2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练专题 1.2 实数（学情检测卷）（全国通用）

专题 1.2 实数（学情检测卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·江西抚州·二模）的相反数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西忻州·三模）祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约1050000亿位．从最初的小数点后几位，到如今的小数点后1050000亿位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步．数据1050000亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）有理数、在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 5．（2025·甘肃武威·二模）数字，，π，，中是无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·云南文山·期中）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 9．（23-24六年级上·上海奉贤·期中）的倒数是 ． 10．（2025·重庆·一模）计算： ． 11．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 12．（20-21八年级上·四川眉山·月考）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 13．（2025·宁夏银川·二模）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为 ． 14．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 15．（25-26七年级上·山东德州·期中）把精确到得到的近似数是 ，近似数表示精确到 位． 16．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 17．（2025·青海·模拟预测）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子，那么，第8个图中的棋子数是 .    18．（2025·四川广元·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（2025·浙江·二模）计算： (1)． (2)． 20．（6分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）计算 (1) (2) 21.（6分）（2025·河北邢台·三模）已知四个数：． (1)直接用“”将这四个数连接起来； (2)从中任意选取两个数，设其中乘积最大的结果为，这四个数的和为，求的值． 22．（6分）（2025·河北邯郸·模拟预测）王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减后报给丙同学； 丙同学把接收到的数的二倍减，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： (1)若甲报的数为，则丙报的数是多少； (2)若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的最小整数是多少？ 23．（8分）（2025·河北·模拟预测）已知是最小的正整数，且，，满足． (1)请直接写出，，值：__________________． (2)图中，，所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在到之间运动，即时，请化简：． 24．（10分）（24-25七年级下·四川广元·期末）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 25．（10分）（2025·河北唐山·三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． (1)求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 26．（12分）（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.2 实数（学情检测卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·江西抚州·二模）的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值和相反数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先计算绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数算出的值，最后再求相反数． 【详解】解： ， ， 的相反数为， ∴的相反数为2025； 故选：B． 2．（2024·山西忻州·三模）祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约1050000亿位．从最初的小数点后几位，到如今的小数点后1050000亿位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步．数据1050000亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：亿， 故选：B． 3．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）有理数、在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴及有理数的运算符号的确定. 根据数轴可以判断、的正负和它们的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，，， 故选：D． 4．（2025·上海·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴2025的算术平方根是45； 故选：C． 5．（2025·甘肃武威·二模）数字，，π，，中是无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，求一个数的立方根，特殊角的三角函数值等整式，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数字，，π，，中，无理数有，π，，共3个， 故选：C． 6．（24-25七年级上·云南文山·期中）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入程序中计算得到结果，判断是否大于输出即可． 【详解】解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为． 故选：． 7．（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 8．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键． 根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 9．（23-24六年级上·上海奉贤·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 10．（2025·重庆·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，化简绝对值． 分别计算负整数指数幂和化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． 12．（20-21八年级上·四川眉山·月考）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【答案】4 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 13．（2025·宁夏银川·二模）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和数轴上两点间的距离，明确实数与数轴的关系、求出是关键． 先根据数轴上两点间的距离得到，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：因为、对应的实数分别为和1， 所以， 因为， 所以， 所以，即点所对应的数为； 故答案为：． 14．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解本题的关键．由，可得，再利用不等式的性质可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： ． 15．（25-26七年级上·山东德州·期中）把精确到得到的近似数是 ，近似数表示精确到 位． 【答案】 千 【分析】本题考查了求近似数，求精确度． 第一部分根据四舍五入法，将精确到（十分位），需看百分位数字；第二部分根据科学记数法近似数的有效数字，确定的精确位． 【详解】解：精确到：百分位数字为4，且，∴根据四舍五入法，舍去百分位及以后数字，得； 近似数：，有效数字为1、2、5，最后一位有效数字5位于千位，∴精确到千位． 故答案为：，千． 16．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 17．（2025·青海·模拟预测）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子，那么，第8个图中的棋子数是 .    【答案】27 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是观察图形，总结出变化的一般规律．根据图形，得出前面几个图形中棋子的个数，再总结出第n个图形的棋子个数为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第n个：， ∴第8个图中的棋子数是， 故答案为：27． 18．（2025·四川广元·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据虚数单位的幂运算规律，其幂值每次循环一次，因此将指数除以取余数进行计算． 【详解】解：，，，，， 幂值每次循环一次， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（2025·浙江·二模）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和算术平方根的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键． （1）利用绝对值的意义和有理数的乘方，运算法则解答即可； （2）利用负整数指数幂的意义和算术平方根的意义化简运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（6分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂，乘方，零次幂，二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简负整数指数幂，乘方，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算二次根式的加减运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 21.（6分）（2025·河北邢台·三模）已知四个数：． (1)直接用“”将这四个数连接起来； (2)从中任意选取两个数，设其中乘积最大的结果为，这四个数的和为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算、有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键． （1）根据有理数的大小比较法则：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数”，同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特别是两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，绝对值大的反而小，比较绝对值大小后，即可得出结论； （2）根据有理数运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：． （2）解：根据（1）可知， ， ． 22．（6分）（2025·河北邯郸·模拟预测）王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减后报给丙同学； 丙同学把接收到的数的二倍减，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： (1)若甲报的数为，则丙报的数是多少； (2)若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的最小整数是多少？ 【答案】(1)； (2)甲报的最小整数是． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据题意列出关于的不等式是解题的关键． （）按照游戏中的规则，将甲报的数为代入，然后依次进行计算即可解答； （）设甲报出的数为，根据运算顺序，列出不等式，解之取最小整数即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：甲报出的数为， 则， ， ∴甲报的最小整数是． 23．（8分）（2025·河北·模拟预测）已知是最小的正整数，且，，满足． (1)请直接写出，，值：__________________． (2)图中，，所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在到之间运动，即时，请化简：． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查非负性，化简绝对值，有理数与数轴，熟练掌握非负性，绝对值的意义，是解题的关键： （1）最小的正整数为1，求出，非负性求出即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）当时，； 当时，； 综上或． 24．（10分）（24-25七年级下·四川广元·期末）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把， ， 代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴； ∵是的整数部分，， ∴， ∴， 的平方根是． 25．（10分）（2025·河北唐山·三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． (1)求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 【答案】(1)B点表示的数是，数轴见解析 (2)或 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上中点的性质计算得出B点表示的数，表示在数轴上即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式计算得出E表示的数或，再分两种情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点， ∴B点表示的数是， 在图中标出点B、C的位置如图所示： （2）解：∵， ∴E表示的数是或， 当E表示的数是2时，A、B、C、D、E表示数的和为：； 当E表示的数是时，A、B、C、D、E表示的数的和为：． 26．（12分）（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $