1.4 课时2 三角形三边的垂直平分线-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

第一章三角形的证明及其应用 课时2三角形三边的垂直平分线 《基础巩固练 [答案7] 知眼点（③三角形三边垂直平分线的性质 知限点（②利用线段垂直平分线的性质尺规作图 (陕西渭南期末)如果三角形三边垂直平分线的 6下列选项中，根据作图痕迹可以得到AD=CD 交点在某一边上，那么这个三角形是( 的是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 2(河北保定期中)在正方形网格中，△ABC的位 置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有 E,F,G,H四个格点，到△ABC三个顶点距离相 等的点是 ( C 7尺规作图：如图，已知线段a,b,求作等腰三角 形，使腰长为b,底边上的高为a(a<b).（不写 2题图 A.点EB.点F C.点G D.点H 作法，保留作图痕迹)》 3(教材母题变式)如图，为增强人民体质，提高全 民健康水平，某市拟修建一个大型体育中心P, b 使得体育中心P到三个乡镇中心A,B,C的距离 7题图 相等，则点P应设计在 A.△ABC三条高线的交点处 B.△ABC三条中线的交点处 8某市在园艺博览会期间要修建一处公共服务设 C.△ABC三条角平分线的交点处 施，使它到三个展馆A,B,C的距离相等 D.△ABC三边垂直平分线的交点处 (1)若三个展馆A,B,C的位置如图所示，请你在 图中确定公共服务设施（用点P表示）的位 置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若∠BAC=68°，求∠BPC的度数 3题图 4题图 A ④如图，在△ABC中，AB与AC的垂直平分线交于 点P,连接AP,BP,CP,若∠ABC=60°，则∠ACP C 的度数为 B. 5如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点.若 8题图 ∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数 5题图 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 27 同步练测·八年级数学·北师版·下册 <《能力提升练 [答案7] T等腰三角形的底角为35°，两腰的垂直平分线交④如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线1，交BC 于点P,则 于点D,AC边的垂直平分线L2交BC于点E,l1 A.点P在三角形内 与l2相交于点O,连接OB,OC,OA.若△ADE的 B.点P在三角形底边上 周长为6cm,△OBC的周长为16cm.求线段OA C.点P在三角形外 的长 D.点P的位置与三角形的边长有关 2(江西抚州期中)如图，D是线段AC, AB的垂直平分线的交点.若∠ACD =30°，∠BAD=50°，则∠BCD的大 小是 2题图 4题图 3如图，已知长方形ABCD,AC是对角线， (1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线，垂足为 O,交边AD于点E,交边BC于点F,连接 AF,CE(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若AE=5,求四边形AECF的周长 3题图 微专题3 双垂直平分线模型 方法指导： 2如图，在钝角三角形ABC中，已知∠A为钝 如图，在△ABC中，∠BAC=a,边AB的垂直 角，边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点 平分线分别交AB,BC于点M,E,边AC的垂直平 D,E,若BD2+CE2=DE2,则∠A的度数 分线分别交AC,BC于点N,F,则∠EAF=2a 为 180°或180°-2a. 2题图 3如图，在△ABC中，DE垂直平分AB,分别交 ∠EAF=2a-180° ∠EAF=180°-2a AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交 1(山东枣庄期末)如图，在△ABC中，DM,EN AC,BC于点M,N.若∠BAC=80°，则∠EAN 分别垂直平分AB和AC,交BC于点D,E,交 的度数为 AB,AC于点M,N,若∠DAE=40°，则∠BAC= 3题图 1题图 A.105° B.100° C.110° D.1409 20 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩4线段的垂直平分线 课时1线段垂直平分线的性质与判定 【基础巩固练】 1.B2.C3.C 4.解：(1).DE是AB的垂直平分线， .∴.BE=AE,∴.∠DBE=∠A, .∴.∠ABC=∠CBE+∠DBE=∠CBE+∠A. ∠C=90°，∴.∠A+∠ABC=90°， ∴.∠A+∠CBE+∠A=2∠A+20°=90°，解得∠A=35°. (2)DE是AB的垂直平分线，.BE=AE. 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=18-x. 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得 BC2+CE2=BE2,即122+x2=(18-x)2, 解得x=5,∴.CE=5. 5.A6.AB 7.证明：∠1=∠2，.EB=EC, ∴.点E在线段BC的垂直平分线上. 又.∠3=∠4， ∴.∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠ACB, ∴.AB=AC,.点A在线段BC的垂直平分线上， ∴.AD垂直平分BC. 8.解：如答图，①连接MW;②作线段MW的垂直平分线l,交直 线AB于点C,则点C即所求位置 M A 米 B 8题答图 【能力提升练】 1.C2.B3.D 4.35°[解析]∠A=70°，∠B+∠ACB=180°-70°= 110°..D为BC中，点，ED⊥BC,∴.ED是BC的垂直平分线， ∴.EB=EC,∴.∠ECB=∠B.·CF平分∠ACE,∴.∠ACF= ∠ECF,∴.∠FCD=∠ECB+∠ECF=55°，∴.∠F=90°- 55°=35. 5.证明：E是BD的垂直平分线上的一点， ∴.EB=ED,.