专题4 线段的垂直平分线与角平分线的应用&问题解决策略：反思-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

4.证明：过点P作PD1BA交BA延长线于点D,PE⊥AC交 AC于点E,PF⊥BC交BC延长线于点F, ,:AP是△ABC的外角平分线，PD⊥BA,PE⊥AC, ∴.PD=PE. :CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC,PF⊥BC, ∴.PE=PF,∴PD=PF 又，PD⊥BA,PF⊥BC,∴.BP为∠MBN的平分线 5.(1)证明：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, ∴.CD=ED.在Rt△ACD和Rt△AED中， ICD=ED,:R△ACD≌R△AED(),AC=AE, LAD=AD. (2)解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, 六AB=VAC+BC=V8+6-10,S2c=2·AC· BC=24,SAACD =2 AC CD=4CD. :DE⊥AB,DE=CD,SAm=2DE·MB=5DB=5CD. S△ABc=S△ACD+S△ABD, :.24=4CD+5CD,解得CD=3 8 6.C 7.解：如答图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点P 即为小亭的位置 7题答图 【能力提升练】 1.C2.c 3.6[解析]如答图，过点0作0E⊥ AB于点E..B0平分∠ABC,OE⊥ AB,OH⊥BC,.OE=OH=3. 又B0,C0分别平分LABC和 0 LACB,∴.AO平分LBAC,.∠OAE HD =分∠BAC=30,在△A0E 3题答图 中，0A=20E=6. 4.解：(1)相等.理由如下： :D是线段BC垂直平分线上的一点， .点D到B,C两点的距离相等. (2)相等.理由如下： 点D在∠BAC的平分线上， ,点D到∠BAC两边的距离相等。 (3)BG=CH.证明： H 如答图，连接BD,CD. B :D是线段BC垂直平分线上的点， 0 ∴.BD=CD 4题答图 D是∠BAC平分线上的点，DC⊥AB,DH⊥AC, ∴.DG=DH,.Rt△BDG≌Rt△CDH,∴.BG=CH. 参考答案及解析 微专题4三角形的内、外角平分线模型 1.32 2.解：(1)①：∠A=64°，.∠ABC+∠ACB=116°. ∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P, L1=2∠ABC,L2=3∠ACB, 1+2=7(LABC+LACB)=58, ∴.∠BPC=180°-（∠1+∠2）=122°. ②90+ (2)·∠DBC和∠FCB的平分线相交于点Q, LQBC-DBC.LQCB-7LFCB. LQBC+QCB-(LDRC+LFCB) =2[3680:-(LABC+LAC8] =2360°-(180-2401 =2(180+240 =90+7LA, .∠BQC=180°-（∠QBC+∠QCB) =180-(90+2∠A） =90-221 ∠A=n°，.∠BQC=90°- 1 2 (3)∠BPC+∠BQC=180°. 专题4线段的垂直平分线与角平分线的应用 1.C 2.解：BD=AC.理由如下： 如答图，连接AD. .·∠CAE=25°，∠ACB=65°， ∴.∠AED=∠CAE+∠ACB=90°， 即AE⊥CD. 又E为CD的中点， ∴.AE垂直平分CD,.AD=AC. 2题答图 DM垂直平分AB, ..AD=BD,..BD=AC. 3.4:3 4.(1)证明：BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.DE=DF,∴.点D在EF的垂直平分线上. 在Ri△BDE和R△BDF中，BD=BD, [DE DF, .Rt△BDE≌Rt△BDF(HL),'.BE=BF ∴点B在EF的垂直平分线上， ∴.BD所在直线是EF的垂直平分线， (2)解：成立.证明如下： ·9… 同步练测·八年级数学·北师版·下册 同(1)可证GE=GF,BE=BF, ∴.点G,B在EF的垂直平分线上， .BG所在直线是EF的垂直平分线， 即BD所在直线是EF的垂直平分线。 (3)解：成立. ☆问题解决策略：反思 1.C2.D3.5 4证明AM=2MB,AN=2CAM=子B,AN=子4C 又：AB=AC,∴.AM=AN. .·AD平分∠BAC,∴.∠MAD=∠NAD. 又AD=AD,.△AMD≌△AND,.DM=DN 5.解：【问题解决】(1)当D为BC的中点时，DE=DF 证明如下： D为BC的中点，.BD=CD. ,AB=AC,∴，∠B=∠C DE⊥AB,DF⊥AC,∠DEB=∠DFC=90°. 在△BED和△CFD中， r∠B=∠C, ∠DEB=∠DFC, EP BD CD, .△BED≌△CFD(AAS),∴.DE=DF. DG B (2)CG=DE +DF. 5题答图 【延伸设问】7cm[解析]如答图，连接PA,PB,PC,过点C 作AB边上的高CG.:S△ABP+SABCP+S△ACP=S△ABC, 2AB·PD+2BC·PF+4C,PE=7ABCG :△ABC是等边三角形，AB=BC=AC,子AB·(PD+ PE+PF)-ABCG,-.PD+PE+PF-CG-7cm. 【规律总结】等于等于 易错疑难集训一 1.D2.D3.244.13或/195.20或70° 6.解：(1)设一次函数的表达式为y=x+b(k≠0)， 把点A(-3,0)与点B(0,4)代入，得3张+6=0， 1b=4, 4 解得=子'：此一次函数的表达式为)= 3x+4. b=4, (2)(-8,0)或(2,0)或(3,0)或（名，0 7.解：(1)若LA为顶角，则LB=2(180°-∠4)=50°； 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=80° 综上，∠B的度数为50°，20°或80° (2)分两种情况： ①当90°≤x<180时，∠A只能为顶角， ·∠B的度数只有一个； ②当0°<x<90时，若∠A为顶角，则∠B=180-, 2 ·10 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2x; 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x. :∠B有三个不同的度数， :1809-≠1800-2x且180°-2x≠且1809-￥≠， 2 2 ∴.x≠60° 综上，当∠B有三个不同的度数时，x的取值范围是0°<x< 90°且x≠60°. 8.A9.D 本章考点检测训练 1.C2.B3.35904.144° 5.解：(1)：∠BAC=80°，∠C=40°， .∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60° AD是△ABC的高，AE是△ABC的平分线， ÷∠BAD=0°-LABC=30°，∠BAB=2∠BAC=409, .∠DAE=∠BAE-∠BAD=10. (2)由(1)得∠ABC=60°，∠BAE=40°. :BF是LABC的平分线LABF=宁∠ABC=302, .∠AGB=180°-∠ABF-∠BAE=110°. 6.30° 7.证明：BE平分LABC,,∠ABE=∠CBE. .AD⊥BC,∴.∠FDB=90°， ∴，∠BFD=180°-∠FDB-∠CBE=180°-90°-∠CBE= 90°-∠CBE. .∠BAC=90°」 .∴.∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE=180°-90°-∠ABE= 90°-∠ABE. :∠ABE=LCBE,∴.∠BFD=LAEB. .·∠BFD=∠AFE,..∠AFE=∠AEB, ∴.AF=AE,,△AEF是等腰三角形. 8.(1)证明：AE平分∠CAD,∴.∠CAE=∠DAE. rAC=AD, 在△ACE和△ADE中，{∠CAE=∠DAE, LAE =AE. .△ACE≌△ADE(SAS),∠ACE=∠D. 又：AB=AC=AD,∠ABD=∠D=∠ACE. 在△ABF和△ECF中，∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB, ∠CEF=180°-∠ECF-∠CFE, ∴.∠BAF=∠CEF,即∠BAC=∠BEC (2)解：AE+CE=BE.理由如下： 如答图，在BE上截取BG=CE,连接AG. 由(1)可知LABG=∠ACE. 又，AB=AC,.△ABG≌△ACE, .AG=AE,∠BAG=∠CME. 又，∠ABC=60°， G ∴△ABC是等边三角形， B .∠BAC=60°， .∴.∠EAG=∠FAG+∠CAE 8题答图第一章三角形的证明及其应用 专题4线段的垂直平分线与角平分线的应用 [答案9] 类型①线段垂直平分线的应用 4如图，BD是△ABC的角平分线。 ①（陕西西安期末）如图，在△ABC中，AB边的垂 (1)如图①，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连 直平分线DE分别与AB和AC交于点D和点E, 接EF.求证：BD所在直线是EF的垂直平 BC边的垂直平分线FG分别与BC和AC交于点 分线； F和点G,若△BEG的周长为17，且EG=1,则 (2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时， AC的长为 ( B GE⊥AB于点E,GF⊥BC于点F,此时(1)中 A.13 的结论是否成立？请证明； B.14 (3)如图③，当点G沿BD方向从点D沿BD的 C.15 G 延长线运动时，GE⊥BA(或其延长线)于点 1题图 D.16 E,GF LBC(或其延长线)于点F,此时(1)中 2(山东聊城期中)如图，在△ABC中，AB的垂直 的结论是否成立？不需证明. 平分线DM交BC于点D,交AB于点M,E为CD 的中点，∠CAE=25°，∠ACB=65°，猜想BD与 AC的数量关系，并说明理由. 4题图① 4题图② 4题图③ 2题图 类型（②角平分线的应用 3(江苏南通期末)如图，在△ABC中，SABC=21, ∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AD的中 点，连接BE,F为BE上一点，且BF=2EF.若 S△DEF=2,则AB:AC= 3题图 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 27 同步练测·八年级数学·北师版·下册 ☆问题解决策略：反思 [答案P10] 知识点（○等腰三角形中的相等线段 5如图①，已知在△ABC中，AB=AC,D是BC边 1(教材母题变式)如图，在△ABC中，若AB=AC, 上任意一点，过点D分别向AB,AC引垂线，垂足 BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD与CE交 分别为E,F 于点O,则下列结论不一定正确的是 A 【问题解决】 (1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请 A.∠ABD=∠ACE 证明； B.BD=CE (2)过点C作AB边上的高CG,试猜想DE,DF, C.OC=DC B C CG的长度之间存在怎样的等量关系？直接 D.AE=AD 1题图 写出你的结论； 2在等腰三角形ABC中，AB=AC,下列说法不一 【延伸设问】如图②，已知等边三角形ABC的高 定正确的是 为7cm,P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D, A.BC边上的高和中线互相重合 PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则PD+PE+ B.AB,AC边上的中线相等 PF= C.在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C 【规律总结】等腰三角形底边上任意一点到两腰 处的角平分线相等 的距离之和 一一腰上的高.等边三角形 D.AB,BC边上的高相等 内一点到各边距离之和 任意一边上 3如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点D, 的高. BE⊥AC于点E.若BC=13,BE=12,则BD的长 为 5题图① 5题图② 3题图 4如图，在△ABC中，已知AB=AC,AD平分 ∠BAC,点M,N分别在边AB,AC上，AM=2MB, AN=2NC.求证：DM=DN. 4题图 28 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