1.5 课时2 三角形三个内角的平分线-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

第一章三角形的证明及其应用 课时2三角形三个内角的平分线 《基础巩固练> [答案P8] 知眼点（①三角形角平分线的性质与判定 5(教材母题变式)如图，在△ABC中，∠C=90°， 1在三角形中，到三边距离相等的点是这个三角 AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足 形的 为E. A.三条中线的交点 (1)求证：AC=AE; B.三条角平分线的交点 (2)若AC=8,BC=6,求CD的长. C.三条高线的交点 D.三边垂直平分线的交点 2(内蒙古通辽模拟)如图，△ABC的三边AB,BC, CA的长分别是20,30,40，其三条角平分线交 D 于点0，并将△ABC分为三个三角形，则SABO: 5题图 S△Bc0:SAc4o等于 ( A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 知跟点②三角形角平分线的应用 6甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则正确的 作图是 2题图 3题图 问题：如图，某旅游景区内有一块三角形 3如图，0为△ABC内角平分线的交点，过点O作 绿地ABC,现要在道路边AB上建一个休 OM⊥AB于点M.若∠ACB=60°，OM=2,则OC 息点M,使它到边AC,BC的距离相等 B 的长为 6题图 在图中确定休息点M的位置 4(广东湛江期中)如图，AP,CP分别是△ABC外 角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P.求 证：BP为∠MBN的平分线. 甲的作图 乙的作图 丙的作图 丁的作图 A 心 C D 7如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿 4题图 地，现准备在其中修建一座小亭供人们小憩，且 使小亭到三条公路的距离相等，试确定小亭的 位置 7题图 《能力提升练>一 [答案P9] ①如图，AE与BF交于点O,点 A.AE,BF是△ABC的内角平分线 O在CG上，根据尺规作图的 B.CG也是△ABC的一条内角平分线 痕迹，下列说法不正确的是 C.A0=B0=C0 BE∠ ( D.点O到△ABC三边的距离相等 1题图 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 25 同步练测·八年级数学·北师版·下册 2将如图①所示的△ABC剪成三部分放在如图②4④[核心素养]如图，点D是△ABC中∠BAC的平 的网格中，已知点O,A,B,C均在格线上，若 分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB ∠B0C=126°，则∠BAC的度数为 于点G,DH⊥AC交AC的延长线于点H. (1)点D到B,C两点的距离相等吗？为什么？ (2)点D到∠BAC两边的距离相等吗？为什么？ (3)猜想BG和CH之间的大小关系，并证明你 2题图① 的结论. A... 2题图② A.54° B.60° C.72 D.100° 3(辽宁大连期中)如图，已知△ABC 4题图 中，∠ABC,∠ACB的平分线相交 于点O,连接A0并延长交BC于 点D,过点O作OH⊥BC于点H, B HD 3题图 若∠BAC=60°，OH=3,则OA的 长为 微专题4三角形的内、外角平分线模型 【模型展示】 2在△ABC中 如图①，BD,CD分别为△ABC两个内角的 (1)如图①，∠ABC,∠ACB的平分线相交于 平分线，则∠D=90+行21 点P ①若∠A=64°，求∠BPC的度数； 如图②，BD,CD分别为△ABC两个外角的 ②若∠A=n°，则∠BPC= 平分线，则∠D=90-7L1 (2)如图②，△ABC中的外角平分线相交于点 如图③，BD,CD分别为△ABC一内角和 Q,∠A=n°，求∠BQC的度数； (3)如图③，△ABC的∠ABC,∠ACB的平分线 外角的平分线，则∠D=?∠A 相交于点P,它们的外角平分线相交于点 Q.请直接写出∠BPC与LBQC之间的数 量关系 图① 图② 图③ 1如图，P是△ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延 长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的 2题图① 2题图② 2题图③ 延长线于点F,连接PB,PC,若PD=PE=PF, ∠BAC=64°，则∠BPC的度数为 1题图 26 见此图标目虽微信扫码难题轻松解练出好成绩同步练测·八年级数学·北师版·下册 .∠EA0=∠FCO EF是AC的垂直平分线， ..AO=CO,AE=CE,AF=CF. ,∠EAO=∠FCO, 在△AOE和△COF中， A0=C0, L∠AOE=∠COF, .∴.△AOE≌△COF(ASA),∴，AE=CF, .AE=CE=CF=AF=5, ∴.四边形AECF的周长为4×5=20. 4.解：l1是AB边的垂直平分线， ∴.DA=DB,OA=OB. 2是AC边的垂直平分线， .EA=EC,OA=OC,..OB=OC=0A, .BC BD+DE EC=DA +DE +EA =6 cm. .OB+0C+BC=16 cm, .∴.OB+OC=10cm, .∴.0A=0B=0C=5cm 微专题3双垂直平分线模型 1.C2.135°3.20 5角平分线 课时1角平分线的性质与判定 【基础巩固练】 1.B2.B3.D4.1 5.证明：·BD为∠ABC的平分线，.∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， rAB=CB, ∠ABD=∠CBD,∴.△ABD≌△CBD(SAS), BD=BD, .∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, ∴.PM=PN. 6.A7.63°8.80 9.证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中， {FP化.R△PFD≌Rt△PGE(D),PD=PE, 又P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB, .OC是∠AOB的平分线. 【能力提升练】 1.B[解析]如答图，过点E作EG⊥AC交 AC于点G.AE是∠BAC的平分线，EF⊥ AB,.EF=EG.设EF=EG=x.BD是中 线，5m=20,4C=12,AD=24C=6, SAABD =SABCD =20,SAABE +SAADE =20, B 74B·EF+分A0·EG=20,分× 1题答图 14x+7×6x=20,解得x=2BF=2 2.33.54.150° ·8… 5.解：·AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F,∴.DE=DF=2cm. SAAGAB DE+AC DF, 分x4×2+74cx2=74C=3m 1 6.(1)解：作PQ⊥BE于点Q,如答图. BP平分∠ABC,∴.PQ=PH=8cm, H 即点P到直线BC的距离为8cm (2)证明：：CP平分∠ACE, PQ⊥BE,PD⊥AC,∴.PD=PQ 由(1)知PH=PQ,∴.PD=PH. B 'PD⊥AC,PH⊥BA, 6题答图 ,点P在∠HAC的平分线上 7.解：如答图，连接0B,0C. ∠BAC=54°，A0平分∠BAC, .LBAO-LBAC=27, 又，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, LABC=(180-∠BAC) =2×(180°-54）=630. 1 7题答图 D0是AB的垂直平分线，∴.OA=OB, ∴.∠AB0=∠BA0=27°， .∠0BC=∠ABC-∠AB0=63°-27°=36°. AB=AC,A0为LBAC的平分线， .AO也是底边BC上的垂直平分线， 又：DO是AB的垂直平分线， ∴.点O是△ABC三边垂直平分线的交点， .0B=0C,∴.∠0CB=∠0BC=36°. 将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合， .∴.0E=CE,∴.∠C0E=∠0CB=36°. 在△0CE中，∠0EC=180°-∠C0E-∠0CB=180°- 36°-36°=108°. 课时2三角形三个内角的平分线 【基础巩固练】 1.B 2.C[解析]如答图，过点0作OD⊥AC于点D,OE⊥AB于 点E,OF⊥BC于点FO是三条角平分线的交点，∴.OE= 0D=0F.:Sm=7·AB·0E,SAm=号·BC.0F, Saeo=7·AC,0D,Saum:SamSaen=AB:Bc:AC =2:3:4. 2题答图 3.4 4.证明：过点P作PD1BA交BA延长线于点D,PE⊥AC交 AC于点E,PF⊥BC交BC延长线于点F, ,:AP是△ABC的外角平分线，PD⊥BA,PE⊥AC, ∴.PD=PE. :CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC,PF⊥BC, ∴.PE=PF,∴PD=PF 又，PD⊥BA,PF⊥BC,∴.BP为∠MBN的平分线 5.(1)证明：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, ∴.CD=ED.在Rt△ACD和Rt△AED中， ICD=ED,:R△ACD≌R△AED(),AC=AE, LAD=AD. (2)解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, 六AB=VAC+BC=V8+6-10,S2c=2·AC· BC=24,SAACD =2 AC CD=4CD. :DE⊥AB,DE=CD,SAm=2DE·MB=5DB=5CD. S△ABc=S△ACD+S△ABD, :.24=4CD+5CD,解得CD=3 8 6.C 7.解：如答图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点P 即为小亭的位置 7题答图 【能力提升练】 1.C2.c 3.6[解析]如答图，过点0作0E⊥ AB于点E..B0平分∠ABC,OE⊥ AB,OH⊥BC,.OE=OH=3. 又B0,C0分别平分LABC和 0 LACB,∴.AO平分LBAC,.∠OAE HD =分∠BAC=30,在△A0E 3题答图 中，0A=20E=6. 4.解：(1)相等.理由如下： :D是线段BC垂直平分线上的一点， .点D到B,C两点的距离相等. (2)相等.理由如下： 点D在∠BAC的平分线上， ,点D到∠BAC两边的距离相等。 (3)BG=CH.证明： H 如答图，连接BD,CD. B :D是线段BC垂直平分线上的点， 0 ∴.BD=CD 4题答图 D是∠BAC平分线上的点，DC⊥AB,DH⊥AC, ∴.DG=DH,.Rt△BDG≌Rt△CDH,∴.BG=CH. 参考答案及解析 微专题4三角形的内、外角平分线模型 1.32 2.解：(1)①：∠A=64°，.∠ABC+∠ACB=116°. ∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P, L1=2∠ABC,L2=3∠ACB, 1+2=7(LABC+LACB)=58, ∴.∠BPC=180°-（∠1+∠2）=122°. ②90+ (2)·∠DBC和∠FCB的平分线相交于点Q, LQBC-DBC.LQCB-7LFCB. LQBC+QCB-(LDRC+LFCB) =2[3680:-(LABC+LAC8] =2360°-(180-2401 =2(180+240 =90+7LA, .∠BQC=180°-（∠QBC+∠QCB) =180-(90+2∠A） =90-221 ∠A=n°，.∠BQC=90°- 1 2 (3)∠BPC+∠BQC=180°. 专题4线段的垂直平分线与角平分线的应用 1.C 2.解：BD=AC.理由如下： 如答图，连接AD. .·∠CAE=25°，∠ACB=65°， ∴.∠AED=∠CAE+∠ACB=90°， 即AE⊥CD. 又E为CD的中点， ∴.AE垂直平分CD,.AD=AC. 2题答图 DM垂直平分AB, ..AD=BD,..BD=AC. 3.4:3 4.(1)证明：BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.DE=DF,∴.点D在EF的垂直平分线上. 在Ri△BDE和R△BDF中，BD=BD, [DE DF, .Rt△BDE≌Rt△BDF(HL),'.BE=BF ∴点B在EF的垂直平分线上， ∴.BD所在直线是EF的垂直平分线， (2)解：成立.证明如下： ·9…