专题 1.1 实数（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.1 实数（ 知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】实数的分类 2 【知识点二】实数的相关概念 2 【知识点三】实数与数轴 3 【知识点四】实数大小的比较 3 【知识点五】实数的运算 3 【知识点六】有效数字和科学记数法 4 二.题型精析 4 【考点一】实数的分类 4 【题型1】有理数的分类 4 【题型2】无理数的识别 6 【考点二】实数的相关概念 8 【题型3】相反数、绝对值、倒数 8 【题型4】平方根、立方根 10 【考点三】实数与数轴 12 【题型5】实数与数轴 12 【考点四】实数与大小比较 14 【题型6】比较实数的大小 14 【考点五】科学记数法与有效数字 16 【题型7】科学记数法 16 【题型8】有效数字 17 【考点六】实数的运算 18 【题型9】有理数的运算 19 【题型10】实数的运算 21 【考点七】与实数运算相关规律问题 23 【题型11】实数有关的规律探究 23 三. 中考真题专练 27 一、单选题（10题） 27 二、填空题（6题） 30 三、解答题（4题） 34 一.知识梳理 【知识点一】实数的分类 按定义分类 按性质分类 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． 有理数：无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 【知识点二】实数的相关概念 1.相反数 （1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为： （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 3.倒数 （1)实数的倒数是；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数. 4.平方根 （1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作． （2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作． 5.立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 【知识点三】实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 【知识点四】实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab. 4.对于实数a，b，c，若ab，bc，则ac. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果ab0，则 a2b2ab； 或利用倒数转化：如比较与. 【知识点五】实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 （1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数 【知识点六】有效数字和科学记数法 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 二.题型精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】实数的分类 【题型1】有理数的分类 【★★例题1】（2024九年级·河北·学业考试）如图所示，转盘被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，0， ， ． 随机转动转盘两次，转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（指针固定向上，当指针恰好指在分界线上时按指针左侧相邻区域算）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，无理数、有理数的区分，无理数是指无限不循环小数，有理数包括整数和分数．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得： 共有16种等可能的结果，两个数字都是有理数的有4种情况， 两个数字都是有理数的概率是． 故选：B． 【★变式1】（2024·江西·模拟预测）下列各数中，是有理数的是（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，明确分数和整数统称为有理数是解题的关键，据此即可解答． 【详解】解：A、是无限不循环小数，无法化为分数，不是有理数； B、是无限不循环小数，无法化为分数，不是有理数； C、是无限不循环小数，无法化为分数，不是有理数； D、是整数，是有理数． 故选：D 【★变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）下列有理数中，非负数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用乘方、有理数的乘法知识对各选项进行计算、辨别． 此题考查了非负数的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识和有理数的乘方、乘法知识． 【详解】解：，不是非负数， 选项A不符合题意； 是非负数， 选项B符合题意； ，不是非负数， 选项C不符合题意； ，不是非负数， 选项D不符合题意， 故选：B． 【★★变式3】（2024·上海嘉定·二模）下列实数中．属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数和分数统称有理数，计算判断即可． 本题考查了有理数，无理数的区别，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】A. 是有理数，符合题意；     B. 是无理数，不符合题意；     C. 是无理数，不符合题意；     D. 是无理数，不符合题意； 故选A． 【题型2】无理数的识别 【★★例题2】（2025·河北唐山·二模）从0，，，这四个数中任取两数，这两个数都是无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，用树状图和列表法求概率，先根据无理数的定义得出，为无理数，然后列出表格，根据表格信息求概率即． 【详解】解：无理数有：，， 列表如下： 0 0 一共有12种情况，四个数中任取两数，这两个数都是无理数的有，2种情况， 则从0，，，这四个数中任取两数，这两个数都是无理数的概率是， 故选：D 【★变式1】（2025·福建南平·模拟预测）下列实数中的无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，常见的无理数有开方开不尽的数、无限不循环小数、含有的数等，解题的关键是掌握无理数的常见形式．根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意； C、属于无理数，本选项符合题意； D、，是整数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意． 故选：C ． 【★变式2】（2024·广东·模拟预测）下列各数为无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是无理数，有理数的乘方，特殊角的三角函数值，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 【详解】解：，是有理数，故A不符合题意； ，是有理数，故B不符合题意； 0是有理数，故C不符合题意； 是无理数，故D符合题意， 故选：D． 【★★变式3】（2024九年级下·浙江金华·专题练习）从3.14，0，，这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单概率计算、无理数等知识，首先确定四个数中无理数有1个，然后根据简单概率计算公式求解即可，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键． 【详解】解：3.14，0，，这四个数中，无理数为，共计1个， 所以，从这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是． 