专题 1.3 整式与因式分解（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题1.3整式与因式分解（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一. 知识梳理 1 【知识点一】整式 1 【知识点二】因式分解 3 二.题型精析 4 【考点一】整式的有概念 4 【题型1】单项式与多项式 4 【题型2】同类项 4 【考点二】整式的运算性质 4 【题型3】幂的运算 4 【题型4】整式的加减运算 5 【题型5】整式的乘法运算 5 【题型6】平方差公式与完全平方公式 6 【题型7】整式运算的应用 6 【考点三】因式分解 7 【题型8】因式分解辨析 7 【题型9】因式分解 8 【题型10】因式分解的应用 8 三.中考真题专练 9 一、单选题（10题） 9 二、填空题（6题） 11 三、解答题（4题） 12 1. 知识梳理 【知识点一】整式 1.单项式：数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 2.多项式：几个单项式的代数和叫做多项式．即，多项式是由单项式相加或相减组成的． 3.整式：单项式和多项式统称整式． 4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减：整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除 ①幂的运算性质： ②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： ④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 平方差公式： 完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. ⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 【知识点二】因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法：平方差公式：； 完全平方公式： （3）十字相乘法： 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 二.题型精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】整式的有概念 【题型1】单项式与多项式 【★★例题1】（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则． 【★变式1】（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【★变式2】（2025·吉林长春·模拟预测）下列说法中，正确的是（） A．不是单项式 B．表示负数 C．的次数是2 D．不是多项式 【★★变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于的二次多项式，则的值为． 【题型2】同类项 【★★例题2】（2024·广东·模拟预测）已知与是同类项，则在平面直角坐标系中离原点的距离是． 【★变式1】（2024·广东·模拟预测）若与是同类项，则． 【★变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列单项式中，可以与合并的是（） A． B． C． D． 【★变式3】（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（） A． B．2 C．3 D．4 【考点二】整式的运算性质 【题型3】幂的运算 【★例题3】（2025·云南·模拟预测）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·广东清远·三模）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【★变式2】（2023·江苏盐城·一模）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【★变式3】（2025·四川雅安·二模）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【题型4】整式的加减运算 【★★例题4】（25-26七年级上·广东江门·期末）已知，． (1)若，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【★变式1】（2024·重庆·三模）若，则的值为（） A． B． C．3 D． 【★变式2】（2024·河北邯郸·模拟预测）若． (1)求多项式A； (2)判断多项式A的值是否是正数，并说明理由． 【★★变式3】（2025·浙江·模拟预测）已知． (1)求． (2)求当满足什么条件时，． 【题型5】整式的乘法运算 【★★例题5】（2025·江西·二模）下列运算结果等于的是（） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·河南新乡·模拟预测）计算： (1)； (2) 【★★变式3】（2025·辽宁抚顺·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【题型6】平方差公式与完全平方公式 【★★例题6】（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【★变式1】（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为． 【★变式2】（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【★★变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中， 【题型7】整式运算的应用 【★★例题7】（2024·安徽·模拟预测）将连续奇数1，3，5，7，9，…排列成如下的数表： (1)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和． (2)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【★★变式1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（） A． B． C． D． 【★★变式2】（2025·陕西咸阳·二模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则． 【★★变式3】（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为和． (1)正方形的边长______（用含的式子表示）； (2)比较______（填写“”“”或“”）； (3)若为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于吗？若可以，求出的值；若不可以，请说明理由． 【考点三】因式分解 【题型8】因式分解辨析 【★★例题8】（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（） A． B． C． D． 【★变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）若，则下列结论正确的是（） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【★变式2】（2025·安徽阜阳·一模）下列因式分解正确的是（） A． B． C． D． 【★★变式3】（23-24八年级上·四川广安·期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（） A． B． C． D． 【题型9】因式分解 【★★例题9】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测） （1）计算：． （2）分解因式： 【★变式1】（2025·黑龙江·一模）因式分解：． 【★变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模） （1）计算：； （2）分解因式：． 【★★变式3】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）因式分解 (1) (2)； (3) (4)． 【题型10】因式分解的应用 【★★例题10】（2025·江苏连云港·二模）将整式（）因式分解后的结果为，若括号内的式子记为A，则． 【★变式1】（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（） A．6 B．21 C． D． 【★变式2】（2025·四川南充·三模）将多项式分解因式为：，则（） A． B．8 C． D．6 【★★变式3】（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 三.中考真题专练 一、单选题（10题） 1．（2025·广西·中考真题）因式分解：（） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（） A． B． C． D． 4．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（） A． B． C． D． 5．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（） A． B． C． D． 6．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（） A． B． C． D． 7．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 8．（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（） A． B． C．2 D．3 9．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（） A．18 B．20 C．22 D．24 10．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（6题） 11．（2025·吉林长春·中考真题）写出的一个同类项：． 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式：． 13．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为． 14．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则． 15．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则． 16．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 三、解答题（4题） 17．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1)； (2)． 18．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 19．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 20．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3整式与因式分解（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一. 知识梳理 1 【知识点一】整式 1 【知识点二】因式分解 3 二.题型精析 4 【考点一】整式的有概念 4 【题型1】单项式与多项式 4 【题型2】同类项 5 【考点二】整式的运算性质 7 【题型3】幂的运算 7 【题型4】整式的加减运算 8 【题型5】整式的乘法运算 11 【题型6】平方差公式与完全平方公式 13 【题型7】整式运算的应用 15 【考点三】因式分解 18 【题型8】因式分解辨析 18 【题型9】因式分解 20 【题型10】因式分解的应用 23 三.中考真题专练 25 一、单选题（10题） 25 二、填空题（6题） 30 三、解答题（4题） 33 1. 知识梳理 【知识点一】整式 1.单项式：数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 2.多项式：几个单项式的代数和叫做多项式．即，多项式是由单项式相加或相减组成的． 3.整式：单项式和多项式统称整式． 4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减：整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除 ①幂的运算性质： ②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： ④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 平方差公式： 完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. ⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 【知识点二】因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法：平方差公式：； 完全平方公式： （3）十字相乘法： 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 二.题型精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】整式的有概念 【题型1】单项式与多项式 【★★例题1】（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 【★变式1】（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 【★变式2】（2025·吉林长春·模拟预测）下列说法中，正确的是（） A．不是单项式 B．表示负数 C．的次数是2 D．不是多项式 【答案】D 【分析】本题可根据单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，对每个选项进行判断．本题主要考查了单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：A.是单项式，故该选项不正确，不符合题意； B.不一定表示负数，故该选项不正确，不符合题意； C.的次数是，故该选项不正确，不符合题意； D.因为不是单项式，所以不是多项式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【★★变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于的二次多项式，则的值为． 【答案】或1或或0 【分析】已知是关于的二次多项式，那么是关于的二次多项式，需要对的系数和指数进行分情况讨论即可． 【详解】解：①当，即时，多项式为，符合题意； ②若，即， 当时，，多项式为，符合题意； 当时，，多项式为，符合题意； ③若，即， 当时，多项式为，符合题意． 综上所述，若是关于的二次多项式，则的值为或1或或0． 【点睛】此题主要考查了多项式的相关定义，能够正确得出的值是解题的关键． 【题型2】同类项 【★★例题2】（2024·广东·模拟预测）已知与是同类项，则在平面直角坐标系中离原点的距离是． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，二元一次方程组的求解，点到原点的距离，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据同类项，可得，解得，然后再计算其到原点的距离即可． 【详解】解：与是同类项， ， ， 为， 到原点的距离为， 故答案为：． 【★变式1】（2024·广东·模拟预测）若与是同类项，则． 【答案】1 【分析】本题考查根据同类项，求参数的值，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：1． 【★变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列单项式中，可以与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项与合并同类项．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此判断四个选项中哪一个与是同类项，即可以合并． 【详解】解：可以与合并的是， 故选：D． 【★变式3】（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此解答即可． 【详解】若与是同类项， 则， 故选：B． 【考点二】整式的运算性质 【题型3】幂的运算 【★例题3】（2025·云南·模拟预测）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了合并同类项，同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：无法合并，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意， 故选：D． 【★变式1】（2025·广东清远·三模）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等知识，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【★变式2】（2023·江苏盐城·一模）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的运算，根据指数运算的基本规则（同底数幂的乘法、除法、幂的乘方以及合并同类项），逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴A错误。 B、∵，∴B错误。 C、∵，∴C错误。 D、∵，∴D正确． 故选：D． 【★变式3】（2025·四川雅安·二模）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、不是同类项，无法合并，故本选项不合题意． 故选：B． 【题型4】整式的加减运算 【★★例题4】（25-26七年级上·广东江门·期末）已知，． (1)若，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的非负性； （1）根据去括号，合并同类项，化简成最简形式，再根据非负数的和为，每一个非负数都是，求出的值，最后可得答案； （2）根据多项式的值与无关，可得的系数等于零，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴． ∴ ． （2）解：∵的值与的值无关， ∴与的值无关， ∴，解得． 【★变式1】（2024·重庆·三模）若，则的值为（） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把代入进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D． 【★变式2】（2024·河北邯郸·模拟预测）若． (1)求多项式A； (2)判断多项式A的值是否是正数，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会是正数，理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，考查代数推理能力、运算能力．准确计算是正确解决本题的关键. （1）用表示和的多项式减去表示加数的多项式即可求出A； （2）将多项式A配方变形成完全平方式与常数和的形式即可判断． 【详解】（1）解： （2）解：多项式A的值不会是正数， 理由如下： A， ∴多项式A的值不会是正数． 【★★变式3】（2025·浙江·模拟预测）已知． (1)求． (2)求当满足什么条件时，． 【答案】(1) (2)当或5时， 【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程． （1）把代入，然后去括号合并同类项； （2）由得，然后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）由， 得． 化简，得． 解得， 当或5时，． 【题型5】整式的乘法运算 【★★例题5】（2025·江西·二模）下列运算结果等于的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，多项式除以单项式，积的乘方，单项式除以单项式，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别利用合并同类项，多项式除以单项式，积的乘方，单项式除以单项式，判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法计算，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D 【★变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故不符合题意； B、，原写法错误，故不符合题意； C、，写法正确，故符合题意； D、，原写法错误，故不符合题意； 故选：C． 【★变式2】（2025·河南新乡·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质，立方根的定义计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【★★变式3】（2025·辽宁抚顺·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）5；（2）； 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据负整数指数幂，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，是解题的关键； （2）根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 当时，原式． 【题型6】平方差公式与完全平方公式 【★★例题6】（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式，整式的运算法则化简，再将代入化简后的式子计算，即可解题． 【详解】解： ； 当时，原式． 【★变式1】（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为． 【答案】或． 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴中间项，即． 当时，，，解得； 当时，，，解得． 故答案为：或． 【★变式2】（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，合并同类项，完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握各知识点． 根据单项式乘以单项式运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及平方差公式分别判断各选项即可． 【详解】解：A、，而， ∴，故A错误； B、和不是同类项，不能合并为， ∴B错误； C、，而右边为， ∴C错误； D、，与右边相等， ∴D正确， 故选：D． 【★★变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键．先根据平方差公式，合并同类项，完全平方公式展开，正确化简，然后计算代数式的值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【题型7】整式运算的应用 【★★例题7】（2024·安徽·模拟预测）将连续奇数1，3，5，7，9，…排列成如下的数表： (1)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和． (2)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程分应用，找到相等关系是解题的关键． （1）设中间数为x，然后表示出十字框中的其他4个数分别为、、、，相加即可得解； （2）设中间的数为x，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间数为x，则另4个数分别为、、、， 所以十字框中五个数之和为； （2）解：设中间的数为x， 依题意可得：， 解得： 因为不是整数，与题目的a是奇数不符， 所以5数之和不能等于． 【★★变式1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 【★★变式2】（2025·陕西咸阳·二模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算．本题根据面积关系列式得到：，，然后得到，然后由，代入数据即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m、n， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为34， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【★★变式3】（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为和． (1)正方形的边长______（用含的式子表示）； (2)比较______（填写“”“”或“”）； (3)若为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于吗？若可以，求出的值；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)长方形与正方形的面积之和不可以等于，理由见解析 【分析】本题考查了正方形、长方形的性质，列代数式，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得正方形的边长，即可得到答案； （2）由得到，即可得到答案； （3）不可以，理由：设，得到，解得，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得正方形的边长， 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：； （3）解：长方形与正方形的面积之和不可以等于，理由如下， 设， ， ， 解得：， 为正整数， ∴长方形与正方形的面积之和不可以等于． 【考点三】因式分解 【题型8】因式分解辨析 【★★例题8】（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义得出即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． 【★变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）若，则下列结论正确的是（） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【答案】D 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 则， 原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式． 故选：D． 【★变式2】（2025·安徽阜阳·一模）下列因式分解正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握常见的因式分解法和定义成为解题的关键． 根据因式分解的定义、提公因式法、公式法、十字相乘法进行因式分解并判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意． 故选：A． 【★★变式3】（23-24八年级上·四川广安·期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟记因式分解的定义及方法是解决问题的关键． 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合即可得到答案． 【详解】解：A：右边出现分式，不是整式，不符合因式分解定义，不符合题意； B：右边是，为和的形式，不是积，不符合因式分解定义，不符合题意； C：右边是，为整式的积，符合因式分解定义，符合题意； D：右边是，为多项式，不是积的形式，是整式乘法，不符合因式分解定义，不符合题意； 故选：C． 【题型9】因式分解 【★★例题9】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测） （1）计算：． （2）分解因式： 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、负整数指数幂、分解因式等知识点，掌握常见的运算法则和方法是解题的关键． （1）先根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂、绝对值化简，然后再计算即可； （2）先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【★变式1】（2025·黑龙江·一模）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解等知识，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解，问题得解． 【详解】解：原式． 【★变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模） （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）-1 （2） 【分析】本题考查实数的混合运算，因式分解，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂运算法则，熟练记特殊角三角函数值，综合运用提公因式与公式法法分解因式是解题的关键． （1）先计算乘方，并化简绝对值、代入特殊角三角函数值不规则计算乘法，最后计算加减即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【★★变式3】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）因式分解 (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）根据平方差公式将原式化为，再根据平方差公式分解即可； （3）根据平方差公式分解因式，进而合并同类项即可； （4）将原式化为，分组分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型10】因式分解的应用 【★★例题10】（2025·江苏连云港·二模）将整式（）因式分解后的结果为，若括号内的式子记为A，则． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 根据多形式与多项式的乘法法则计算分解结果，与原多形式比较即可作答． 【详解】解：． ∵原整式为， ∴． 故答案为：． 【★变式1】（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（） A．6 B．21 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求出的值，得出，进而利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（取正值）， ∵ ， ∴； 故选：C． 【★变式2】（2025·四川南充·三模）将多项式分解因式为：，则（） A． B．8 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，将右边因式展开后与左边多项式对应系数比较，求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴； 故选D． 【★★变式3】（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析 (2)当时，y有最大值，最大值为 (3)见解析 【分析】此题考查了配方法的应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据题意利用配方法分解因式即可； （2）由配方法得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）利用配方法得到，即可证明结论． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 三.中考真题专练 一、单选题（10题） 1．（2025·广西·中考真题）因式分解：（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 2．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：, 故选：D． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 4．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 5．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得且，其中、为整数．列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为，，，，，，其中最大值为． 故选：C． 6．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 7．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 9．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 10．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 二、填空题（6题） 11．（2025·吉林长春·中考真题）写出的一个同类项：． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，含有相同的字母并且相同字母的指数也相同的项为同类项，据此进行作答即可． 【详解】解：是的一个同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 14．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 15．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则． 【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为：， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 16．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（4题） 17．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 19．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 20．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $