易错疑难集训四&第4章 因式分解考点检测训练-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

第四章因式分解 易错疑难集训四 [答案P26] 易错凝难点（①分解因式时漏项或分解不彻底 3分解因式：-16axy-8ax2-8ay2. ①分解因式： (1)15a2+45ab+5a; 易错凝难点③不能正确掌握公式的形式与特征 (2)(2a-1)(a+1)-7(a+1); 4(浙江杭州期末)下列各式可直接用完全平方公 式分解因式的有 （) ①6r+2m+1:②16m-9r2+24m:③m+ 64-16mn;④(m-n)2-20(m-n)+100. A.①②④ B.②③④ C.①②3 D.①③④ 5(教材母题变式)在多项式x2+1中添加一个单 (3)16x4-72x2+81; 项式，使其成为一个多项式的平方，则添加的单 项式为 圆错凝难点④不能灵活运用因式分解 6分解因式：(x2+y2)(x2-2xy+y2)+x2y2. (4)(x2+y2)2-4x2y2. 7分解因式：25(m+n)2-9(m-n)2. 偈错凝难点②容易发生符号错误 2下列因式分解正确的是 A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1) B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1) C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2) D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y) 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 79 同步练测·八年级数学·北师版·下册 本章考点检测训练 [答案27] 考点⑦因式分解的概念 (3)x2-4x-y2+4y 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解 的是 A.a(2x-2y）=2ax-2ay B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.x2-4x+3=x(x-4)+3 ,1 ⑦将代数式4(m+n)2-(m-n)2先分解因式，再 D.a2+1=a+a 求值，其中m+3n=3,3m+n=-2. 2(陕西西安期末)若多项式x2+ax+b分解因式 的结果为(x+1)(x-2),则a+b的值 为 考点⑧因式分解的方法 3将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 (x+2)的是 A.x2-4 B.(x-2)2+8(x-2)+16 C.x3-4x2+4x 8新考法数学课上，张老师计划和同学们做卡牌 D.x2+2x 4如果把二次三项式x2+2x+c分獬因式得x2+ 游戏，给出三张卡牌，从这三张卡牌中任意选取 2x+c=(x-1)(x+3),那么常数c的值是 两张卡牌进行加法或减法运算，使所得的多项 式能够因式分解，请写出你所选的式子及因式 ( 分解的过程， A.3 B.-3 C.2 D.-2 5已知x,y为任意实数，则x2+2y2-2xy+4y+4 A=a2+5 B=2a-4 C=a2-2a 的值总是 8题图 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 6因式分解： (1)2(x+4)+y(x+4); 考点③因式分解的应用 9已知x+y=6,y=4,则-x2y-xy2的值是（) (2)3a2b-6ab+3b; A.10 B.-10C.24 D.-24 10已知a为实数，则(a+3)2-(a-1)2一定可以 被下列哪个数整除？ A.3 B.5 C.8 D.9 1]已知20262027-20262025=20264×2027× 2025,则a的值为 80 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第四章因式分解 2新考法若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整3数形结合思想是根据数与形之间的对应关系， 数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思 “完美数”，因为5=12+22，再如M=x2+2xy+ 想.我们可用此思想，来探索因式分解的一些 2y2=(x+y)2+y(x,y是整数)，所以M也是 方法 “完美数”. (1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断 41是否为“完美数”； (2)已知S=x2+9y2+4x-12y+k(x,y是整数， 13题图① k为常数)，要使S为“完美数”，试求出符合 13题图② e b☑ 条件的一个k值，并说明理由； b b ①② (3)如果数m,n都是“完美数”，试说明mn也是 “完美数” ③ a 13题图③ 13题图④ 【探究一】 (1)将图①的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图② 的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可 得一个多项式的因式分解为 【探究二】 (2)类似地，我们借助一个棱长为a的大正方体 进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱 长为b(b<a)的小正方体，如图③所示，则 得到的几何体的体积为 .再将图③ 中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如 图④所示，则根据图中的数据，长方体①的 体积可表示为ab(a-b).类似地，长方体② 的体积可表示为 ,长方体③的体积 可表示为 当用两种不同的方法表 示图③中几何体的体积时，可得到的恒等式 (将一个多项式因式分解)为 【问题应用】 (3)利用上面的结论，解决问题， 已知a-b=6,ab=2,求a3-b3的值 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 87同步练测·八年级数学·北师版·下册 =mn(2m-3n)2. 当m=2,n=1时， 原式=2×1×(2×2-3×1)2=2. 6.解：△ABC是直角三角形. 理由如下：由a2+b2+c2=12a+16b+20c-200可得a2- 12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0, .(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0, ∴.a-6=0,b-8=0,c-10=0, ∴.a=6,b=8,c=10. 62+82=102, ∴，△ABC是直角三角形. 7.解：(1)3 (2)x2+10x+32 =(x2+10x+25)-25+32 =(x+5)2+7. (x+5)2≥0，(x+5)2+7≥7， 当(x+5)2=0,即x=-5时，(x+5)2+7的值最小，最 小值是7. (3)设长方形的长为xm,则宽为(6-x)m. 围成的长方形的面积是x(6-x)=(-x2+6x)m2, -x2+6x=-(x2-6x+9)+9=-(x-3)2+9. …-(x-3)2≤0，.-(x-3)2+9≤9， .当-(x-3)2=0,即x=3时，-(x-3)2+9的值最大， 最大值是9，此时6-x=3. 答：当这根铁丝围成边长为3m的正方形时面积最大，最大 面积是9m2. 专题9因式分解的八种类型 1.解：(1)原式=a(b-c)-(b-c)=(b-c)(a-1). (2)原式=15b(2a-b)2+25(2a-b)2 =5(2a-b)2(3b+5). (3)原式=4q(1-p)3+2(1-p)2 =2(1-p)2(2q-2p9+1). 2.(1)(2x+5)(2x-5)(2)(a+2)2 (3)(5m-n)(m-5n)(4)(x+2)4 3.解：(1)原式=3(a+3)(a-3). (2)原式=-3a(x-1)2 (3)原式=-之(2x-1)2. (4)原式=3m(2x-y+n)(2x-y-n). 4.(x+3)(3x-4) 5.解：(1)m2+2mn+n2+ma+na =(m2+2mn+n2)+(ma+na) =(m+n)2+a(m+n) =(m+n+a)(m+n) (2)x3+x2y-xy2-y =(x3-x2)+(x2y-y3) =x(x2-y2)+y(x2-y2) =(x+y)(x+y)(x-y) =(x+y)2(x-y). ·26· x3+x2y-xy2-y3=-32, .(x+y)2(x-y)=-32. 又，x+y=4,∴.x-y=-2 (3)(x-2y)(x+y) 6.解：(1)原式=(x-1)(x+3)(x-2). (2)原式=(x+2)(x-2)(x+5)(x-5), 7.解：【解决问题】 (1)原式=(x+4)(x-1). (2)原式=(x+1)(x-9) 【深入研究】 x2-6x+12=x2-6x+9+3=(x-3)2+3. (x-3)2≥0，.(x-3)2+3>0, .多项式x2-6x+12的值总是正数： 【拓展运用】△ABC为等边三角形.理由如下： a2-2ab+2b2-2bc+c2=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+ c2)=(a-b)2+(b-c)2=0, .∴.a-b=0,b-c=0,∴.a=b=c, ..△ABC是等边三角形. 8.(1)(1-x+y)2(2)(5a-6)2(3)(y-2)4 易错疑难集训四 1.解：(1)15a2+45ab+5a =5a×3a+5a×9b+5a×1 =5a(3a+9b+1). (2)(2a-1)(a+1)-7(a+1) =(a+1)(2a-1-7) =(a+1)(2a-8) =2(a+1)(a-4). (3)16x4-72x2+81 =(4x2)2-2×4x2×9+92 =(4x2-9)2 =(2x+3)2(2x-3)2. ,易错分析 第(3)题的易错之处是分解不彻底，即忽略4x2-9 可以用平方差公式分解为(2x+3)(2x-3): (4)(x2+y2)2-4x2y7 =(x2+y2-2x）(x2+y2+2xy） =(x-y)2(x+y)2 易错分析 第(4)题的易错之处是只利用平方差公式分解因 式，做到(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2-2)(x2+y2+ 2xy)就结束，忽略x2+y2-2y与x2+y2+2xy还能用 完全平方公式分解，导致因式分解不彻底而出错.进行 因式分解时，最后一定要检查是否已经分解到底，一是 检查公因式是否已经全部提出，二是检查提出公因式 :.后的式子是香还熊利用公式分解 2.A[解析]mn(m-n)-m(n-m)=m(m-n)(n+1) =-m(n-m)(n+1),故A选项正确；6(p+q)2-2(p+g) =2(p+q)(3p+3g-1),故B选项错误；3(y-x)2+2(x- y)=(y-x)(3y-3x-2),故C选项错误；3x(x+y）-(x+ y)2=(x+y)(2x-y）,故D选项错误. 3.解：-16ay-8ax2-8ay2=-8a(2gy+x2+y2)=-8a(x+y)2. :易错分析 本题在提取公因式时，容易因忘记改变括号内某 些项的符号而出错，出现如下错解：-16axy-8ax2- 80.=二8a(2y-=22=8a(-22 4D5.2x或-2x或 6.解：设x2+y2=m,xy=n, 则(x2+y2)(x2-2y+y2)+x2y2=m(m-2n)+n2=m2- 2mn+n2=(m-n)2=(x2+y2-y)2. 7.解：25(m+n)2-9(m-n)2 =[5(m+n)+3(m-n)][5(m+n)-3(m-n)] =(5m+5n+3m-3n)(5m+5n-3m+3n) =(8m+2n)(2m+8n) =4(4m+n)(m+4n). 本章考点检测训练 1.B2.-33.C4.B5.C 6.解：(1)原式=(x+4)(2+y). (2)原式=3b(a2-2a+1)=3b(a-1)2. (3)原式=(x2-y2)+(4y-4x) =(x+y)(x-y)+4(y-x) =(x+y)(x-y)-4(x-y) =(x-y)(x+y-4). 7.解：4(m+n)2-(m-n)2 =[2(m+n)+(m-n)]·[2(m+n)-(m-n)] =(2m+2n+m-n)·(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n). m+3n=3,3m+n=-2, .原式=(-2)×3=-6 8.解：情况一：选择A+B, 则A+B=a2+5+2a-4=a2+2a+1=(a+1)2. 情况二：选择B+C, 则B+C=2a-4+a2-2a=a2-4=(a-2)(a+2). (答案不唯一，符合题意即可) 9.D10.C11.2025 12.解：(1)8=22+22,8是“完美数” 41=42+52,.41是“完美数”. (2)S=x2+9y2+4x-12y+k=(x+2)2+(3y-2)2+k-8, k=8时，S是“完美数”. (3)设m=a2+b2,n=2+d2(a,b,c,d均为整数)， mn=(a2+62)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a22+b2c2= a2c2 +b2d2 a2d2 +b2c2 +2abed-2abed, .mn=(ac+bd)2+(ad-be)2, ∴.mn是“完美数”. 13.解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)a3-b3b2(a-b)a2(a-b)a3-b3=(a-b)(a2+ 参考答案及解析 ab+b2) (3).'a-b=6,ab=2, ∴.a2+b2=(a-b)2+2ab=62+2×2=40, .a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=6×(40+2)=252. 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 课时1分式的认识 【基础巩固练】 1.C2.B3.C4.C5.2(答案不唯-) 6.解：(1)x2+1≥1，解得x为任意实数. (2)(x+2)(x-1)≠0，解得x≠-2且x≠1. 7.A8B9-110.-名（答案不唯-） 1.解：当x=0时，3+6=3x0+6.6 '2-302-3=-3=-2 当1时整弩曾3号 1 当兮时 3×3+6 7 7 1112 9 12.A13.30m+5 n+1 课时2分式的基本性质及约分 【基础巩固练】 1.B2.A 3.(1)bc(2)ma+mb(3)x-y 4解：(1)因为40，所以号-后要货 (2)因为y≠0，所以空=y=b `2y2y÷y2 （3因为0，所以多六品器 (4)因为a2-4≠0，所以a-2≠0，且a+2≠0， 所以9-2-，a-2 1 以a2-4-(a-2)(a+2)a+2 5.D6.A 2解02字-子 (2)matmb-me_m(a+6-c)=m. a+b-c a+b-c (3)0-4ab+462=(a-2b)2 =4-26 a2-462(a+2b)(a-2b)a+2b 8.解：=4=1(2)2-1+2x1-2-1-24 2x2+xx(2x+1)-x(2x+1) 当x=-1时，原式=1+2×1=-3. -1 9.B10.D 【能力提升练】 1.A2.B 34[解桥]解法-因为号=宁，所以6= 20,所以92-4： "a2-2ab ·27·