故选：D 【考点二】实数的相关概念 【题型3】相反数、绝对值、倒数 【★★例题3】（23-24七年级上·广西玉林·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2， 则 ． 【答案】5或 【分析】本题考查相反数，绝对值，倒数，代数式求值，根据互为相反数的两个数的和为0可得，根据乘积为1的两个数互为倒数可得，再求出m的值，代入求解即可． 【详解】解： a，b互为相反数，c，d互为倒数， ，， m的绝对值是2， 或， 当时， 原式； 当时， 原式； 故答案为：5或． 【★变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，相反数及负整数指数幂， 先计算绝对值，再求负整数指数幂，再求相反数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 相反数为 ． 故选：D． 【★变式2】（2024·宁夏银川·二模）的相反数是 ，的绝对值是 ，2024的倒数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数．熟练掌握相反数，绝对值，倒数是解题的关键． 根据相反数，绝对值，倒数的定义求解作答即可． 【详解】解∶的相反数是，的绝对值是3，2024的倒数是， 故答案为∶，3，． 【★★变式3】（2025·湖北·一模）计算 ．． 【答案】/ 【分析】本题考查了负整数指数幂和绝对值的计算，解题的关键是掌握负整数指数幂和绝对值的计算法则，易错点在于去绝对值时符合出错；此题需先分别计算各部分，再进行有理数加减运算． 【详解】计算 ：根据负整数指数幂的定义，， 因此 计算 ：由于 ，故 ，根据绝对值的非负性， 最后进行减法运算： 原式 故答案为 ． 【题型4】平方根、立方根 【★★例题4】（2025·西藏日喀则·一模）若m，n为实数，且，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，负整数指数幂，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，再根据负整数指数幂的法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【★变式1】（2025·河北邯郸·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、零指数幂．根据算术平方根、立方根以及零指数幂的定义即可求解． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：D． 【★变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质以及平方根的定义．将方程左边配成完全平方式可得，利用非负数的和为零则每个非负数为零的性质，求出和的值，再计算的平方根即可解答． 【详解】解：， ， ，， 且， ，， 即，， ， 的平方根为， 故选． 【★★变式3】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的定义、利用平方根解方程，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入一次函数的解析式可得一个关于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根据一次函数的定义可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得， 又∵函数是一次函数， ∴， 解得， 综上，， 故答案为：4． 【考点三】实数与数轴 【题型5】实数与数轴 【★★例题5】（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置得到，，然后推出，，，再根据二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项． 【详解】解：根据数轴，得， ，， ． 故答案为：4． 【★变式1】（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选C． 【★变式2】（2025·北京·模拟预测）如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵以点为圆心，半径为的弧过点A， ∴点A表示的数为， 故选：B． 【★★变式3】（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由勾股定理可得表示的数，从而可得表示的数是2，再结合题意得出，即可推出表示的数是，再结合题意可得表示的数是3，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得表示的数是， 右侧最近的整数点为， 表示的数是2， ∴， ∵以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点， ∴，即表示的数是， ∵记右侧最近的整数点为， ∴表示的数是3， ∴， 故答案为：． 【考点四】实数与大小比较 【题型6】比较实数的大小 【★★例题6】（2024·山东·模拟预测）若，则．若，，，则将a、b、c按从大到小的顺序排列： ． 【答案】当时，，当时，， 【分析】本题考查对题干对数函数运算公式的理解，不等式性质，以及实数比较大小，根据对数函数运算公式得到，的值，分情况讨论，当时，以及当时，再与进行比较，即可解题． 【详解】解：， ，解得， ， 或， ， 又， ， 当时，， 当时，． 【★变式1】（2024·广东·模拟预测）下列实数中，绝对值最大的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值和实数的大小比较，能正确求出每个数的绝对值是解此题的关键． 先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∵， ∴绝对值最大的数是． 故选：D． 【★变式2】（2024·浙江·模拟预测）在 这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，明确是解题的关键． 根据正数大于负数以及即可解答． 【详解】解：由题意可得：，即最大的是． 故选D． 【★★变式3】（2024·云南·模拟预测）写出一个比大且比 小的整数 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了无理数的估算、实数大小比较．根据实数大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴比大且比 小的整数是2或3． 故答案为：2 或3． 【考点五】科学记数法与有效数字 【题型7】科学记数法 【★★例题7】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）研究发现，2025年某品牌瓶装水中，每升含24万个纳米级微塑料，单个纳米级微塑料直径约0.0000035米，该直径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，负指数的绝对值等于原数中第一个非零数字在小数点后的位数． 【详解】解：， 故选：B． 【★变式1】（2025·山东聊城·三模）人工智能给人民的生活带来了很大的便利，体现在生活、工作、医疗等各个方面，手机上人工智能APP品类繁多，其中AIPPT制作软件下载安装763万次，将763万用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：763万． 故选：D． 【★变式2】（25-26七年级上·吉林长春·月考）2025年5月20日至6月20日，在“十五五”规划编制工作网络征求意见活动中，广大网民踊跃参与，建言献策万余条．将万这个数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 先“万”写成，再写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“万”． 故选D． 【★★变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）一粒大米的质量约为，用小数表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将小数中的小数点向左移动5位即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型8】有效数字 【★★例题8】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一个九位数，最高位上的数是最小的质数，十万位上的数是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作 ，四舍五入到万位约是 ． 【答案】 200400000 20040万 【分析】本题考查近似数和有效数字，能够根据题意写出这个数是解题的关键． 由最小的质数是2，最小的合数是4，其余数位上都是0，然后依据题意写出这个数，最后在进行四舍五入即可． 【详解】解：最高位上的数是最小的质数，即亿位位2，即十万位为4，即千位为4， 故这个数为：200400000． 万． 故答案为：200400000，20040万． 【★变式1】（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是 ． 【答案】8.3049 【分析】本题考查了近似数，设原数为x，根据近似数的精确度得到，然后写出有四位小数的最大数即可． 【详解】解∶ 设原数为x， 根据题意得， 所以这个数原来最大是8.3049， 故答案为∶8.3049． 【★变式2】（25-26七年级上·西藏林芝·期末）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到） D．（精确到万分位） 【答案】D 【分析】本题考查四舍五入法取近似值，根据精确度判断下一位数字是否进位，逐项判断求解即可 【详解】解： ： A．精确到0.1（十分位），需看百分位，百分位为，舍去，得，A正确； B．精确到百分位，需看千分位，千分位为，舍去，得，B正确； C．精确到（千分位），需看万分位，万分位为，舍去，得，C正确； D．精确到万分位，需看十万分位，十万分位为，进位，万分位2变为3，得，D错误； 故选：D 【★★变式3】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）下列说法正确的是（   ） A．0.810精确到百分位 B．2.1万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，利用近似数的精确度对各选项进行判断即可，掌握精确度的概念是解题的关键． 【详解】解：、精确到千分位，原说法错误，不符合题意； 、万精确到千位，原说法错误，不符合题意； 、精确到十位，原说法错误，不符合题意； 、精确到千位，原说法正确，符合题意； 故选：． 【考点六】实数的运算 【题型9】有理数的运算 【★★例题9】．（2025·河北·模拟预测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)，0 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义先计算出，再计算，最后再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，0； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【★变式1】（2026·湖南怀化·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，后算加减法即可求解； （2）先算乘方和绝对值，再计算乘除法，后算加减法即可求解． 本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【★变式2】（2025·河北石家庄·三模）一计算程序如图1所示，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y． (1)若输入x的值为2，求输出y的值； (2)若输出的y落在如图2所示的范围内，求输入x的最大整数值． 【答案】(1) (2)x的最大整数值为 【分析】本题考查了程序框图，含乘方的有理数混合运算，解一元一次不等式，解题的关键在于正确理解程序框图． （1）根据程序框图列出算式，再结合含乘方的有理数混合运算法则求解，即可解题； （2）由图（2）知，，则，再列不等式并求解，即可解题． 【详解】（1）解：若输入x的值为2， 则有 ； （2）解：由图（2）知，， 得， 所以， 即， 所以x的最大整数值为． 【★★变式3】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键．利用有理数的混合运算法则和运算顺序，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型10】实数的运算 【★★例题10】（2025·新疆克拉玛依·一模）计算： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查实数的运算和分式的化简求值．解题关键在于掌握绝对值、零指数幂、三角函数、负整数指数幂的运算规则，以及分式的通分、约分和代入求值的方法． （1）根据化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解； （2）先根据分式的混合运算化简，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式 【★变式1】（2025·陕西西安·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【★变式2】（2025·云南·模拟预测）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方，去绝对值和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【★★变式3】（2024·海南·三模）（1）计算：； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2），3． 【分析】本题考查实数的混合运算，整式运算中的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行零指数幂，去绝对值和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则进行计算化简，再代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）． ； 当时，原式． 【考点七】与实数运算相关规律问题 【题型11】实数有关的规律探究 【★★例题11】（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴． （3）解：原式 ． 【★★变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中☆有（    ） A．28个 B．27个 C．26个 D．25个 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多3个五角星，所以可得规律为：第个图形中共有个五角星，即可求解． 【详解】解：∵第1个图形中五角星的个数为：4， 第2个图形中五角星的个数为：， 第3个图形中五角星的个数为：， 第4个图形中五角星的个数为：， 所以由规律可知：第个图形中五角星的个数为， 则第9个图形中五角星的个数为：，故选项A符合题意． 故选：A． 【★★变式2】（2023·四川成都·模拟预测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索，读懂题意并根据所给的式子寻求规律是解题的关键． 首先确定含的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可． 【详解】解：∵， 可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是， 故答案为：． 【★★变式3】（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为 ．    【答案】 【分析】先求出的坐标，然后求出的长.运用观察到的规律求出的值，即可求出的值. 【详解】由，得      故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数表达式求点的坐标，根据一次函数表达式求点的坐标，及平行于y轴的直线上的两点间的距离.