵， ∴， ∴， 作，垂足分别为，则：， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴，， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，熟练掌握（1）中得到的结论，是解题的关键． 题型05 四点共圆 判定方法1：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 判定方法2：同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 判定方法3：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆. 判定方法4：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆. 判定方法5：共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 17．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 18．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．    (1)求证：A，，，四点共圆； (2)求证：为定值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出为中点，求出，证明，得出为等腰三角形，得出，求出，即可证明结论； （2）先证明，再根据，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ， 为等腰三角形，， 又∵， ∴为中点， ∴垂直平分， ， ∴， ， 又， 为等腰三角形， ， ∴， ∴A，，，四点共圆；（若共底边的两个三角形的顶角相等，且在底边的同侧，则四点共圆） （2）证明：由（1）知：A，，，四点共圆， （同弧所对的圆周角相等） 又， 为等腰三角形 ， ∴， 又（公共角）， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判定，数形结合． 19．（23-24九年级上·江苏扬州·月考）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到，进而求解． 【详解】解：（1）如图，   ， ∴以点A为圆心，长为半径画圆，点B、C、D必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案为：； （2）如图2，取的中点O，连接，   ， ∴点共圆， ， ， ； （3）如图3，作的外接圆，过圆心作于点于点E，作于点F，连接，   ， ， 在中，， ， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理； （1）根据直角三角O形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得得出是直角三角形； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，为所求直角三角形； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 题型06 相切时取到最值 21．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 22．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 23．（2025·福建·中考真题）在四边形中，，，，，．点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图1，过点D作于H， 则，，， 在中，， 当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小， 设，则， 在中，， ∴， 由得，， 解得 ∴； 如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即的最大半径为， 所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为， 故答案为：． 24．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； (3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆； （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线； （3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A、B、D、E四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线；    （3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接， ∵， ∴， ∵点M是边的中点， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴点P一定在的垂直平分线上， ∴点P在直线上， ∴当时，有最小值， ∵， ∴在中，， ∴圆心P与点M距离的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型07 定角定高面积最小、周长最小问题 定角定高模型是一类独立的最值模型，其根本原理是“定角动弦，找圆最值”，即圆中的圆周角(或圆心角)固定，则圆的大小(即r的大小)决定了该角所对的弦(或弧)的大小. 25．（2025·陕西汉中·模拟预测）“问题提出” 如图①，凉宫春日有一片果园，其形状为，已知，为边上的中线，，垂足为，经她测量，那么请你计算的值． “问题探究” 如图②友利奈绪为果园修建了圆形花圃，是果园，其余的地方是草地．若，，，，则草地的面积是多少？(结果保留) “问题应用” 受此启发，薇尔莉特打算修建自己的大型花园，如图③，依照设计，在边取点，建造一条小径(路宽省略不计)，在上取点，修建小路，且．她计划在上再取点，连接，，则为休息区．若，，，．为了使花园的观赏性最大，则休息区面积最小，则是否存在一点使有最小值？若有，请你计算的最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在 【分析】“问题提出”，过点作，根据，又得出重合，即，证明，得出，设，则，进而勾股定理求得，即可求解； “问题探究”， 过点作于点，连接，在中，，即①，根据，即，则②，求得，即可得出，进而根据勾股定理求得半径，用圆的面积减去三角形的面积，即可求解； “问题应用”， 当三点重合时，不存在，此时的面积为，则不存在一点使有最小值． 【详解】“问题提出”：∵，为边上的中线， ∴ ∴ 过点作， ∵ ∴ ∴重合， 即 ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， “问题探究”：如图，过点作于点，连接， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即①， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即②， 联立①②解得：或（舍去）或（舍去）或（舍去） ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴草地的面积为：， “问题应用”：不存在，理由如下， ∵是上一点，是上一点， 当三点重合时，不存在，此时的面积为， 故不存在一点使有最小值． 26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图①，内接于，边上的高经过圆心O，若，的半径为5，求的面积； 问题解决 （2）为培养学生的劳动实践能力，某校计划在学校东南角开辟出一块四边形劳动实践基地，将其分成三个三角形区域用于种植不同的果蔬，并将四边形的四周用栅栏保护，如图②，劳动实践基地为，，平分交对角线于点M，在点M处安装喷灌装置，且，为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该学校的想法能否实现？若能，请求出四边形周长的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）32 （2） 【分析】本题考查了圆的垂径定理、勾股定理、三角形面积计算以及角平分线性质、全等三角形、圆的性质在最值问题中的应用，解题的关键是：利用垂径定理和勾股定理求出三角形的高；通过构造辅助线转化周长表达式，结合几何性质求最小值． （1）连接由垂径定理得的长度，用勾股定理求出进而得到的长度，代入三角形面积公式计算； （2）过作、的垂线，利用角平分线性质得垂线相等，构造全等三角形转化线段，将周长表示为含的式子，结合外接圆和垂线段最短求最小值，进而得周长最小值． 【详解】（1）解：连接． ∵是边上的高且经过圆心O， ∴，由垂径定理得． ∵的半径为5，即， 在中，由勾股定理得． ∴（当圆心在内部时）． ∴的面积为． （2）能． 过点M作于E，于F，在上截取，连接，如图所示： ∵，平分， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长， ∴要使平行四边形的周长为最小，只需为最小即可， ∵，， ∴， ∴在和中， ∴ ， ∴， 在四边形中，，，， ∴， ∴， ∴， 即， 作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，如图2所示： ∴，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ， 故得要使为最小，只需x为最小即可， ∵， ∴， 解得：， 即当点M，O，H在同一条直线上时，x为最小，最小值为， 此时的最小值为：， 平行四边形的周长的最小值为： 27．（2025·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点E是其内部一点，连接，，且．若，求的最小值； 问题解决 （2）如图2，是某公园的一块四边形空地的平面图，其中，，，，园区管理员计划在空地中找一点E，修建四条观光小路，，，（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求：，且的面积最小，请问是否存在这样的点E，使得，且的面积最小？若存在，请确定出点E的位置，并求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）存在；位置见解析； 【分析】（1）如图1中，取的中点O，连接，．求出，．再利用两点之间线段最短解决问题； （2）存在．如图2中，在的下方作等边三角形，作的外接圆，过点K作交于点E，点E即为所求．过点K作的垂线交于点M，连接，，过点D作于点N，则四边形是矩形，解直角三角形求出，，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中，取的中点O，连接，． ∵四边形是正方形， ，． ，， ． ． ， 的最小值为； （2）存在．如图2中，在的下方作等边三角形，作的外接圆，过点K作交于点E，点E即为所求． 过点K作的垂线交于点M，连接，，过点D作于点N， ， 则四边形是矩形． ，． ， ， ， ， ，． 是等边三角形， ． ． ， ． ． ， ． ，， ． ∴四边形是平行四边形，． ． ． ， ． 的面积的最小值． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，两点之间线段最短，直角三角形斜边中线，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 28．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 题型08 米勒角（最大张角）模型 29．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 30．（2025·广东梅州·一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 【答案】 【素材】 【实践探索】证明见解析 【迁移运用】 【分析】本题考查了圆的基本性质（如圆周角定理、切线的性质、垂径定理等）以及米勒圆（最大视角问题）的相关知识，涉及到利用圆的性质比较角的大小、探究最大视角的位置等内容．解题的关键是熟练运用圆中角的大小关系（如同弧所对的圆周角相等、圆外角与圆周角的大小关系），结合切线的性质和垂径定理等，将实际问题转化为几何图形中的角度关系问题，从而确定最大视角的位置并进行相关计算． 利用“同弧圆周角相等”与“三角形任意一个外角大于与它不相邻的一个内角”可得出与；利用“切线的性质”、“垂径定理”、“矩形的判定和性质”、“勾股定理”可求得的长，从而可写出点A的坐标． 【详解】如下图， 设线段与圆弧交于点C，连接，则， 又，所以，， 故答案为：． 【实践探索】连结，其中与圆交于点N，连续．如图所示． ∵， ∴，即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大． 【迁移应用】如图，过点A、点P、点Q作外接圆，圆心为C，根据【实践探索】结论，当点A为的切点时，最大． 连结， 作，垂足为点M． ∵点A为的切点，为圆的半径， ∴， ∵， ∴ （垂径定理），且四边形为矩形（三个角为直角的四边形为矩形） 由点，点知，，则， ∴，即， 在直角三角形中，， 由矩形对边相等知，， ∴． 31．（2023·湖南永州·二模）问题探究与应用实践 （一）问题探究： 如图（1），已知直线与水平视线互相垂直，，在上，在上，∠ACB叫做“视角”，点叫做“视点”，⊙是过，，三点的圆.当视点在直线上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变,可以证明：当视点恰是⊙的切点时，视角最大，此时观察的效果最佳.当视角最大时：分别以直线，为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图（2）.      (1)如果此时点A的坐标为，点B的坐标为，试求圆心M的坐标及的值； (2)如果此时点A，的坐标分别为（0，a），（0，），请求出视点的坐标.（用a，的代数式表示） （二）应用实践： 应用上述结论，让我们解决如下问题： (3)如图（3），是广场上挂的一个大屏幕电视，直线是水平视线，屏幕最高点A和最低点到水平视线的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平视线上）到直线的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)约是米 【分析】（1）连接，，，并过M作于N，利用垂径定理求解即可；根据圆周角的性质得出，求出正切值即可； （2）根据（1）中的方法求出即可； （3）根据（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：连接，，，并过M作于N，则四边形为矩形，因而有， 因为， 所以点N的坐标为， 则M的纵坐标 ，即 ； 又， 由垂径定理得， 在中，由勾股定理得： ， 故点M的坐标为（2，）； 又由圆周角定理可知 所以 ==.    （2）解：由于点A，B的坐标分别为，所以点N的坐标为（0，  ）， , , , 所以 所以， 故点C的坐标为（，0）. （3）解：由题意，根据上述（2）的结论，可得小明视角最大时，视点到直线的距离为≈（米）．    【点睛】本题考查了圆周角的性质、切线的性质、垂径定理和解直角三角形，解题关键是根据相关性质求出点的坐标． 32．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】(1)见解析 (2)塑像的高约为 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 33．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①，在上取一点，使得，证明，进而判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，在上取一点，使得， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴，故③错误 如图 ∵ ∴ 即 ∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处， ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动 取的中点，连接， ∴当在上时，取得最小值，最小值为的长， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 35．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵， ， ， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 36．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图①，内接于，过点C作的切线l，在l上任取一点P，连接，则______．（填写“”“”或“”） 问题探究 （2）如图②，在矩形中（），点P为边上任意一点，试问当点P位于边何处时最大？并说明理由． 问题解决 （3）如图③，五边形为展览馆的平面示意图，其中，，出于安全考虑，负责人想在上选一点P安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点P使最大．若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P位于边中点时最大，理由见解析；（3）在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为． 【分析】（1）设交于点，连接，根据圆周角定理得到，再根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； （2）作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H，同理（1）根据圆周角定理结合三角形外角的性质可得，当两点重合时，最大，此时，由切线的性质结合矩形的性质可得，根据垂径定理得到，再证明四边形都是矩形，可得，进而得到为中点，即可得出结论； （3）作经过点、且和相切的，切点为，由（2）可知此时最大，连接、，分别延长、交于点，证明四边形是正方形，再求出，连接，交于点，由正方形的性质可得，，，再证明垂直平分线段，再根据圆的性质可得，连接，可得，则，设的半径为，则，，在中，利用勾股定理得到，又利用得到 ，故可得到方程，求出R，再求出此时的长即可． 【详解】（1）解：设交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）点P位于边中点时最大，理由如下： 作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H， 同理（1）得， 当两点重合时，最大， 此时，∵是的切线， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵是的半径， ∴， ∵，， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴点为中点， ∴当点P位于边中点时最大； （3）作经过点、且和相切的，切点为，由（2）可知此时最大， 连接、，分别延长、交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴． 连接，交于点，由正方形的性质可得，，， ∵ ∴垂直平分线段， ∴圆心在线段上， 连接，则，则， 设的半径为，则，， 在中， ∵ ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)或， ∴， ∴， ∴在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为． 【点睛】此题主要考查圆的综合运用，涉及圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质． 37．（2025·福建·中考真题）已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，）． (1)在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图，延长至点，使得，连接，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接，若．求证：． 【答案】(1)见详解 (2)不变， (3)证明见详解 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形中位线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）作线段的垂直平分线，与圆交于点 、，再作线段的垂直平分线，并在上截取，在直线上截取线段，作线段的垂直平分线，与圆交于点、，与线段交于点，即为所求． （2）连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，继而证明是等腰直角三角形，继而求得线段的长度是定长，及其值． （3）延长、，交点为，证明是的中位线，得到，继而得到，通过证明，继而证明，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、，通过证明，得到，继而得到． 【详解】（1）解：如图，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，，与交点为，则，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，，与交点为，即、点即为所求． ； （2）如图，连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵、是同弧所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴线段的长是定长，值为； （3）证明：如图，延长、，交点为， ∵， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 如图，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；F到的距离的最大值为；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解． （1）初步感知：由推出，结合得比例式，证明，利用得出的度数． （2）深入探究：由矩形面积和面积关系得的定值，结合和矩形中，证明；得出，即可得出在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解． （3）学以致用：先计算梯形面积和面积，结合得的定值；根据（2）构造矩形，证明，得出，得出在为直径的圆上，进而求得出当的面积最小时，得出是等腰直角三角形，勾股定理即可得出长． 【详解】（1）解：∵ ∴，即． ． ∴（两边对应成比例且夹角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴，即， ∴ ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动， ∴到的最大距离为； （3）解：∵梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵点E是线段的中点， ∴， 如图，取，作矩形，则，，连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形， ∴． 39．（2025·湖北·中考真题）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （3）①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由①可得， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 40．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 41．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 【答案】(1)见解析 (2)①（1）中的结论还成立，理由见解析；②3 【分析】（1）由直角三角形斜边中线性质可得在中，，在中，，得出，，再证明即可得出结论； （2）①延长交于点，分别延长相交于点，先证明，可得，同理可得，，再利用中位线的性质可得结论； ②点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，由是等边三角形，可得，可得最大时，即取得最大值时，当三点共线时，取得最大值，此时最大，再求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ， 在中， ， 点是的中点， 在中，，在中，， ，， ， 是等边三角形； （2）①（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，延长交于点，分别延长相交于点， 由旋转角为可得， ， 又， ， ， ， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， 是的中位线， ， ， 是等边三角形； ②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上， ， 延长至点G，使，延长至点P．使，连接、、、， ，， ， ，， ， 同理， ，，， ， ， ，， ，F为中点， ∴，， ， 同理，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 最大时，即取得最大值时， 当三点共线时，取得最大值，此时最大， 即绕点A顺时针旋转240度时，最大， 延长交于点，分别延长相交于点， 由①得是的中位线，是的中位线， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：3 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造中位线解决问题，属于中考压轴题． 42．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)25 【分析】（1）过作于过点C作的延长线于，根据旋转的性质得到再证明，可得，最后利用三角形面积公式即可得到结论； （2）延长至， 使得， 连接，连接，证明，可得，从而得出四点共圆，根据圆周角定理可得，最后再利用直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质证明即可得到结论； （3）过点C作延长线于，先求得 ，再由勾股定理得，最后再求解即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质可得 过作于过点C作的延长线于， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， （2）证明：延长至， 使得， 连接， 为中点 为的中位线 由旋转的性质可得 ， ，， ， ， 四点共圆， ， ， 连接， 在中，点是的中点， ， 同理可得， 在中，点是的中点， ， 同理可得， ， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是平行四边形， ， 又， P，Q，R三点共线； （3）解：过点C作延长线于， 由旋转的性质可得， 由（1）得，由旋转的性质可得， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 则S的最大值为25． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质及三角形中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点08 最值模型之隐圆模型 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 15 固·重难考点 拓·创新能力 题型名称 核心原理 常见考点 典型场景 定点定长得圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆 1. 识别动点轨迹为圆 2. 结合 “两点之间线段最短”“垂线段最短” 求最值 动点到某定点距离为定值，求线段 / 角度最值 直角的对边是直径 直径所对的圆周角是直角；直角三角形的外接圆直径为斜边 1. 确定直角三角形外接圆的圆心和半径 2. 结合圆的性质求线段长度、角度 题目中出现直角三角形，或需要构造直角三角形确定圆的直径 对角互补得圆 对角互补的四边形内接于圆（四点共圆）；圆内接四边形对角互补 1. 利用 “对角互补” 判定四点共圆 2. 结合圆内接四边形的外角等于内对角解题 四边形中出现两组对角互补，或需要证明四点共圆转化角度 定弦定角得圆 同弦所对的圆周角相等；定弦定角的顶点轨迹是一段圆弧 1. 确定动点的轨迹圆弧（找圆心、半径） 2. 结合 “圆外一点到圆上点的距离最值” 求线段最值 题目中出现 “定弦 + 定角” 条件，求动点到某点的距离最值 四点共圆 满足 “对角互补”“外角等于内对角”“同弦所对圆周角相等” 等条件的四点共圆 1. 判定四点共圆的方法 2. 利用圆周角定理、相交弦定理等推导线段 / 角度关系 需要转化角度或线段关系时，通过四点共圆集中条件 相切时取到最值 直线或圆与另一个圆相切时，圆心距等于两圆半径之和（外切）或差（内切），此时常取到线段最值 1. 利用 “圆心距与半径的关系” 判定相切 2. 结合 “点到圆的距离最值” 求线段最值 动点轨迹为圆，求该动点到某直线 / 另一圆的距离最值 定角定高面积最小、周长最小问题 三角形中，定角定高时，等腰三角形面积最小、周长最小 1. 利用 “定角定高” 确定三角形的外接圆 / 内切圆性质 2. 结合 “垂线段最短”“轴对称” 求面积 / 周长最值 题目中出现 “定角 + 定高” 条件，求三角形面积或周长的最小值 米勒角（最大张角）模型 当△PAB 的外接圆与直线 AB 相切于点 P 时，∠APB 取得最大值 1. 利用 “定角定高” 确定三角形的外接圆 / 内切圆性质 2. 结合 “垂线段最短”“轴对称” 求面积 / 周长最值 求直线外一点到直线上两点的张角的最大值 题型01 定点定长得圆 1）根据圆的定义，当出现到定点的距离等于定长的点(或动点)时，可考虑该模型.当涉及折叠或旋转时.有时也会利用该模型确定动点的运动轨迹. 2）辅助圆主要用于求动点相关的最值问题，这里圆心的位置是解题的关键，且要注意动点的轨迹不一定是完整的圆，可能只是圆中的一段圆弧，最后根据“点、线、圆最值”模型来解决问题. 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·中考真题）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 题型02 直角的对边是直径 前世（圆的性质）：在圆 ⊙O 中，若 AB 是直径，则直径所对的圆周角 ∠ACB 恒为 90∘。 今生（轨迹判定）：反过来，若有一条固定线段 AB，且动点 C 满足 ∠ACB=90∘，那么点 C 的轨迹就是以 AB 为直径的圆（A,B 两点除外）。 【补充】这种情况本质上是 “定弦定角” 的特例，但因为其判定和应用都非常典型，所以单独作为一类。 7．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 8．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上（不与A，B重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 10．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 题型03 对角互补得圆 11．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 12．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得： 引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆． 例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得： 引理2线段同旁张等角，四点共圆． 例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接． (1)可求得______°，______°； (2)请判断的形状并证明； (3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度； (4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______． 题型04 定弦定角得圆 定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆. 13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 14．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 15．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 16．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 题型05 四点共圆 判定方法1：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 判定方法2：同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 判定方法3：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆. 判定方法4：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆. 判定方法5：共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 17．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 18．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．    (1)求证：A，，，四点共圆； (2)求证：为定值． 19．（23-24九年级上·江苏扬州·月考）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 20．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 题型06 相切时取到最值 21．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 23．（2025·福建·中考真题）在四边形中，，，，，．点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是 ． 24．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； (3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 题型07 定角定高面积最小、周长最小问题 定角定高模型是一类独立的最值模型，其根本原理是“定角动弦，找圆最值”，即圆中的圆周角(或圆心角)固定，则圆的大小(即r的大小)决定了该角所对的弦(或弧)的大小. 25．（2025·陕西汉中·模拟预测）“问题提出” 如图①，凉宫春日有一片果园，其形状为，已知，为边上的中线，，垂足为，经她测量，那么请你计算的值． “问题探究” 如图②友利奈绪为果园修建了圆形花圃，是果园，其余的地方是草地．若，，，，则草地的面积是多少？(结果保留) “问题应用” 受此启发，薇尔莉特打算修建自己的大型花园，如图③，依照设计，在边取点，建造一条小径(路宽省略不计)，在上取点，修建小路，且．她计划在上再取点，连接，，则为休息区．若，，，．为了使花园的观赏性最大，则休息区面积最小，则是否存在一点使有最小值？若有，请你计算的最小值；若没有，请说明理由． 26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图①，内接于，边上的高经过圆心O，若，的半径为5，求的面积； 问题解决 （2）为培养学生的劳动实践能力，某校计划在学校东南角开辟出一块四边形劳动实践基地，将其分成三个三角形区域用于种植不同的果蔬，并将四边形的四周用栅栏保护，如图②，劳动实践基地为，，平分交对角线于点M，在点M处安装喷灌装置，且，为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该学校的想法能否实现？若能，请求出四边形周长的最小值；若不能，请说明理由． 27．（2025·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点E是其内部一点，连接，，且．若，求的最小值； 问题解决 （2）如图2，是某公园的一块四边形空地的平面图，其中，，，，园区管理员计划在空地中找一点E，修建四条观光小路，，，（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求：，且的面积最小，请问是否存在这样的点E，使得，且的面积最小？若存在，请确定出点E的位置，并求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 28．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 题型08 米勒角（最大张角）模型 29．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 30．（2025·广东梅州·一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 31．（2023·湖南永州·二模）问题探究与应用实践 （一）问题探究： 如图（1），已知直线与水平视线互相垂直，，在上，在上，∠ACB叫做“视角”，点叫做“视点”，⊙是过，，三点的圆.当视点在直线上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变,可以证明：当视点恰是⊙的切点时，视角最大，此时观察的效果最佳.当视角最大时：分别以直线，为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图（2）.      (1)如果此时点A的坐标为，点B的坐标为，试求圆心M的坐标及的值； (2)如果此时点A，的坐标分别为（0，a），（0，），请求出视点的坐标.（用a，的代数式表示） （二）应用实践： 应用上述结论，让我们解决如下问题： (3)如图（3），是广场上挂的一个大屏幕电视，直线是水平视线，屏幕最高点A和最低点到水平视线的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平视线上）到直线的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：） 32．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 33．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有 ．（填序号） 34．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有 ． 35．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 36．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图①，内接于，过点C作的切线l，在l上任取一点P，连接，则______．（填写“”“”或“”） 问题探究 （2）如图②，在矩形中（），点P为边上任意一点，试问当点P位于边何处时最大？并说明理由． 问题解决 （3）如图③，五边形为展览馆的平面示意图，其中，，出于安全考虑，负责人想在上选一点P安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点P使最大．若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由． 37．（2025·福建·中考真题）已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，）． (1)在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图，延长至点，使得，连接，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接，若．求证：． 38．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 39．（2025·湖北·中考真题）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 40．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 41．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 42．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $