1 1.3 第1课时 直角三角形的性质与判定-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

3直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 【点拨】题目中没有明确指出边长为4的边是直角边 知识储备 还是斜边时，需分类讨论：①4为直角边；②4为斜 1.直角三角形的两个锐角 边，再根据勾股定理求解。 2.有两个角 的三角形是直角三角形。 知识点二直角三角形的判定 3.直角三角形两条直角边的 等于斜边 4 6.(2025·盘锦期中)由下列条件不能判定 的 △ABC是直角三角形的是 () 十4.如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平 方，那么这个三角形是 A.∠A=37°，∠C=53 三角形。 5.原命题（定理）的条件和结论分别是逆命题（定 B.∠A-∠C=∠B 理)的 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.∠A:∠B:∠C=2:3:5 01基础练 细必备知识梳理·一 7.已知三角形三边长分别是6,8,10，则此三角 知识点一 直角三角形的性质 形的面积为 1.(2025·二七区开学)如果直角三角形的一个 8.如图，在四边形ABCD中，AB=1,BC=2, 锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角 CD=2,AD=3,且AB⊥BC。求证：△ACD 是 ( 是直角三角形。 A.20° B.60° C.30° D.45° 2.如图，已知l∥AB,CD⊥l于点D,若∠C= 40°，则∠1的度数是 ( A.30° B.40° 40 D C.50° B D.60° 3.(2025·越秀区期中)直角三角形的两条直角 边的长分别为9,12，则斜边长为 4.如图，Rt△ACB中，∠ACB 知识点三命题（逆命题）与定理（逆定理）】 90°，BC=12,以点A为圆心， 9.能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理 AB长为半径画弧，交AC的 数”是假命题的反例是 () 延长线于点D,若CD=6,则 A.x=√2-1 B.x=√2+1 AC的长为 0 C.x=3√2 D.x=√3-√2 易错点○ 忽略分类讨论而导致漏解 10.命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 5.直角三角形的两边长是3和4，则第三边的长 。这个逆命题是 是 命题（填“真”或“假”）。 11八年极数学下册·BS 02综合练 身关锭能力提升一 13.在△ABC中，AB=34,AC=5,若边BC 11.如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6, 上的高等于3，则边BC的长为 ∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的 14.【教材P31习题T1变式】如图，在四边形 中点D重合，折痕为MN,则线段BN的长 ABCD中，AB∥CD,点E在BC上，且EA平 为 分∠BAD,ED平分∠ADC。若AE=3, DE=4,求AD的长。 A C.4 D.5 B 第11题图 第12题图 12.如图是一个底面为正方形的长方体。已知 该长方体底面边长为4cm,高为5cm。若 一只瓢虫沿着长方体的表面从点A爬到点 B,则需要爬行的最短距离是 cm 微专题目 构造直角三角形 解题技巧 【针对练习】 当题目中含有特殊角(30°，45°，60°，120°)或者 1.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=2, 已知几条边长并且这几条边之间存在某种关系时， 可以考虑通过作垂线或补形法构造直角三角形，利 AC=3,则△ABC的面积为 用直角三角形的性质与勾股定理解题。 E 【例】如图，在四边形ABCD中， ∠A=60°，∠B=∠ADC=90°， 2.如图，在四边形ABCD中，AB=CB=√2， AB=2,CD=1,求BC,AD的长。 CD=√5，DA=1,且AB⊥BC,则四边形 (答题模板)解：延长AD,BC交 ABCD的面积是 B 于点E。 :∠A=60°，∠B=∠ADC=90°， ∴.∠E=30°。.AE=2 CE=2 B 第2题图 第3题图 .BE=√ 2-AB2= 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C DE=√CE2 2 90°，∠ABC=60°，AD=4,CD=10,则BC ∴.BC=BE-CE= 的长为 AD-AE-DE= 助学助教优质高数12AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。D是BC的中点，∴.BD=CD :DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90°。∴∠BDE=∠FDC=60°。 .∠EDF=180°-60X2=60°.又：∠B=∠C=30∴.DE=号BD.DF=2CD. 且BD=CD。∴DE=DF。又，∠EDF=6O°，△DEF是等边三角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识储备 1.互余2.互余3.平方和平方4.直角5.结论条件 基础练 1.C2.C3.154.95.5或√76.C7.248.解：在△ABC中，AB1 BC,根据勾股定理，得AC2=AB2十BC=12+22=5。在△ACD中，AC+ CD=5+4=9,AD=9,∴.AC+CD=AD。∴.△ACD为直角三角形。 9.C10.两直线平行，内错角相等真11.C12.√8913.9或1 14.解：EA平分∠BAD,ED平分∠ADC,.∠BAD=2∠DAE,∠ADC= 2∠ADE。又：AB∥CD,∴.∠BAD+∠ADC=180°，即2∠DAE+2∠ADE =180°。∴∠DAE+∠ADE=90°。.△AED是直角三角形，且∠AED= 90°。.AE+DE=AD2。.AD=√32+4=5。 微专题二构造直角三角形 【例】AB4CD2AE2W3CD√32W3-24-√3 【针对训练】 1.33 2 2.23.63 第2课时利用“HL”判定两个直角三角形全等 知识储备 斜边直角边斜边、直角边HL 基础练 1.A2.(1)90°CD EDED EF Rt△ABC(2)证明：，∠ACB= ∠CFE=90°，∴.∠ACB=∠DFE=90°。在Rt△ACB和Rt△DFE中， E-PR△ACB≌RADFE(HI),AC=DP,AC-AF=DF -AF,即AD=CF。3.D4.B5.(1)AB=DCHL(2)AC=DB HL(3)∠ABC=∠DCB AAS(4)∠ACB=∠OBC AAS6.8或16 7.D8.49.1210.证明：AD⊥BD,AC⊥BC,∴.∠ADB=∠ACB= QO°，在R△ADB和R△BCA中ABC:R△ADB≌RI△BCA(H ∴.∠DAB=∠CBA。,CE⊥AB,DF⊥AB,∴.∠DFA=∠CEB=90°。在 「∠DAF=∠CBE, △ADF和△BCE中，/AFD=/BEC,∴.△ADF≌△BCE(AAS)。..CE LAD-BC. =DF。11.解：(1)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,则 ∠MPN=360°-∠VOM-∠ONP-∠PMO=90°，∠PMA=∠PNB= 90°。：P(2,2),∴.PM=PN=2。在Rt△AMP和Rt△BNP中， PA-PR△AMP≌R△BNP(H).∠APM=∠BPN。 ∴.∠APB=∠APM+∠BPM=∠BPN+∠BPM=∠MPN=90°。∴.PA ⊥PB。(2)(0,-4)。(3)OA-OB=(OM+MA)-(BN-ON)=OM+ON= 4。(4)OA+OB=4.。 ▣ 图① 图② 17