1.2 课时3 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·八年级数学·北师版·下册 课时3等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 《基础巩固练> [答案P3] 知识点①等边三角形的判定 A.BD=BC (海南三亚期末)下列四个说法中，正确的有 B.BD-Bc C.BD-8C D.BD=1 5 Bc ①三个角都相等的三角形是等边三角形： ②有两个角等于60°的三角形是等边三角形； ③有一个角是60的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. A.0个B.1个C.2个 D.3个 5题图 6题图 2如图，池塘旁边有一条笔直的小 6如图，在△ABC中∠A:∠B:∠BCA=1:2:3, 路BC和一棵小树A.测得的相关 CD⊥AB于点D,AB=12,则DB等于（) 数据如下：∠ABC=60°，∠ACB ·池塘、 A.3 B.4 C.6 D.9 =60°，BC=48m.由上述数据可 7(福建龙岩期中)等腰三角形的底角是15°，腰长 知AC= m. 2题图 为10，则其腰上的高为 () 3(福建泉州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D A.8 B.7 C.5 D.4 为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E, ⑧中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域 F,且∠ADE=∠CDF.求证：△ABC是等边三 的学术盛会.在“自动化立体库”中有许多几何 角形. 元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图 所示，它的顶角为120°，腰长为12m,则腰上的 高是 3题图 B 8题图 ⑨（福建福州期末）如图①所示的是某超市入口的 双翼闸门，当它的双翼展开时，示意图如图②所 示，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm, 双翼的边缘AC=BD=54cm,且与闸机箱的夹角 ∠PCA=∠BDQ=30°.求当双翼收起时，可以通 知跟息②含有30°角的直角三角形的性质 过闸机的物体的最大宽度. 4一个含30°角的三角尺ABC如图①所示，用两个 完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图② 所示的等边三角形.若BC=6,则AB=( 甲 D闸机 箱 9题图① 9题图② 4题图① 4题图② A.3 B.63 C.12 D.9 5(教材母题变式)如图，在△ABC中，∠BAC= 90°，∠C=30°，AD⊥BC,垂足为D,则BD与BC 的数量关系是 10 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第一章三角形的证明及其应用 《能力提升练 [答案3] ①如图，E是等边三角形ABC的边AC上的点，点④（福建中考改编）如图，△ABC是等边三角形，D D满足∠1=∠2，BE=CD,则△ADE的形状是 是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,BE LAC,垂足 ( 为H,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知 A.等腰三角形 B.等边三角形 EF过点A,BE交CD于点G C.不等边三角形 D.无法确定 (1)求∠DCE的大小； (2)求证：△CEG是等边三角形 B 1题图 2题图 2如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的 4题图 速度向南偏西40°的方向行驶，上午10时到达B 地，再由B地向北偏西20°的方向行驶50海里 到达C地，则A,C两地相距 A.30海里 B.40海里 C.50海里 D.60海里 3(陕西西安期末)如图，在△ACD中，∠ACD= 90°，∠A=30°，AC=b,CD=a,以点C为圆心， CD的长为半径画弧，交斜边AD于点B,AB=c, 则下列说法正确的是 (请填写序号) ①△BCD是等边三角形； ②a+c<b; ③a=c; ④b=2a. 3题图 微专题2巧用特珠角构造含30°角的直角三角形 1(陕西西安期中)如图，在边长为10的等边三2如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AC 角形ABC中，点M在边AB的延长线上，点N 的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,DE 在边AC上，且MN=MC.