第1章 三角形的证明综合测试-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

八年级数学·北师版·下册 学 ,第一章综合测试 满分：120分 n 题 号 三 总分 得 分 装 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 羹订日如图，在△MBG中，B=AC,∠A=40,则∠B的度数是 A.70° B.55 C.50° D.40° 线 D C 1题图 3题图 4题图 鞍 2(四川成都期中)利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝 内 角或直角”时，应假设 A.四边形中至多有一个内角是钝角或直角 B.四边形中所有内角都是锐角 不 C.四边形的每一个内角都是钝角或直角 D.四边形中所有内角都是直角 3如图，分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°，∠EBC =80°，则∠ACB的度数为 () 要 A.65° B.75° C.85 D.95° 4(眉山中考)如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点 M,N,则∠1+∠2的度数为 ( A.216° B.180 C.144° D.1209 答 5(安徽合肥期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E,AD1 CE于点D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,则BE的长为 () A.0.8 cm B.1 cm C.1.5 cm D.4.2 cm R 题 M 5题图 6题图 6(北京中考)如图，∠M0N=100°，点A在射线OM上，以点0为圆心， OA长为半径作弧，交射线ON于点B.若分别以点A,B为圆心，AB长 为半径作弧，两弧在∠MOW内部交于点C,连接AC,则∠OAC的度 数为 () A.80° B.100° C.110° D.120° 7如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG 和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 () A.1 B.5.5 C.7 D.3.5 SC D 7题图 8题图 8如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，连接CD,BF平分 ∠ABC交CD于点F,已知∠A=30°，∠ABC=100°，则∠BFC的度数 为 () A.100° B.110° C.120° D.130° 9把等腰直角△ABC按如图所示的方式折叠，已知CE=1,则下列说 法：①EF平分∠AED;②△AFE是等腰三角形；③AB=√2+1； ④△BDE的周长等于AB的长，其中正确的是 A2 9题图 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 10如图，已知：∠M0N=30°，点A1,A2,A3,…在射线0N上，点B1,B2, B3,…在射线OM上，△A,B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角 形，若OA1=1,则△AB。A7的边长为 B M B B 0 A1 A2 A3 10题图 A.6 B.12 C.32 D.64 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 12(吉林中考)如图，正五边形ABCDE的边AB,DC的延长线交于点F, 则∠F的大小为 度 12题图 13题图 13如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点 E,交BC的延长线于点F,若∠F=30°，DE=1,则BE的长是 一1 14如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点P,交∠BAC 的平分线AD于点D,连接BD并延长，交边AC于点E(点E与点A不 重合).若△BCE是等腰三角形，则∠BAC的度数为 B E 14题图 15题图 15如图，点E在等边△ABC的边BC上，CE=14,射线BD⊥CB于点B, P是射线BD上一动点，F是线段AC上一动点，当PE+PF的值最小 时，CF=9,则AB的长为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或 推理过程) 16(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8,BC=5. (1)作BC的垂直平分线，分别交AB,BC于点D,H(尺规作图，不写作 法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，连接CD,求△BCD的周长， 16题图 17(8分)在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的四 分之一，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数. 18(8分)如图，在△ABC中，CD是高，∠BAC=∠DCB. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若AE是∠BAC平分线，AE,CD相交于点F,求证：∠CFE= ∠CEF. D 18题图 19(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD平分∠BAC.E,F 分别是线段CD,AD上的点，连接AE,BF,若AE=BF,请判断AE与 BF的位置关系，并说明理由. 19题图 20(8分)将一块等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C 在直线m上，分别过点A,B作AE⊥m于点E,BD⊥m于点D. (1)求证：EC=DB; (2)若设△AEC的三边长分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理， Ea C 20题图 21(8分)如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，连接AD,CD, BD,过点D作DE∥AB交AC于点F,交BC于点E,已知AD=CD. (1)求证：BD垂直平分AC; (2)若BC=9,DE=5,求EF的长. B 21题图 22(12分)如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分 线AE于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G.求证： (1)EF=EG; (2)AB-AC=2BF. 22题图 一2 23(13分)在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，∠A=30°，D是AB的中点， DE⊥BC,垂足是E,连接CD. (1)如图①，DE与BC的数量关系是 (2)如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B,C重合），连接 DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF,连接BF,请 猜想DE,BF,BP三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，请在图③中 补全图形，并直接写出DE,BF,BP三者之间的数量关系. B E P B EB P 23题图① 23题图② 23题图③参考答 第一章综合测试 .'.∠BDF=∠ADE=90°，.∴.∠ABD=∠BAD=45°， 1.A2.B3.B4.C5.A6.B7.B8.B9.C ∴.AD=BD 10.C[解析]△AB1A2是等边三角形，AB1=A2B1,∠3= ∠4=∠12=60°，.∠2=120°.∠M0N=30°，.∠1= 在m△AnE和△BDF中，CC 180°-120°-30°=30°.∠3=60°，.∠5=180°-60°- ∴.Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),.∠DAE=∠DBF. 30°=90°..：∠M0N=∠1=30°，.0A1=AB1=1, .·∠ADE=90°，.∠DAE+∠AED=90° .AB,=1.△A2B2A3,△A3B3A4是等边三角形，.∠11= ∴.∠DBF+∠AED=90°，∴.∠BGE=90°，.AE⊥BF ∠10=60°，∠13=60°.∠4=∠10=60°，A1B1∥A2B2∥ 20.证明：(1).∠ACB=90°，，∠ACE+∠BCD=90°. AB3,B142∥B2A,.∠1=L6=∠7=30°，∠5=∠8=90°， .'∠ACE+∠CAE=90°，.∠CAE=∠BCD ∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,.A3B=4B1A2=4,A,B4= 在△AEC和△CDB中，∠CEA=∠BDC,∠CAE=∠BCD, 8B1A2=8,A,B,=16B1A2=16,…以此类推，A6B6=32B1A2= AC=CB,∴.△AEC≌△CDB,∴.EC=DB. 32.故选C. (2)由(1)知BD=CE=a,CD=AE=b, M .Sagw-2(a+b)(a+b)=d+ab+26. B 又：Sne=Sauc+Sa+Sam=2ab+2b+2 B 8 B ah+3,202+ab+28=b+2 14X 整理，得a2+b2=c2. A12A2 A3 A4 -N 21.(1)证明：△ABC是等边三角形，.AB=BC. 10题答图 AD=CD,.点B、点D在AC的垂直平分线上 ∴.BD垂直平分AC. 11.对应角相等的两个三角形是全等三角形 (2)解：.·△ABC是等边三角形」 12.3613.214.45°或36° ∴.∠ACB=∠ABC=60°. 15.16[解析]：△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠C=60. .·DE∥AB,.∠CEF=∠CBA=60° 如答图，作，点E关于射线BD的对称，点G,过点G作GF⊥AC ∴.∠CEF=∠ACB=60°， 于点F,交BD于点P,则此时PE+PF的值最小.：∠C= .△CEF是等边三角形，∴.EF=CE. 60°，∠CFG=90°，∠G=30°.CF=9,∴.CG=2CF=18. 由(1)可知BD垂直平分AC, .CE=14,EG=4,..BE=BG =2,..AB CB BE EC 2+14=16. ∠CBD=子∠ABC=30, .∴.∠BDE=∠CED-∠CBD=30° .∠BDE=∠CBD=30°，∴.DE=BE=5, .∴.CE=BC-BE=4,∴.EF=CE=4. 22.证明：(1)AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,∴EF=EG. (2)如答图，连接BE,CE. D为BC的中点，DE⊥BC 15题答图 16题答图 ∴.DE为BC的垂直平分线，.BE=CE. B 16.解：(1)如答图，直线DH即为所求.(2)13. ·.EF⊥AB,EG⊥AG, 17.解：设该多边形为n边形， ∴.∠BFE=∠AFE=∠G=90°. “多边形一个外角等于一个内角的子， 在△BFE和△CcCE中，(E5 22题答图 .多边形的内角和为360°×4=1440°， .Rt△BFE≌Rt△CGE(HL),∴.BF=CG ∴.(n-2)·180°=1440°，∴.n-2=8,.n=10 .该多边形每一个内角的度数为1440°÷10=144°，该多边 在△APE和△4cE中，{Ee, 形的边数为10. .∴.Rt△AFE≌Rt△AGE(HL), 18.(1)解：△ABC是直角三角形.理由如下： .∴.AF=AG,∴.AB-BF=AC+CG, .:在△ABC中，CD是高，∴.∠CDA=90°， .AB -AC=BF +CG=BF+BF =2BF. ∴.∠BAC+∠ACD=90°. .:∠BAC=∠DCB,∴.∠DCB+∠ACD=90°， 28.解，10E=9ac 即∠ACB=90°，.△ABC是直角三角形. (2)证明：·AE是∠BAC的平分线，∴.∠DAF=∠CAE. （2)BF+BP=25DE.理由如下： 3 ,·∠FDA=90°，∠ACE=90° .·线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF, .∠DAF+∠AFD=90°，∠CAE+∠CEF=90° ..∠PDF=60°，DP=DF ∴.∠AFD=∠CEF.∠AFD=∠CFE,∴.∠CFE=∠CEF 而LCDB=6O°，.∠CDB-∠PDB=LPDF-∠PDB, 19.解：AE⊥BF.理由如下： .∠CDP=∠BDF 如答图，延长BF交AE于点G. DC=DB .AB=AC,∠BAC=90°， 在△DCP和△DBF中，{∠CDP=∠BDF, ∴.△ABC是等腰直角三角形， LDP=DF. ∴.∠ABD=∠ACD=45° .∴.△DCP≌△DBF(SAS), .AD平分∠BAC, 19题答图 ∴.CP=BF. .AD⊥BC,BD=CD, .CP BC-BP,:.BF +BP BC. 案及解析 DE=5BC.BC=2 DE, 22.解：(1)由题图可设y1=kx(k,≠0)， 2 3 :y1的函数图象过点(400,320)，代入可得320=400k, .BF+BP=2 DE. 解得k1=0.8,∴.y1=0.8x. 3 当0≤x≤400时，设y2=k2x(k2≠0)，y2的函数图象经过 (3)如答图，与(2)一样可证明 点(400,400)，.代入可得400=400k2, △DCP≌△DBF,∴.CP=BF. 解得k2=1,∴.当0≤x≤400时，y2=x; ·CP=BC+BP,.BF-BP=BC 当x>400时，设=kx+b(k≠0)，y2的函数图象经过 点(400,400)，(600,540)， :.BF-BP-2DE. B 3 23题答图 代入可得80+么解得仫二0： 第二章综合测试 .当x>400时，y2=0.7x+120, 1.B2.D3.D4.B5.C6.B7.A8.B9.C10.B 11.3x>x+112.-(答案不唯-)13.a<-114.3 为=[6950m 15.11≤x<14 (2)乙公司的优惠方案是：当购买费用在400元及400元以 16.解：(1)原不等式去分母，得3x-2-2(x+3)≤6. 内时，不打折；购买费用高于400元时，超过400元的部分打 去括号，得3x-2-2x-6≤6. 七折. 移项、合并同类项，得x≤14. (3)当0<x≤400时，y1=0.8x,y2=x,y1小于y2始终成立； at8801.2 当x>400时，y1=0.8x,y2=0.7x+120,令y1=y2,得0.8x= 0.7x+120,解得x=1200; .由①得x>-1. 令y1>y2,得0.8x>0.7x+120,解得x>1200; -101 由②得x<2, 令y1<y2,得0.8x<0.7x+120,解得x<1200且x>400. 16题答图 ∴原不等式组的解集为 综上所述，当x=1200时，两家公司费用相同；当x>1200 -1<x<2,在数轴上表示出解集如答图. 时，选择乙公司更省钱；当x<1200时，选择甲公司更省钱. 23.解：(1)不等式B对于不等式组A中点包含.判断过程如下： 17.解：(1)不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变 (或不等式的基本性质2) 解不等式组A:后得4<x6A的解集中点值为 (2)乙去括号时，括号前面是“-”，括号中的第二项没有 5..5在-1<x≤5范围内，.不等式B对于不等式组A中 变号 点包含 （3)正确的解集是x≥-11 (2)·不等式组D对于不等式组C中点包含，.不等式组C 18.解：(1)-1 （2)根据题意，得243皆子解得≥早， 和不等式组0有解解不等式组c:6+1601.得 2 4， 「x>m-3, lx<3m+5. 解不等式组D: ∫x>m-4, 13 .x的取值范围是x≥ {3x-13<5m,得 4 [x>m-4, rm-3<3m+5, 19.解：(1)90÷5=18（个）. 3,m-4<5m+13,解得m>-4,当n> x5m+13 答：原有的班数是18个 31 (2)设新学期增加的班数是x个，由题意，得 -4时，不等式组C的解集为m-3<x<3m+5,不等式组D 4(x+18)+17-5(x+18-1)<3, 的解集为m-4<x<5m13,:C的解集中点值为 4(x+18)+17-5(x+18-1)≥1， 3 解得1<x≤3.x是整数，.x=2或3. m-3+3m+5=2m+1.:不等式组D对于不等式组C中点 答：新学期增加的班数是2个或3个. 20解：1)将原不等式粗整理，得{41 包含m-4<2m+1<m解得-5<m<10又：m> -4,∴.-4<m<10 原不等式组有且只有4个整数解， .原不等式组的整数解为0,1,2,3， (3)解不等式组E,得2n<x<2m,解不等式组F,得3n+m< 2 ∴.-1<a+1≤0，解得-2<a≤-1. (2)原不等式组有解，∴a+1<4,.a<3. x<5+m,其中3n+m<5+n,即m+n<10,.E的解集中点 2 ·,原不等式组的解集中的任何一个x值均不在x≤2的范围 值为n+m.:不等式组F对于不等式组E中点包含， 内，∴.a+1>2,.a>1,∴.1<a<3. 21.解：(1)设一条A型生产线每月生产抹茶x吨，一条B型生 :3nm<n+m<5+n,解得n<m<5.:所有符合要求的 2 产线每月生产抹茶y吨， 整数m之和为9，∴.整数m可取2,3,4或-1,0,1,2,3,4， 根起题意，符仁+2,20.解符0， .1≤n<2或-2≤n<-1. 1y=80. 第三章综合测试 答：一条A型生产线每月生产抹茶120吨，一条B型生产线1.D2.C3.C4.C5.C6.A7.D8.C9.D 每月生产抹茶80吨 10.A[解析]如答图，连接BL..A1 (2)设需要安装m条A型生产线，则安装(5-m)条B型生 平分∠BAC,CI平分∠ACB, 产线 ∠ACI=∠NCI,BI平分∠ABC, 根据题意，得4×120m+4×80(5-m)≥2000， ∴.∠ABI=∠MBI.由平移的性质 B 可知MI∥AB,NI∥AC,∴.∠ABI 解得m≥弓：m为正整数，m的最小值为3. =∠MIB,∠ACI=∠NIC, 10题答图 答：至少需要安装3条A型生产线。 ∴.∠MIB=∠MBI,∠NCI=∠NIC,∴.MI=MB,NI=NC,∴.阴