观察规律，理解规律，并会正确应用是解题的关键. 3. 中考真题专练 一、单选题（10题） 1．（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 2．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 3．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，解题的关键是根据点在数轴上的位置确定其表示的数的取值范围，再与选项对比．明确数轴上数的分布特点：原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小；由题意知点A在0与之间，因此点A表示的数是大于且小于0的负数；分析各选项，找出符合该取值范围的数． 【详解】解：∵点A在数轴上0与中间， 结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是 故选：B． 5．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 6．（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 8．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 9．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 10．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 二、填空题（6题） 11．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 13．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 14．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 15．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 16．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 三、解答题（4题） 17．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 18．（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 19．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 20．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 实数（ 知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】实数的分类 2 【知识点二】实数的相关概念 2 【知识点三】实数与数轴 3 【知识点四】实数大小的比较 3 【知识点五】实数的运算 3 【知识点六】有效数字和科学记数法 4 二.题型精析 4 【考点一】实数的分类 4 【题型1】有理数的分类 4 【题型2】无理数的识别 5 【考点二】实数的相关概念 5 【题型3】相反数、绝对值、倒数 5 【题型4】平方根、立方根 6 【考点三】实数与数轴 6 【题型5】实数与数轴 6 【考点四】实数与大小比较 7 【题型6】比较实数的大小 7 【考点五】科学记数法与有效数字 7 【题型7】科学记数法 7 【题型8】有效数字 8 【考点六】实数的运算 8 【题型9】有理数的运算 8 【题型10】实数的运算 9 【考点七】与实数运算相关规律问题 10 【题型11】实数有关的规律探究 10 三. 中考真题专练 11 一、单选题（10题） 11 二、填空题（6题） 12 三、解答题（4题） 13 一.知识梳理 【知识点一】实数的分类 按定义分类 按性质分类 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． 有理数：无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 【知识点二】实数的相关概念 1.相反数 （1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为： （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 3.倒数 （1)实数的倒数是；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数. 4.平方根 （1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作． （2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作． 5.立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 【知识点三】实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 【知识点四】实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab. 4.对于实数a，b，c，若ab，bc，则ac. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果ab0，则 a2b2ab； 或利用倒数转化：如比较与. 【知识点五】实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 （1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数 【知识点六】有效数字和科学记数法 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 二.题型精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】实数的分类 【题型1】有理数的分类 【★★例题1】（2024九年级·河北·学业考试）如图所示，转盘被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，0， ， ． 随机转动转盘两次，转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（指针固定向上，当指针恰好指在分界线上时按指针左侧相邻区域算）（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（2024·江西·模拟预测）下列各数中，是有理数的是（    ） A．π B． C． D． 【★变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）下列有理数中，非负数是（    ） A． B． C． D． 【★★变式3】（2024·上海嘉定·二模）下列实数中．属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】无理数的识别 【★★例题2】（2025·河北唐山·二模）从0，，，这四个数中任取两数，这两个数都是无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·福建南平·模拟预测）下列实数中的无理数是（　　） A． B． C． D． 【★变式2】（2024·广东·模拟预测）下列各数为无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【★★变式3】（2024九年级下·浙江金华·专题练习）从3.14，0，，这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是 （    ） A． B． C． D． 【考点二】实数的相关概念 【题型3】相反数、绝对值、倒数 【★★例题3】（23-24七年级上·广西玉林·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2， 则 ． 【★变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 【★变式2】（2024·宁夏银川·二模）的相反数是 ，的绝对值是 ，2024的倒数是 ． 【★★变式3】（2025·湖北·一模）计算 ．． 【题型4】平方根、立方根 【★★例题4】（2025·西藏日喀则·一模）若m，n为实数，且，则的值为 【★变式1】（2025·河北邯郸·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 【★★变式3】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【考点三】实数与数轴 【题型5】实数与数轴 【★★例题5】（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【★变式1】（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【★变式2】（2025·北京·模拟预测）如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 【★★变式3】（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 【考点四】实数与大小比较 【题型6】比较实数的大小 【★★例题6】（2024·山东·模拟预测）若，则．若，，，则将a、b、c按从大到小的顺序排列： ． 【★变式1】（2024·广东·模拟预测）下列实数中，绝对值最大的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【★变式2】（2024·浙江·模拟预测）在 这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 【★★变式3】（2024·云南·模拟预测）写出一个比大且比 小的整数 ． 【考点五】科学记数法与有效数字 【题型7】科学记数法 【★★例题7】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）研究发现，2025年某品牌瓶装水中，每升含24万个纳米级微塑料，单个纳米级微塑料直径约0.0000035米，该直径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·山东聊城·三模）人工智能给人民的生活带来了很大的便利，体现在生活、工作、医疗等各个方面，手机上人工智能APP品类繁多，其中AIPPT制作软件下载安装763万次，将763万用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（25-26七年级上·吉林长春·月考）2025年5月20日至6月20日，在“十五五”规划编制工作网络征求意见活动中，广大网民踊跃参与，建言献策万余条．将万这个数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【★★变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）一粒大米的质量约为，用小数表示为 ． 【题型8】有效数字 【★★例题8】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一个九位数，最高位上的数是最小的质数，十万位上的数是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作 ，四舍五入到万位约是 ． 【★变式1】（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是 ． 【★变式2】（25-26七年级上·西藏林芝·期末）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到） D．（精确到万分位） 【★★变式3】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）下列说法正确的是（   ） A．0.810精确到百分位 B．2.1万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【考点六】实数的运算 【题型9】有理数的运算 【★★例题9】．（2025·河北·模拟预测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)计算：． 【★变式1】（2026·湖南怀化·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【★变式2】（2025·河北石家庄·三模）一计算程序如图1所示，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y． (1)若输入x的值为2，求输出y的值； (2)若输出的y落在如图2所示的范围内，求输入x的最大整数值． 【★★变式3】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 【题型10】实数的运算 【★★例题10】（2025·新疆克拉玛依·一模）计算： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 【★变式1】（2025·陕西西安·一模）计算： 【★变式2】（2025·云南·模拟预测）计算：． 【★★变式3】（2024·海南·三模）（1）计算：； （2）化简求值：，其中． 【考点七】与实数运算相关规律问题 【题型11】实数有关的规律探究 【★★例题11】（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【★★变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中☆有（    ） A．28个 B．27个 C．26个 D．25个 【★★变式2】（2023·四川成都·模拟预测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【★★变式3】（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为 ．    3. 中考真题专练 一、单选题（10题） 1．（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 2．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 3．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 5．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 6．（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 7．（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 9．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 10．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 二、填空题（6题） 11．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 12．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 13．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 14．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 15．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 16．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 三、解答题（4题） 17．（2025·陕西·中考真题）计算：． 18．（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 19．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 20．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $