1.2 课时1 等腰三角形的性质和等边三角形的性质-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·八年级数学·北师版·下册 2等腰三角形 课时1等腰三角形的性质和等边三角形的性质 《基础巩固练一 [答案P2] 知识点（①等腰三角形的性质定理 ⑦如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC于点D,E 1①已知等腰三角形顶角的度数是30°，则底角的度 是AC上一点，连接DE,已知DE=AE.求证：DE 数是 ∥AB. A.60° B.65° C.70° D.75° 2如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=70°，0是△ABC 内一点，且∠OBC=∠0OCA,则∠BOC的度数为 D 7题图 A.140°B.110° C.125°D.115° 知织点③等边三角形的性质 8如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上， 540 ∠DBC=35°，则∠ADB的度数为 B A.105° B.100°C.95° D.859 2题图 3题图 3如图，直线1∥12，点A在直线11上，以点A为圆 心，适当的长为半径画弧，分别交直线1,2于 B,C两点，连接AC,BC.若∠ABC=54°，则∠1 的度数为 8题图 9题图 A.36° B.54° C.72° D.73° 9(甘肃张掖期中)如图，P是等边△ABC的边BC 如限点⑧等腰三角形的“三线合一” 上任意一点，PE⊥AB,PF⊥AC,点E,F为垂足， 4如图，△ABC的周长是20cm,AB=AC=7cm,AD 则∠EPF=」 平分∠BAC交BC于点D,则BD的长为() 0(广东佛山期中)如图，在等边三角形ABC中， A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm D,E分别是边AB,AC上的点，连接BE,CD,BE 与CD交于点O,BD=AE. (1)求证：BE=CD; (2)求∠E0C的度数， D D 4题图 5题图 5(扬州中考)在如图的房屋人字梁架中，AB= AC,点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC 10题图 的是 A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 6(教材母题变式)如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC,垂足为D,E是AD上一点， DE=BD,∠ABC=70°，则∠ACE的 度数为 ( A.25° B.27° C.18° D.36° 6题图 6 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第一章三角形的证明及其应用 《能力提升练 [答案2] 1如图，在等边三角形ABC中，AB=4,D是边BC 6[核心素养]△ABC是等腰三角形，AB=AC.设 上一点，且∠BAD=30°，则CD的长为（) ∠BAC=a. A.1 C.2 D.3 (1)如图①，点D在线段AB上，若∠ACD+ ∠BAC=45°.求∠DCB的度数（用含a的代 数式表示)； (2)如图②，已知AB=AC=BD.若∠ABD+ ∠BAC=180°，过点B作BH⊥AD于点H.求 证：B册=8C D 1题图 2题图 2如图，△ABC中，AB=AC,△DEF为等边三角 形，则∠a,∠B,∠y之间的关系为 A.2∠B=∠a+∠yB.2La=∠B+∠y C.2∠B=∠a-∠yD.2∠a=∠B-∠y 6题图① 6题图② 3如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC 上，AE=AD,则∠EDC等于 A.15°B.20° C.25° D.30° 3题图 4题图 4如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D为BC 延长线上一点，EC⊥AC且AC=CE,垂足为C, 连接BE.若BC=6,则△BCE的面积为 5如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BD =CD,延长BD交AC于点E.若∠BDC=94°，求 ∠ADE的度数. 5题图 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩同步练测·八年级数学·北师版·下册 10.解：(1)张明的说法不正确.理由如下： 2等腰三角形 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为 课时1等腰三角形的性质和等边三角形的性质 (n-2)·180°， 【基础巩固练】 即任意多边形的内角和一定能被180°整除 1.D2.C3.C4.B5.B6.A 945°不能被180整除，∴.张明的说法不正确. 7.证明：AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平分∠BAC, (2)设这个正多边形的边数为n,剪去的内角为x°， .∠BAD=∠CAD..DE=AE,.∠CAD=∠ADE 根据题意，得(n-2)·180=x+945, .∠BAD=∠ADE,∴.DE∥AB. .x=180n-1305. 8.C9.120° .0<x<180,7.25<n<8.25. 10.(1)证明：在△ABE和△BCD中， n为整数，.这个正多边形为正八边形. AE BD, 如答图，将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数 ∠A=∠DBC,∴.△ABE≌△BCD(SAS),∴.BE=CD. 增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或 AB=BC. 7,即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形 (2)解：：△ABC是等边三角形，.∠ABC=60° :△ABE≌△BCD,.∠ABE=∠BCD, ∴.∠EOC=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠ABC =600. 【能力提升练】 1.c 10题答图 2.B[解析]如答图，AB=AC,∴.∠B=∠C, 课时4多边形的外角和 ∴.∠2+∠y=∠1+∠a, 【基础巩固练】 .∠2-∠1=∠a-∠y 1.B2.C ·△DEF是等边三角形， 3.A[解析]由多边形外角和等于360°，得∠1+∠2+∠3+ .∠4=∠3=60°， ∠4+∠5=360°.，∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°， .∠2+∠a=∠1+∠B=120°， .∠5=360°-∠1-∠2-∠3-∠4=360°-75°-75° ∴.∠2-∠1=∠B-∠a, 65°-65°=80°. ∴.∠a-∠y=LB-∠a, 2题答图 4.A5.D6.C7.B .2∠a=∠B+∠Y.故选B. 8.C[解析]正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°，所 3.A[解析]：△ABC为等边三角形，∴，∠BAC=∠C=60 以每个内角的度数为720°÷6=120°，所以∠ACB=120° :AD是等边三角形ABC的中线，LCAD= 2∠BAC= 80°=40°，所以∠BAC=180°-40°-80°=60°，所以用n个 △ABC纸片按题图②的方法拼接得到外轮廓图案的每个外 30,AD1BC.AD=AE,LADE=子(180°-30)= 角度数为180°-60°-80°=40.因为360 40° =9,所以得到外 75°，∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=15. 轮廓的图案是正九边形.故选C. 4.9 9.解：(1)设这个多边形的边数为n, 5.解：如答图，延长AD交BC于点F. 根据题意，得(n-2)×180°=360°×3+180°，解得n=9, AB=AC,AD平分∠BAC,.AF⊥BC 所以这个多边形的边数为9. ,BD=CD,DF⊥BC,.DF平分∠BDC, (2)设这个多边形一个内角的度数为9x,则一个外角的度 ∠BDF=∠CDF=子LBDC=47, 数为2x. ∴.∠ADE=∠BDF=47. 根据题意，得9x+2x=180°，解得x=180°， 5题答图 11: 6.(1)解：：AB=AC,∠BAC=a 1 360°÷(2×留）=1，所以这个多边形的边数为1山 LACB=∠B=7(180-a)=90-7a 10.解：如答图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+ LACD+∠BAC=45°，LACD=45°-a, ∠H=(∠A+∠H)+(∠B+∠C)+(∠D+∠E)+(∠F .∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°- +∠G)=∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 7a-(45°-） H 45°+号 1 RP4 (2)证明：如答图，延长DB交AC于点F, 过点A作AE⊥BC于点E. 2Q3 ∠ABD+∠BAC=180° B<P 一E ∠ABD+∠ABF=180°. .∠BAC=∠ABF=a 10题答图 ,AB=BD,∴.∠D=∠DAB. 6题答图 ·2 参考答案及解析 易证∠D+∠DAB=∠ABF, .·∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, ∠D=LDAB=2∠ABF=2 1 1 ∴，∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF .·∠BCG=∠DCG=∠ABF,.∠BCF=∠BFC ,AB=AC,AE⊥BC, ∴.BC=BF,.△BCF是等腰三角形. ∠BME=7LBMC=之a,B服=8C, 微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 ,∠DAB=∠BAE. 1.122.53.5 又.BH⊥AD,AE⊥BC,∴.△ABH≌△ABE, 课时3等边三角形的判定与含30°角的 B服=BB,B服=BC 直角三角形的性质 课时2等腰三角形的判定与反证法 【基础巩固练】 1.D2.48 【基础巩固练】 3.证明：AB=AC,∠B=∠C. 1.C2.B3.D4.200 ,D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC 5.证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，.∠B+∠C=90 .AD=CD,∠AED=∠CFD=90°. 又，∠BAD=2∠C, 在Rt△AED和Rt△CFD中，∠ADE=∠CDF, .∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C, ∠AED=∠DFC,AD=CD, 即∠B=∠C+∠DAC. .Rt△AED≌Rt△CFD,∴.∠A=∠C, ,·∠ADB=∠C+∠DAC,.∠B=∠ADB,.AD=AB. .∠A=∠B=∠C,.△ABC是等边三角形 6.证明：(1)，BF=EC,.BF+FC=EC+CF,.BC=EF 4.C5.C6.A7.C8.63m 在△ABC和△DEF中， rAB=DE, 9.解：如答图，过点A作AE⊥CP于 ∠B=∠E,.△ABC≌△DEF(SAS),.∠GCF=∠GFC, 点E,过点B作BF⊥DQ于点F. BC=EF, 在Rt△ACE中， ∴.GF=GC,∴，△GFC是等腰三角形 ∠ECA=30°，AC=54cm, (2)由(1)可知△ABC≌△DEF,∠GCF=∠GFC,GF=GC, ∴B=24C=7x54=27(cm), 9题答图 .AC=DF,..AC-GC DF-GF, 同理可得BF=27cm. ,∴.AG=DG,.∠ADG=∠DAG :当双翼展开时，点A与点B之间的距离为10cm, ,:∠AGD=∠FGC且∠GCF=∠GFC, ∴.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为27+ .180°-2∠DAG=180°-2∠GCF, 10+27=64(cm). ∴.∠DAG=∠GCF,∴.AD∥BE. 7.B8.C9.③④①② 【能力提升练】 1.B[解析].△ABC为等边三角形，.AB=AC,∠BAC= 【能力提升练】 60°.在△ABE和△ACD中，AB=AC,∠1=∠2，BE=CD, 1.C .△ABE≌△ACD,.AE=AD,∠CAD=∠BAE=60°， 2 [解析]：CD平分∠ACB,∴.∠BCD=∠ECD.BE⊥ .△ADE是等边三角形 CD,∴.∠BDC=∠EDC=90°.文.CD=CD,.∴△BDC≌ 2.C3.①③ △EDC,∴.BC=CE=4,BD=DE.,∠A=∠ABE,∴.AE= 4.(1)解：：△ABC是等边三角形，，∠ACB=60°. BE..AC=7,CE =4,.'.AE AC CE =3,.'.BE =AE=3, D是AB的中点， LDCB=LDCA=2∠ACB= 2×60°=30 3.30或120°或150 ,CE LBC,∴.∠BCE=90°， 4.(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G, .∠DCE=∠BCE-∠DCB=60 .∠DCG+∠CDG=90 (2)证明：由平移可知CD∥EF, .·CB=CD,∠BCG=∠DCG= ∴.∠EAC=∠DCA=30°， 2∠BCD. 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， F BF⊥CD于点E, ∴，∠EAC=∠ECA,.AE=CE,∠AEC=120°. .∠ABF+∠CDG=90° 又AB=CB,.BE⊥AC,.AH=CH,∴.△AHE≌△CHE, ·∠ABF=∠DCG=2LBCD, 4题答图 ∠cEC=号∠ABC=7×120°=60 (2)解：△BCF是等腰三角形.理由如下： 由(1)知∠GCE=60°，∴.∠EGC=60°， ∠A=45°，CG⊥AB,.∠ACG=45° .∠GEC=∠GCE=∠EGCC,.△CEG是等边三角形. ·3