∠B=∠D. 又：∠ACB=90°， .∴.∠A=90°-∠B,∠2=90°-∠D, ∴.∠2=∠A. 又：∠1=∠2，∴.∠1=∠A,.EF=EA, .点E在AF的垂直平分线上 6.证明：(1).AD∥BC,∴.∠ADC=∠FCD :E是CD的中点，∴DE=CE. 又：∠AED=∠FEC,∴.△ADE≌△FCE,∴FC=AD (2):△ADE≌△FCE,∴.AE=FE,AD=FC BE⊥AE,BE是线段AF的垂直平分线， .∴.AB=BF=BC+FC. 又.AD=FC,∴，AB=BC+AD. 参考答案及解析 7.解：(1)20(2)35(3)60 (4)猎想：LNM=之LA 证明：，AB=AC, LB=LACB=(180-LA)=90°-2∠L MN⊥AB,∠MNB=90° MB=0-(90-4）= 课时2三角形三边的垂直平分线 【基础巩固练】 1.C2.B3.D4.309 5.解：P为△ABC三边垂直平分线的交点， .PA=PC=PB,.∠PAC=∠PCA=20°， ∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB=∠PBA, LPMB=7x(1800-2×20-2x30)=40 6.D 7.解：如答图，△ABC即所求的三角形 B a M D 米Q 7题答图 8.解：(1)如答图，连接AB,BC,CA,分别作边AB和BC的垂直 平分线，两直线交于点P,则点P即为所求 (2)如答图，连接AP,BP,CP 由(1)可知AP=BP=CP, ∴.∠BAP=∠ABP,∠CAP=∠ACP .∠ABP+∠ACP=∠BAP+∠CAP =∠BAC. 又：∠BAC=68°， B ∴.∠ABP+∠ACP=68°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BAC- 8题答图 (∠ABP+∠ACP)=180°-68°-68°=44°， .∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-44°=136° 【能力提升练】 1.C2.10 3.解：(1)作图如答图。 3题答图 (2)在长方形ABCD中，∠D=∠DCB=90°， .∴.∠EA0+∠DCA=∠FC0+∠DCA=90°， ·7 同步练测·八年级数学·北师版·下册 .∠EA0=∠FCO EF是AC的垂直平分线， ..AO=CO,AE=CE,AF=CF. ,∠EAO=∠FCO, 在△AOE和△COF中， A0=C0, L∠AOE=∠COF, .∴.△AOE≌△COF(ASA),∴，AE=CF, .AE=CE=CF=AF=5, ∴.四边形AECF的周长为4×5=20. 4.解：l1是AB边的垂直平分线， ∴.DA=DB,OA=OB. 2是AC边的垂直平分线， .EA=EC,OA=OC,..OB=OC=0A, .BC BD+DE EC=DA +DE +EA =6 cm. .OB+0C+BC=16 cm, .∴.OB+OC=10cm, .∴.0A=0B=0C=5cm 微专题3双垂直平分线模型 1.C2.135°3.20 5角平分线 课时1角平分线的性质与判定 【基础巩固练】 1.B2.B3.D4.1 5.证明：·BD为∠ABC的平分线，.∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， rAB=CB, ∠ABD=∠CBD,∴.△ABD≌△CBD(SAS), BD=BD, .∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, ∴.PM=PN. 6.A7.63°8.80 9.证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中， {FP化.R△PFD≌Rt△PGE(D),PD=PE, 又P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB, .OC是∠AOB的平分线. 【能力提升练】 1.B[解析]如答图，过点E作EG⊥AC交 AC于点G.AE是∠BAC的平分线，EF⊥ AB,.EF=EG.设EF=EG=x.BD是中 线，5m=20,4C=12,AD=24C=6, SAABD =SABCD =20,SAABE +SAADE =20, B 74B·EF+分A0·EG=20,分× 1题答图 14x+7×6x=20,解得x=2BF=2 2.33.54.150° ·8… 5.解：·AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F,∴.DE=DF=2cm. SAAGAB DE+AC DF, 分x4×2+74cx2=74C=3m 1 6.(1)解：作PQ⊥BE于点Q,如答图. BP平分∠ABC,∴.PQ=PH=8cm, H 即点P到直线BC的距离为8cm (2)证明：：CP平分∠ACE, PQ⊥BE,PD⊥AC,∴.PD=PQ 由(1)知PH=PQ,∴.PD=PH. B 'PD⊥AC,PH⊥BA, 6题答图 ,点P在∠HAC的平分线上 7.解：如答图，连接0B,0C. ∠BAC=54°，A0平分∠BAC, .LBAO-LBAC=27, 又，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, LABC=(180-∠BAC) =2×(180°-54）=630. 1 7题答图 D0是AB的垂直平分线，∴.OA=OB, ∴.∠AB0=∠BA0=27°， .∠0BC=∠ABC-∠AB0=63°-27°=36°. AB=AC,A0为LBAC的平分线， .AO也是底边BC上的垂直平分线， 又：DO是AB的垂直平分线， ∴.点O是△ABC三边垂直平分线的交点， .0B=0C,∴.∠0CB=∠0BC=36°. 将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合， .∴.0E=CE,∴.∠C0E=∠0CB=36°. 在△0CE中，∠0EC=180°-∠C0E-∠0CB=180°- 36°-36°=108°. 课时2三角形三个内角的平分线 【基础巩固练】 1.B 2.C[解析]如答图，过点0作OD⊥AC于点D,OE⊥AB于 点E,OF⊥BC于点FO是三条角平分线的交点，∴.OE= 0D=0F.:Sm=7·AB·0E,SAm=号·BC.0F, Saeo=7·AC,0D,Saum:SamSaen=AB:Bc:AC =2:3:4. 2题答图 3.4