专题08 期末复习之几何图形综合证明与计算（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学复习讲义通过考情分析表格系统梳理几何图形综合证明与计算的知识体系，将三角形内角和定理、全等三角形判定与性质等核心考点按“基础计算-性质应用-动态探究-跨学科融合”的递进逻辑组织，用表格呈现各考点的复习目标与考察形式，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与跨学科融合，如动态探究题型通过动点轨迹分析培养空间观念，结合物理光学反射定律设计问题发展模型意识，例题与变式题覆盖基础到压轴题，帮助不同层次学生提升推理能力，教师可据此实施精准化复习教学。

专题08 几何图形综合证明与计算 期末考点 复习目标 考察形式 1.三角形内角和定理（）、外角性质（） 1.掌握内角和定理与外角性质的核心公式； 2.能运用定理进行基础角度的“知二求一”计算 基础题，选择/填空（1-2题），直接考察公式应用或简单代换 2.三角形角平分线、高线相关角度计算 1.理解角平分线、高线的定义及角度关联； 2.能结合内角和定理推导简单角度关系 基础-中档题，选择/填空或解答题小问（1题），常结合图形标注 3.折叠、旋转变换中三角形角度的等量关系 1.掌握折叠、旋转的全等本质，明确对应角相等； 2.能整合全等性质与三角形角度定理计算 中档题，填空/解答题（1题），结合图形变换示意图考察 4.三角形与平行线、特殊三角形（等腰、直角）的综合角度计算 1.熟练衔接平行线性质与三角形角度定理； 2.掌握等腰三角形“等边对等角”（）、直角三角形“两锐角互余”（）的特殊角度规律 中档题，解答题（1题），全题型覆盖，侧重角度转化能力 5.动态问题、跨学科情境下的角度综合计算 1.能将动态情境、跨学科场景转化为三角形模型； 2.学会分析变量中的不变量，建立角度关系 提升-压轴题，解答题（1题），情境贴近生活或跨学科（如观测、经纬度） 6.开放型、多结论型角度计算 1.具备角度计算的逆向思维与多结论验证能力； 2.能结合综合知识点全面分析问题 压轴题，选择/解答题（1题），侧重逻辑推理与综合应用 【题型1】三角形、全等、轴对称的综合证明（多知识点融合） 1.期末考点总结 核心考查全等三角形的判定与性质（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），结合轴对称的性质（对应点连线垂直平分线、线段垂直平分线/角平分线性质），融合三角形边角关系，侧重多知识点关联应用。 2.解题攻略 先找全等条件（已知边/角、隐含公共边/角），再利用轴对称转化等量关系；证明时注意逻辑链条完整，逐步推导结论。 【例题1】.（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线； （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； （2）解：，证明如下： 如图，过作， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ，平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知是等腰直角三角形，，，是等边三角形，点D在的左侧，延长，相交于点． (1)如图1，求证：点D是的中点； (2)如图2，平分交于点．求证：； (3)如图3，连接，过C作，垂足为M，交于点． ①求的度数； ②猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①；②，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形，等边三角形的性质，三角形的外角定义，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据等腰直角三角形和等边三角形的性质即可证明点D是的中点； （2）根据等腰直角三角形的性质证明是的垂直平分线，可得； （3）①根据三角形的外角定义即可求的度数； ②根据含30度角的直角三角形的性质即可得线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ∴， ， ， ， ， 点D是的中点； （2）证明：连接，如图： ，平分， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵为等边三角形， ∴，， ∵， ， ， ， 是等腰直角三角形，，， ， ； ②， 证明：如图3，过点C作于点H， ，， ， ， ， ，， ， ． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验证呢？ 具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点的对称点的位置．首先作出的角平分线交边于点，将沿折叠，观察点的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）    实践操作： （1）小组一操作发现顶点的对称点与重合，则的角平分线所在直线是对称轴；    （2）小组二发现当顶点的对称点落在边上时，的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同学们发现，连接时的周长与的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为，，，的周长为，请求出的值．（用、、表示）    （3）小组三发现当顶点的对称点落在边延长线上时，此时的角平分线所在直线不是对称轴．同样连接，若设三边长分别为，，，的周长为，小组二的结论还成立吗？请说明理由并求出的值．（用、、表示）    （4）拓展探究： 在中，，，，交于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．    【答案】（2）；（3）不成立，理由见解析，；（4），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理， （2）由翻折可得，则和，由，则 ，即； （3）由翻折可得，则和，由，则，即； （4）过作，交于点，交延长线于点，则，可得，由已知可得，结合三角形内角和定理得，即可证明，有，结合，即有． 【详解】解：（2）由翻折可得：， ，， ， ， ，，， ． （3）小组二的结论不成立 理由如下：由翻折可得：， ，， ， ， ，，， ． （4）解：，理由如下： 证明：过作，交于点，交延长线于点，如图，   交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ． 在和中 ， ， ． 【变式题1-3】.（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，证得是等边三角形，再证明，即可解答； （2）利用角的等量代换证明，过点作，交于点，得到是等边三角形，证明，即可得证； （3）根据题意求出，过点作于点，交于点，过点作于点，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质，平行的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型2】几何图形中的角度与线段长度计算（综合性质应用） 1.期末考点总结 涉及三角形内角和、外角性质，全等/轴对称性质求线段，角平分线、垂直平分线的性质应用，侧重性质的综合运算。 2.解题攻略 角度计算抓内角和、外角等于不相邻两内角和；线段计算优先用全等转化线段，或借助角平分线、垂直平分线得等量关系。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，，两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可得的长度． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中，， ， ， 平分； （2）解：，， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （）由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，即可得证； （）由线段垂直平分线的性质可得，点是的中点，得出为的平分线．求出，由等腰三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵垂直平分于点， ∴，点是的中点， ∴为的平分线， ∴， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴ ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点E作交的延长线与点M． （3）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． 