1.2 第1课时 等腰三角形的性质和等边三角形的特殊性质-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

等 @第1课时 等腰三角形的！ ①基础在线 、知识要点分类练 …● 知识点1等边对等角 1.(中考·湖南)等腰三角形的一个底角为40°， 则它的顶角的度数是 2.如图，已知EF∥CD,BC=DC,∠ABF=30°， 则∠D的度数为 A.50° B.75° C.100° D.65° 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=32°，以点 B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D, 连接BD,则∠ABD的度数是 () A.42°B.45 C.40 D.35 知识点2等腰三角形中的“三线合一” 4.(教材P15随堂练习T1变式)（厦门期中）如 图，在△ABC中，AB=AC=13,AD平分 ∠BAC,若BD=5,则BC= () A.5 B.6 C.10 D.13 D B E 第4题图 第5题图 5.(莆田期末)如图，某校实践小组为了让旗杆垂 直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE 上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳 AB与AC,当固定点B,C到旗杆脚E的距离 相等，且B,E,C三点在同一直线上时，旗杆 DE⊥BC.这种操作方法的依据是() 7探究在线八年级数学（下）·BS 腰三角形 性质和等边三角形的特殊性质 A.等角对等边 B.垂线段最短 C.等腰三角形“三线合一” D.三角形两边的和大于第三边 6.(南宁期末)如图，屋顶钢架外框是等腰三角 形，立柱AD⊥BC,若∠BAD=55°，则∠CAD B D C 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中 点，点E在AC上，且AD=AE,若∠CAD= 30°，求∠EDC的度数. 知识点3等边三角形的特殊性质 8.(沈阳阶段练习)如图，△ABC是等边三角形， E为BC上一点，在AB上取一点D,使AD= AE,且∠AED=65°，则∠EAC的度数是() A.10°B.20° C.15° D.5° 0 第8题图 第9题图 9.如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC 于点D,则AD的长为 () A.3 B.6 C.32 D.33 10.如图，直线AB∥CD,等边三角形EFG的顶 点E刚好落在AB上，FG与CD交于点H. 已知∠1=140°，则∠2= () A -B C 一D H A.110° B.120°C.130° D.100° 11.已知：如图，在等边三角形ABC中，D为BC 延长线上的一点，E为CA延长线上的一点， 且AE=CD.求证：AD=BE. ②能力在线》方法规律综合集 12.“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉.前度桃 花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋 色，迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁 招鹤共翱翔.”其中“一亭”指的是具有一座悠 久历史的古典园林建筑—“爱晚亭”.如图， “爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形ABC, AB=AC,D是BC边上的一点.下列条件不 能说明AD是△ABC的角平分线的是() A.∠DAB=∠DAC B.∠ADB=∠ADC C.BC=2AD D.△ABD与△ACD的周长相等 13.(中考·凉山)如图，AB=AC,AE=AD,点 E在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°， 则∠ABC的度数为 () A.56°B.60° C.62° D.64° 第13题图 第14题图 14.(揭阳期中)如图，在△ABC中，AB=AC,点 E在BC边上，在线段AC的延长线上取点 D,使得CD=CE,连接DE,CF是△CDE的 中线，若∠FCE=52°，则∠A的度数为 15.已知：如图，E是等边三角形ABC内一点，且 EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC, BE平分∠DBC. (1)求证：△DBE≌△CBE; (2)求∠BDE的度数. 3拓展在线 》培优拔尖提升练 16.如图，△ABC是等边三角形，动点D从点B 出发，沿BA方向运动到终点A,以CD为边 向上作等边三角形CDE,连接AE.在整个运 动过程中，阴影部分面积的变化情况是() A.一直减小 B.一直不变 C.先减小后增大 D.先增大后减小 第一章8温警提示：清做完后再看答案！ 又：∠4=∠1+∠2，.∠3+∠4=90°. 又.PG⊥BC,∴.∠3+∠5=90°.∴.∠4=∠5. 即∠BPD=∠CPG. 参考答案 拓展在线 13.(1)∠ABC=∠A+∠ADC+∠C. 证明：如图①，连接DB,并延长至点E, 第一章三角形的证明及其应用 :∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE, 1三角形内角和定理 ,'∠ABC=∠ABE+∠CBE, 第1课时三角形内角和定理和全等三角形 .∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C 基础在线 ∴.∠ABC-=∠A+∠ADC+∠C. 1.两直线平行，内错角相等∠5平角定义等量代换 (2)【类比探究】如图②，连接CF, 2.B3.D4.B 由(1)可知，∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E十 5.∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE或AB=DE) ∠EFC+∠DCF, 6.在△AOC和△BOD中， ∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°， ∠C=∠D, ∴.150°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+ ∠AOC=∠BOD, ∠DCF AC=BD, ∴.150°=90°+∠AFC+∠EFC.∴.∠AFE=60° .∴.△AOC≌△BOD(AAS). 【拓展延伸】100 能力在线 7.C8.B9.A10.26°11.20°或60° 12.∠BCE=∠2， .∠BCE+∠ECA=∠2+∠ECA, 图① 图② 即∠BCA=∠ECD. 在△ABC和△DEC中， 第3课时 多边形的内角和 BC=EC. 基础在线 ∠BCA=∠ECD, 1.C2.2053.B4.B5.36 LAC=DC, 能力在线 6.B7.458.79.2 .∴.△ABC≌△DEC(SAS).∴.∠A=∠D. ∠3=∠4， 拓展在线 .∠1=∠2. 10.(1)(2)(3)如图所示.（答案不唯一） 13.(1)证明：，BD⊥CD于点D,EF⊥CD于点F. .∠BDC=∠EFC=90° .BD∥EF..∠3=∠2 :∠1=∠2，∠1=∠3.∴AD∥BC 图① 图② (2),∠1=∠2=(3x-20)°，∠BEF=(5x+40)°， (4)11或12或13 又.∠2+∠BEF=180°， 第4课时 多边形的外角和 ∴.3x-20+5x+40=180. 基础在线 解得x=20. 1.C2.B3.B4.10 .∴.∠2=(3X20-20)°=40°. 能力在线 又EF⊥CD,.∠CFE=90° 5.A6.D7.D8.45°9.120 .∠BCD=180°-∠CFE-∠2=50°. 拓展在线 拓展在线 10.(1)关系是∠1+∠2=∠3+∠4.理由如下： 14.36 ∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角， 第2课时三角形内角和定理的推论 ∴.∠3+∠4+∠5+∠6=360. ∴.∠3+∠4=360°-（∠5+∠6）. 基础在线 1.D2.D3.C4.40 :∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， .∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）. 5..∠A=60°，∠ACD=25 .∠1+∠2=∠3+∠4. ∴.∠BDC=∠A+∠ACD=85° ∠ABE=35°， (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两 .∠BOC=∠BDC+∠ABE=120° 个内角的和. (3)609 6.∠1<∠2<∠3 能力在线 2等腰三角形 7.B8.D9.A10.40 第1课时 等腰三角形的性质和等边三角形的特殊性质 11.(1)如图所示. 基础在线 (2)①∠EAD=∠CAD ②∠AED 1.100°2.B3.A4.C5.C6.55 ③∠B④大 7.'AB=AC,AD=AE,.∠B=∠C,∠ADE=∠AED 12.∠BPD=∠CPG.理由如下： :D为BC的中点，∴AD⊥BC,即∠ADC=90°. .'AD,BE,CF分别是∠BAC,∠ABC,∠ACB的平分线， ∴∠ADE+∠CDE=90°. :∠2=Z∠BAC,∠1=∠ABC,∠3=∠ACB :∠CAD=80,∴∠ADB=号(180°-∠CAD)=75 ∴∠1+∠2+∠3=Z(∠AC+∠BAC+∠ACB)=90 ∠EDC=∠ADC-∠ADE=15° 8.A9.D10.D 一探究在线·八年 11..△ABC是等边三角形， ∴.AB=CA,∠BAC=∠ACB=60° ∴.∠EAB=∠DCA=120°. 在△EAB和△DCA中， :AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA, .△EAB≌△DCA(SAS)..AD=BE 能力在线 12.C13.C14.28° 15.(1)证明：：△ABC为等边三角形，BC=AC BD=AC,∴.BD=BC ,BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC. BE=BE,∴.△DBE≌△CBE(SAS) (2):△ABC为等边三角形，∴.BC=AC,∠ACB=60°. ,CE=CE,EA=EB,∴△CAE≌△CBE(SSS). .∠ACE=∠BCE. ,∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°， .∠ACE=∠BCE=30°. 由(1)知，△DBE≌△CBE, .∠BDE=∠BCE=30°. 拓展在线 16.B 第2课时等腰三角形的判定与反证法 基础在线 1.C2.23.等腰三角形 4.△ADB≌△ADC,∴∠BAD=∠CAD. .AB∥DE,.∠BAD=∠EDA..∠EDA=∠CAD AE=DE.∴.△ADE是等腰三角形 5.:等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上， .OB⊥AC,∠BAC=∠CBA=60° BD⊥AB,.∠ABD=90° ∴∠BDA=90°-∠BAC=90°-60°=30°，∠C ∠ABD-∠CBA=90°-60°=30. ∴∠BDA=∠CBD.∴BC=DC ∴△BCD是等腰三角形. 6.B7.(3)(4)(1)(2)8.B 能力在线 9.C10.B11.D12.3 13.(1)AB=AC,∠B=72°，.∠ACB=∠B=72° 由作图可知，CD是∠ACB的平分线， ·∠BCD=∠ACD=?∠ACB=36. (2)在△BCD中，由三角形内角和定理，得∠BDC -∠B-∠BCD=72°， ..∠BDC=∠B..CD=BC. 在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=36°. ∴.∠A=∠ACD.∴.AD=CD..AD=BC. BC=2.5,.AD=2.5. 14.(1)证明：如图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴.∠DCG+∠CDG=90. BC=DC, ÷LBCG=∠DcG=名∠BCD D ,BF⊥CD, ∴.∠ABF+∠CDG=90° ∠ABF=∠DCG=Z∠BCD, (2)△BCF是等腰三角形.理由如下： ∠A=45°，CG⊥AB,∴.∠ACG=45. ",'∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A十∠ABF ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. I∠BCG=∠DCG=∠ABF,∴∠BCF=∠BFC, ∴.BF=BC.∴△BCF是等腰三角形 级数学（下）·BS一 拓展在线 15.D 微专题1“三线合一”巧解题 1..AB=AC,ADLBC,BC=12, BD=2BC=号×12=6. 在Rt△ABD中，AB=10, .AD=√AB-BD=√10-6=8. :SAC=2BC·AD=2AC·BE :BE=BC,AD=12X8=9.6. AC 10 2.(1):∠AOD=∠COB,∠ADC=∠ABC,AD=BC, .△AOD≌△COB(AAS). .∠DAO=∠BCO,OA=OC .∠OAC=∠OCA. ∴.∠DAO+∠OAC=∠BCO+∠OCA, 即∠PAC=∠PCA.∴PA=PC. (2).PA=PC,AO=CO,PO=PO, .△APO≌△CPO(SSS). .∠APO=∠CPO,即PE平分∠APC ∴.PE⊥AC. 3.如图，过点A作AM⊥CD交CD于点M :AD=AC,.∠DAM=∠CAD. 1 ∠BAE=Z∠CAD, .∠DAM=∠BAE. CD∥AB,AM⊥CD,.∠BAM=90. .∠BAE+∠MAE=∠DAM+∠MAE=∠DAE=90°， 即AE⊥AD. BD= 4.连接AD, :AB=AC,D是BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD .∠ADB=∠ADC=90° ,'∠EAB=∠FAC ∴.∠EAB+∠BAD=∠FAC+∠CAD. 即∠DAE=∠DAF 在△AED和△AFD中， (AE=AF, ∠DAE=∠DAF LAD-AD. 180° .△AED≌△AFD(SAS)..∠ADE=∠ADF. ∴.∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF 即∠EDB=∠FDC. 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 基础在线 1.C2.C3.2 4.AD=AE,∠E=30°，∴.∠ADE=∠E=30° .∠BAC=∠E+∠ADE=60° G DF⊥BC,.∠EFC=90°..∠C=90°-∠E=60 ∴.∠B=180°-∠C-/BAC=180°-60°-60°=60° .∠BAC=∠B=∠C..△ABC为等边三角形 5.:△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠C=60° ,BD⊥AC,AE⊥BC, :CE-BC,CD-AC.:.CE-CD. :∠C=60°，.△CDE是等边三角形. 6.D7.C8.D 能力在线 9.B10.B11.A12.43-4 17