1.3 课时1 直角三角形的性质与判定-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

第一章三角形的证明及其应用 3直角三角形 课时1直角三角形的性质与判定 《基础巩固练 [答案P] 知识点①直角三角形的性质 知跟点②直角三角形的判定 ①（山东潍坊期末）若直角三角形的一个锐角等于 6如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，且CD 40°，则它的另一个锐角等于 ( 1 A.50° B.60° C.70° D.140° =24B,求证：LACB=90 2(河北承德期末)如图，在△ABC中，∠B=90°， AB=2,BC=4,四边形ADEC是正方形，则正方 形ADEC的面积是 A.8 B.16 C.20 D.25 6题图 -1.8 2题图 3题图 4题图 3(连云港中考)如图，长为3m的梯子靠在墙上， 梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶 端的高度h为 m. 7(陕西西安期末)如图，已知四边形ABCD中， ④（广东揭阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C= ∠B=90°，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边 90°，△ABC的角平分线AD,BE相交于点P,则 形ABCD的面积. ∠APB=°. 5如图，在△ABC中，CD是△ABC的高，AC=20, BC=15,BD=9.求AD和CD的长. 7题图 D 5题图 知织点③逆命题与逆定理 8下列说法正确的是 A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.定理的逆命题一定是真命题 9(江苏苏州期末)下列命题：①同旁内角互补，两 直线平行；②若1al=Ib1,则a=b;③直角都相 等；④相等的角是对顶角.其中逆命题是真命题 的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩 15 同步练测·八年级数学·北师版·下册 <《能力提升练 [答案6] 1(陕西中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， ①内错角相等，两直线平行； ∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC,则图 ②如果两个角是直角，那么它们相等； 中与∠A互余的角共有 ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等， 8现有一长方形纸片ABCD,在剪纸过程中需要折 叠.如图，将△ADE沿AE折叠，使点D恰好落在 BC边上的点F处.已知AB=8,BC=10,求EC 1题图 的长 A.2个B.3个C.4个 D.5个 D 2(天津和平区期末)已知a,b,c是△ABC的三条 边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形 的是 () 8题图 A.a=2,b=V5,c=3 B.∠A+∠B=∠C C.(a+b)2+(a-b)2=2c2 D.∠A:∠B:∠C=2:3:4 3(东营中考)如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位 置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m,向前荡起 到最高点B处时距地面高度1.3m,摆动水平距离 BD为1.6m,然后向后摆到最高点C处.若前后 摆动过程中绳始终拉直，且OB与0C成90°角， 9如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE平 则小丽在C处时距离地面的高度是 分LACB. (1)求∠ACE的度数； (2)若CD⊥AB于点D,F是CE上一点，且 B ∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形. 3题图 A.0.9mB.1.3mC.1.6mD.2m 4如图，在△ABC中，CE,BF分别是AB,AC边上 的高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度 9题图 数是」 ∠FBC的度数是 ip -- A 4题图 5题图 5如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方 形的顶点称为格点，点A,B,P均在格点上，则 ∠PAB+∠PBA= 6Rt△ABC的两条直角边为a,b,斜边为c,若a+b =8,c=6,则△ABC的面积为 ⑦（北京西城区期中）下列命题中，其逆命题成立 的是 ·(请填写序号) 16 见此图标目民微信扫码难题轻松解练出好成绩2.证明：如答图，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F ·△ABC是等边三角形，DF∥BC, .∴.AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°， ∴.△ADF是等边三角形 .AD=DF=AF,.'.CD BF,FD=CE 在△BFD和△DCE中， BF=DC. ∠DFB=∠ECD=60°， LFD=CE, ∴.△BFD≌△DCE(SAS),∴DB=DE. 又DG⊥BC,∴.BG=EG A B G E D 2题答图 3.证明：如答图，延长AD至点G,使DG=AD,连接BG 在△BDG和△CDA中， A BD=CD, ∠BDG=∠CDA, DG=DA, ∴.△BDG≌△CDA(SAS), .∴.BG=AC,∠G=∠CAD. D .·AE=EF,∴.∠CAD=∠AFE. 又∠BFG=∠AFE, ∴.∠CAD=∠BFG, .∠G=∠BFG, .BF=BG,∴.BF=AC G 4.证明：小敏的证明思路：如答图①， 3题答图 在AC上截取AE=AB,连接DE. ,AD是∠BAC的平分线， ∴.∠BAD=∠EAD. R1 在△ABD和△AED中， AB=AE. D ∠BAD=∠EAD, 4题答图① LAD=AD, ∴.△ABD≌△AED(SAS),∴.BD=DE,∠B=∠AED. ∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C, ∴.∠EDC=∠C,∴.DE=EC .AB BD=AE +DE=AE CE=AC. 小洁的证明思路：如答图②，延长CB至点E,使BE=AB,连 接AE,则LE=BAE. B D 4题答图② 参考答案及解析 .·∠ABC=∠E+∠BAE,∴.∠ABC=2∠E ∠ABC=2∠C,∴.LE=∠C,AE=AC. AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAD=∠DAC. ',·∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE,∠BAE =∠E=∠C, .∠ADE=∠DAE,∴.AE=DE=AC, .'AB BD BE BD=DE=AC. 专题3等腰三角形性质与判定的常考题型 1.B2.C 3.A[解析]如答图，延长DB至点E,使BE=AB,连接AE, ∴.∠E=∠BAE,.∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E=62°， .∠E=31°.AB+BD=CD,∴.BE+BD=CD,即DE= CD..·AD⊥BC,∴.AD垂直平分CE,∴.AC=AE,∴.∠C=∠E =31°，∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=87.故选A B D 3题答图 4.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C 在△DBE和△ECF中， BE=CF, ∠B=∠C,,△DBE≌△ECF(SAS), LBD =CE, .DE=EF,∴.△DEF是等腰三角形 (2)解：由(1)知△DBE≌△ECF,∴.∠BDE=∠CEF AB=4C,∠A=40°，∠B=3×(180°-40°)=70， .∴.∠BDE+∠BED=110°，∴.∠CEF+∠BED=110°， ,∴.∠DEF=180°-（∠CEF+∠BED)=70°. 5.证明：BC=DC,.∠CBD=∠CDB. .·∠EBC=∠EDC, ∴.L∠EBC-∠CBD=LEDC-∠CDB,即LEBD=LEDB. ∠A=90°，，∠BDA+∠ABD=90°=∠A, ∴，∠BDA+∠EDB=∠A, .∴.∠BED=∠A+∠ADE=∠BDA+∠EDB+∠ADE= ∠BDA+∠BDA=2∠BDA. 6.证明：(1)：BD平分∠ABC,∠FBE=∠CBE. ,CE⊥BE,∴.∠BEF=∠BEC=90. 又BE=BE,∴.△BEF≌△BEC, .∴.BF=BC,..△BCF是等腰三角形 (2).BF=BC,CE⊥BE,∠BAC=90°，∴.CF=2CE. :∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠AFC=90°， ∴.∠ADB=∠AFC. 又：AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°， ∴△ABD≌△ACF,BD=CF=2CE. 3直角三角形 课时1直角三角形的性质与判定 【基础巩固练】 1.A2.C3.2.44.135 .5. 同步练测·八年级数学·北师版·下册 5.解：CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°. 在Rt△BDC中，BC=15,BD=9, .CD=√BC2-BD2=√152-92=12. 在Rt△ADC中，AC=20,CD=12, .AD=√AC2-CD2=√202-122=16. 6.证明：GD是△ABC的中线，且cD=2AB, AD-BDAB..AD-CD.BD-CD, .∠A=∠ACD,∠B=∠BCD. ∠A+∠B+∠ACB=180°， .∴.∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°， ∴.2（∠ACD+∠BCD)=180°， ∴.∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90 7.解：如答图，连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB2+BC=√12+22=5. 在△ACD中，AC2+CD2=5+22=9,AD2=32=9, .'AC2 CD2 =AD2, ∴.△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°， Sc=7x1x2=1,5m=7×5x2=5, .S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1+√5. A 7题答图 8.A9.B 【能力提升练】 1.c 2.D[解析]A项，由a=2,b=√5，c=3可得a2+b2=c2,能 判定△ABC是直角三角形，不合题意；B项，由∠A+∠B= ∠C可得∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题 意：C项，由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2,能判 定△ABC是直角三角形，不合题意；D项，由∠A:∠B:∠C =2:3:4可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，不能判定 △ABC是直角三角形，符合题意. 3.A4.20°40°5.45°6.77.① 8.解：由题意可设EC的长为x,则DE=8-x △ADE折叠后的图形是△AFE,∴.AD=AF,DE=EF. .∵AD=BC=10,∴.AF=10. 又，AB=8,在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF2=AF2-AB2=102-82=36, .BF=6,.FC=BC-BF=10-6=4 在Rt△EFC中，由勾股定理，得FC2+EC2=EF2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3, ..EC的长为3. 9.(1)解：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，∴.∠ACB=90° yCE平分LACB,LACB=7LACB=450 ·6… (2)证明：：CD⊥AB,∠B=60°， .∠BCD=90°-60°=30° ,·∠BCE=∠ACE=45°， ∴.∠DCF=∠BCE-∠BCD=15. .∠CDF=75°，∴.∠CFD=180°-75°-15°=90°， ∴.△CFD是直角三角形. 课时2直角三角形全等的判定 【基础巩固练】 1.A 2.A 3.A 4.A 5.BC=FE(BE=FC)6.12 7.证明：：AD,AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，且 AC =AE,AD=AF, ∴.Rt△ADC≌Rt△AFE,.CD=EF. ,'AB=AB,AD=AF,∴.Rt△ABD≌Rt△ABF, ,BD=BF,∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 8.C 【能力提升练】 1.A 2.B[解析].∠C=90°，∠B=28°，.∠BAC=90°-28°= 62°.DE⊥AB,.∠ADE=90°.在Rt△ACE和Rt△ADE 中，AG=A伦，之R△ACE≌R△ADE(),÷LCME3 ∠DAE,∠CMB=号∠BAC=31,LABC=90-31=59 3.8cm4.22.5° 5.解：·∠ABC=∠BAC=45°，∴.LACB=90°，AC=BC. ∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°， .'.∠DAC=∠ECB ,∠DAC=∠ECB, 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB, LAC=CB, ∴.△ACD≌△CBE(AAS),∴.BE=CD=2. 6.证明：.AE⊥BC,DF⊥BC,∴.∠AEB=∠DFC=90°. 在R△ABE和R△DCF中，AE=DF, [AB=DC. .∴.Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),.∴.∠ABE=∠DCF. AB=DC, 在△ABC和△DCB中， ∠ABC=∠DCB, BC CB. .△ABC≌△DCB(SAS),∴.AC=DB. 7.(1)证明：：AD⊥MN,BE⊥MN,.∠ADC=∠CEB=90 又：∠ACB=90°， ∴.∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠ECB=90°， ∴.∠DAC=∠ECB.在△ADC和△CEB中， ·∠ADC=∠CEB,LDAC=∠ECB,AC=CB, ∴.△ADC≌△CEB,∴.AD=CE,CD=BE DE CD CE,..DE =AD +BE. (2)解：DE=AD-BE. 证明：同理可证得△ADC≌△CEB, ∴.CD=BE,AD=CE DE =CE-CD,..DE =AD -BE.