若AM=16,则CN的 =2,则BC的长为 长为 120° A⊥30° B 2题图 3题图 md 3如图，在四边形ABCD中，AD=8,BC=2,∠B 1题图 A.3 B.4 C.5 D.6 =90°，∠A=30°，∠ADC=120°，则CD的长 为 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 11易证∠D+∠DAB=∠ABF, LD=2DAB-7ZABF-7a AB=AC,AE⊥BC, ∠BMB=宁∠BMC= 1 .∠DAB=∠BAE. 又：BH⊥AD,AE⊥BC,∴.△ABH≌△ABE, BM=BE,BM=之BC 课时2等腰三角形的判定与反证法 【基础巩固练】 1.C2.B3.D4.200 5.证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴.∠B+∠C=90° 又.∠BAD=2∠C, .∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C, 即∠B=∠C+∠DAC. ∠ADB=∠C+∠DAC,.∠B=∠ADB,∴AD=AB. 6.证明：(I)BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,.BC=EF 在△ABC和△DEF中， AB DE, ∠B=∠E,.△ABC≌△DEF(SAS),.∠GCF=∠GFC, LBC=EF, .GF=GC,.△GFC是等腰三角形. (2)由(1)可知△ABC≌△DEF,∠GCF=∠GFC,GF=GC, .'..AC DF,..AC-GC=DF-GF, ∴.AG=DG,∴.∠ADG=∠DAG .'∠AGD=∠FGC且∠GCF=∠GFC, .180°-2∠DAG=180°-2∠GCF, ∴.∠DAG=∠GCF,.AD∥BE. 7.B8.C9.③④①② 【能力提升练】 1.C 28 [解析].CD平分∠ACB,.∠BCD=∠ECD.BE⊥ CD,.∠BDC=∠EDC=90°，又CD=CD,.△BDC≌ △EDC,.BC=CE=4,BD=DE.∠A=∠ABE,∴.AE= BE.AC=7,CE=4,..AE=AC-CE=3,..BE =AE=3, BD=BE=子 3 3.30°或120°或150° 4.(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G, .∴.∠DCG+∠CDG=90° 1 .·CB=CD,∴.∠BCG=∠DCG= ∠BCD. F BF⊥CD于点E, .∴.∠ABF+∠CDG=90°， E A D G LABF-LDCG=LBCD. 4题答图 (2)解：△BCF是等腰三角形.理由如下： .∠A=45°，CG⊥AB,∴.∠ACG=45° 参考答案及解析 ·∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, ∴.∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF :∠BCG=∠DCG=∠ABF,.∠BCF=∠BFC, ∴.BC=BF,.△BCF是等腰三角形. 微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 1.122.53.5 课时3等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 【基础巩固练】 1.D2.48 3.证明：AB=AC,.∠B=∠C. D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, ..AD=CD,∠AED=∠CFD=90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中，∠ADE=∠CDF, ∠AED=∠DFC,AD=CD, ∴.Rt△AED≌Rt△CFD,.∠A=∠C, .∠A=∠B=∠C,.△ABC是等边三角形. 4.C5.C6.A7.C8.63m 9.解：如答图，过点A作AE⊥CP于 点E,过点B作BF⊥DQ于点F. 在Rt△ACE中， ∠ECA=30°，AC=54cm, 闸机C D闸机 Ac=分4c=分x54=27(em)， 9题答图 同理可得BF=27cm :当双翼展开时，点A与点B之间的距离为10cm, .∴.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为27+ 10+27=64(cm) 【能力稷升练】 1,B[解析]：△ABC为等边三角形，.AB=AC,∠BAC= 60°.在△ABE和△ACD中，AB=AC,∠1=∠2，BE=CD, .△ABE≌△ACD,.AE=AD,∠CAD=LBAE=60°， ∴.△ADE是等边三角形. 2.C3.①③ 4.(1)解：：△ABC是等边三角形，，∠ACB=60. D是AB的中点， ÷∠DCB=∠DCA=7LACB=×60°=30， .CE⊥BC,∴.∠BCE=90°， .∠DCE=∠BCE-∠DCB=60° (2)证明：由平移可知CD∥EF, .∠EAC=∠DCA=30°. 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， .∴∠EAC=∠ECA,.AE=CE,∠AEC=120. 又.AB=CB,.BE⊥AC,.AH=CH,.△AHE≌△CHE, LGBC=号∠ABC=7x120°=600 由(1)知∠GCE=60°，∴∠EGC=60°， .∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC,∴.△CEG是等边三角形. ·3… 同步练测·八年级数学·北师版·下册 微专题2巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 1.B2.123.4 专题1分类讨论思想在等腰三角形中的应用 1.解：①当底边长为6，腰长为7时，符合三角形三边关系，周 长为6+7+7=20： ②当底边长为7，腰长为6时，符合三角形三边关系，周长为 7+6+6=19. 综上所述，这个三角形的周长为19或20. 2.40°，55°或70°[解析]：△ABC的一个外角为110°，与 其相邻的内角为70°，若70°的角为顶角，当∠B为顶角时， ∠B=70°，当∠B为底角时，∠B=55°；若70°的角为底角， 当∠B为顶角时，∠B=40°，当∠B为底角时，∠B=70°.综 上，∠B的度数是40°，55°或70°. 3.解：设这个角的度数为x, 当这个角为底角时，由三角形内角和定理可知顶角为 180°-2x, 根据题意，得x=2(180°-2x),解得x=72°； 当这个角为顶角时，则底角为18。兰 根据题意，得x=2(180,)解得x=90, 则底角的度数为180-x=45. 2 综上所述，底角为72°或45°. 4.C[解析]如答图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°， .∠ACB=180°-75-30°=75°.当∠CAP=∠CPA时，即 满足条件的，点为P1,P2,△CAP为等腰三角形；当∠BAP= ∠APB时，即满足条件的点为P3,P4,△BAP为等腰三角 形；当∠ABP=∠BAP时，即满足条件的，点为P,,△BAP为 等腰三角形；当∠CAP=∠ACP时，即满足条件的点为P6, △ACP为等腰三角形；当P与C重合时，即满足条件的，点为 P7,△APB为等腰三角形；当P与B重合时，即满足条件的 点为Pg,△ACP为等腰三角形.综上，满足条件的，点P的位 置有8个 P。PEBP)CE)PPE 4题答图 5.142°或100°[解析]在 △ABC中，：AB=AC,∠B= 50°，.∠BAC=180°-50°- 50°=80°.由题意，知△EDP G H P 只能是以DE为腰的等腰三角 B 形.如答图，过点D作DG⊥AB D 于点G,DH⊥AC于点H.,AB 5题答图 =AC,D为BC的中点，∴.AD平分∠BAC,∴.DG=DH.在AC 上取两点P1,P2,使P1H=P2H=EG,如答图，易得△DEG ≌△DPH≌△DP2H,.DE=DP,=DP2.①当点P在P1 。4… 的位置时，∠AP1D=∠AED=69°，.∠EDP1=360°- 69°-69°-80°=142°；②当点P在P2的位置时，∠EDG= ∠P2DH,∴.∠EDP2=∠GDH=360°-90°-90°-80°= 100°.综上，∠EDP的度数为142°或100°. 6.解：当等腰三角形为锐角三角形时，如答图①， BD⊥AC于点D,则∠ABD=40°，∠ADB=90°， ∴∠A=90°-∠ABD=50°，∴.∠C=∠ABC=65; 当等腰三角形为钝角三角形时，如答图②， BD⊥AC于点D,则∠ABD=40°，∠ADB=90°， .∴.∠BAD=90°-∠ABD=50°， .∠CAB=130°，.∠C=∠ABC=25°. 综上所述，该等腰三角形的底角度数为25°或65°， C B B 6题答图① 6题答图② 7.解：当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB,交BC于点D,如 答图①所示. .AB=AD,AH⊥BC,∠ABH=70° ∴.∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH. AB BH=CH,CD+DH=CH,..AB=CD=AD, LC-LCAD-LADB-35 ∴.∠BAC=180°-∠ABH-∠C=75°； 当∠ABC为钝角时，如答图②所示. AB +BH=CH,BC+BH=CH,..AB =BC. 又：LABH=70,∠BAC=LACB=号∠ABH=350 综上所述，∠BAC的度数为75°或35°. BH D “iB C 7题答图① 7题答图② 专题2构造等腰三角形的常用方法 1.证明：(1)如答图，连接AD. AB=AC,D为BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C 又∠BAC=90°， .∠B=LC=∠BAD=∠CMD=45°， ∴.AD=BD E 在△BED和△AFD中， B BE=AF, O ∠B=∠DAF 1题答图 BD=AD, .△BED≌△AFD(SAS),∴ED=FD. (2)△BED≌△AFD,∴.∠BDE=∠ADF, .∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°， .∠EDF=90°，∴.ED⊥DF.