为的角平分线， （2）解：如图，即为所求作 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线有关的计算，三角形中线的性质，三角形外角的定义，作三角形高等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【变式题2-3】.（22-23八年级上·全国·单元测试）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型3】几何图形的动态探究问题（动点、折叠、旋转） 1.期末考点总结 核心是动点轨迹分析，折叠/旋转的性质（对应边、角相等，旋转前后图形全等），动态过程中不变量的识别。 2.解题攻略 分类讨论动点位置，抓住折叠/旋转后的全等关系，锁定不变边、角，建立等量模型；结合静止状态分析临界情况。 【例题3】.（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，平行，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的负半轴上，顶点在轴的正半轴上，顶点在轴正半轴上，的面积为． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发沿射线向右运动，动点从点出发沿射线向下运动，、同时出发，速度都为每秒个单位，若动点、运动的时间为秒，连接、，设的面积为，请用含的式子表示，并直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，作于，交直线于，连接，当的面积等于时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由的面积为得，故，而顶点在轴的正半轴上，得； （2）当时，求出，，得；，求出，，得；综上所述，即可求解； （3）在上截取，连接，作轴于，证明得，证明得，，根据的面积等于，可得，即可得；在上截取，连接，作轴于，同理可得；综上所述，即可求解． 【详解】（1）解：的面积为， ， ， ， ， 在轴正半轴上， ； （2）解：当时， ，， ，， ； ， ，， ，， ； 综上所述，； （3）解：在上截取，连接，作轴于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的面积为， ， ， ， ， ； 在上截取，连接，作轴于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的面积为， ， ， ， ， ， 综上，点的坐标为或． 【题型4】网格情境几何性质与坐标综合计算 1.期末考点总结 核心考点：网格坐标定位、轴对称/角平分线等性质、长度/角度/面积计算 考察要求：利用网格转化条件，结合性质解决综合计算 2.解题技巧 网格定位：借格点定坐标、边长及平行/垂直关系 性质转化：将几何性质转化为坐标或数量关系 简算技巧：坐标差求长度，割补法算面积 【例题4】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点）三个顶点的坐标分别为，． (1)请在如图网格平面内画出平面直角坐标系； (2)请在如图网格平面内画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (3)若点，且轴，则的长为__________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，顶点的坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、作图-轴对称变换、坐标与图形． (1)借助点、的坐标建立平面直角坐标系； (2)根据轴对称的性质，在坐标系中画出关于轴对称的图形，再根据坐标系写出点的坐标； (3)根据轴，可得、两点的纵坐标相等，从而可得方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标，根据、两点的坐标求出的长度． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如下图所示： （2）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 顶点的坐标是； （3）解：由平面直角坐标系可知，点的坐标是， 轴， ， 解得：， ， 点的坐标是， ， 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点（网格的格点）处，直线与网格中竖直的线相重合，请利用网格完成以下问题： (1)在图中，直接画出关于直线对称的； (2)在的边上找一点，连接，使平分的面积； (3)仅用直尺在的边上找一点，使得点到，的距离相等，并求出该距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题主要考查了轴对称作图，角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）先根据轴对称的性质作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）取的中点D，连接即可； （3）利用网格特点作的角平分线，交于点E，则点E即为所求．过点作于点，作于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积得出，然后求出． 【详解】（1）解：如图1，则即为所求； （2）解：如图1，则即为所求； （3）解：如图2，作的角平分线，交于点E，则点E即为所求．过点作于点，作于点， 则， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即该距离为． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图①，等腰中，，点在底边上（异于点、），点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为的“同型点” (1)当平分，，AC交于点O，，时，求证：点是的“同型点”； (2)如图②，在的正方形网格图上有一个，点，，均在格点上，在给出的网格上有一个格点，使得点为的“同型点”，在网格中画出所有这样的点； (3)凸四边形中，，，对角线、交于点，且，若点为的“同型点”，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质等知识点，正确理解“同型点”的定义是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质可得是等腰三角形，然后可求出，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到为等腰三角形，即点是的“同型点”； （2）找出所有在下方能使为等腰三角形的格点即可； （3）根据点为的“同类点”可知为等腰三角形，然后分和两种情况，分别作出图形，并根据等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形，即点是的“同类点”． （2）解：如图所示即为所求： （3）解：∵，，且，点为的“同型点； ①如图3：当时，则，即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，当时，则，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【变式题4-3】.（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，等腰中， ，点在底边上(异于点)，点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为 的“同型点”． (1)如图， 当平分，， 交于点， ，时， 求证：点是的“同型点”； (2)如图，在的正方形网格图上有一个，点均在格点上，在给出的网格上有一个格点，使得点为的“同型点”，则满足条件的点有 个； (3)如图，在四边形中，，，且 ，若点为的“同型点”，请求出所有满足条件的 的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（）根据平行线的性质和角平分线的性质可得是等腰三角形，然后可求出，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到为等腰三角形，据此即可求证； （）找出所有在下方能使为等腰三角形的格点即可； （）根据点为的“同类点”可知为等腰三角形，然后分和两种情况，分别作出图形，并根据等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：∵当平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴为等腰三角形， ∴点是的“同类点”； （2）解：如图，这样的点共有个， 故答案为：； （3）解：∵，，且，点为的“同型点， ①如图，当时，则，即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，则，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确理解“同型点”的定义是解题的关键． 【题型5】几何证明中的开放型问题（结论探究、条件补充） 1.期末考点总结 考查结论的合理性推导，条件补充的针对性（围绕全等、轴对称等核心性质），侧重逻辑推理的灵活性。 2.解题攻略 结论探究从已知条件出发，推导可能结论；条件补充优先补全等判定条件（缺边补边、缺角补角），确保逻辑闭环。 【例题5】.（24-25八年级上·江苏泰州·月考）如图，点、、、在一条直线上，． (1)从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是________，结论是________．（填序号） (2)在（）的条件下，设cm，动点从向终点以的速度运动，同时，动点从点向终点以的速度运动，连接，若线段恰好经过中点时，求的值． 【答案】(1)①②(答案不唯一)，③(答案不唯一) (2) 【分析】（）根据全等三角形的判定选择即可； （）证明，得到，据此列出方程即可求解； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补充条件是①②，结论是③，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中，     ，   ∴， ∴， 故答案为：①②(答案不唯一)，③(答案不唯一)； （2）解：∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）综合与探究 请结合图形，完成下列探究． 探究一：定理证明 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成这一定理的证明．已知：如图1，是的一个外角，求证：； 探究二：基础应用 （2）如图2，在中，，点D在边上，交于点F，．请你求出的度数，并写出求解过程； 探究三：动态探究 （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线上运动（不与点C，O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，则的度数是________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义和平行线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质先求出，再根据平行线的性质可得 （3）分点E在点O的上方和下方两种情况，画出图形，利用三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）①当点E在点O的上方时，如图所示：    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图：    由题意知，，，， ， ， 综上所述，或． 【变式题5-2】.（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山西朔州·月考）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形； （1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 【题型6】几何图形与实际生活的综合应用（情境化问题） 1.期末考点总结 考查几何模型构建（三角形、全等），将实际问题转化为几何问题，侧重情境解读与性质应用。 2.解题攻略 提炼实际情境中的几何元素（如支架、路径转化为三角形），构建全等或等腰三角形模型，用几何性质求解。 【例题6】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，某公园有两个直角三角形花园（和），其中，两花园之间有一个水潭，园区工作人员计划在水潭上方修建一座小桥，现需测量水潭两侧D、E两点间的距离．已知围栏，且，．小明设计了如下测量方案：延长DC到点F，使得，连接．小明通过测量米，由此推断D、E两点间的距离为18米，请你说明该方案的原理． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，得出，．再证明，即可说明米． 【详解】解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴米． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·浙江·月考）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量雷峰塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长． ，， 方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离． ，， 任务一：计算方案①中雷峰塔底座的直径； 任务二：计算方案②中雷峰塔底座的直径． 【答案】任务一：，任务二： 【分析】本题考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质． 任务一：先利用平行线的性质得出，再证明，得出； 任务二：证明，从而得出． 【详解】解：任务一：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴； 任务二：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴雷峰塔底座的直径为． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图，观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 如图，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 (1)由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 ___________ 的长度； (2)第二小组设计的测量方案，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长？并说明理由． (3)第三小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； 【答案】(1) (2)线段的长就是河宽长，见解析 (3)可行，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，则，所以，则有，从而求解； （2）证明，所以，从而求解； （3）延长交的延长线于点，证明，所以，，设，则，通过三角形内角和定理得出，所以，从而得，所以，从而求解 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度， 故答案为：； （2）解：线段的长度就是河宽的长度，理由如下： 由题意，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段的长度就是河宽的长度． （3）解：第三小组的方案可行，证明如下： 延长交的延长线于点， ∵是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第三小组的方案可行． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）小南对发声物体的振动实验做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案 如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点 测量示意图 任务一 求证：； 任务二 经测量，得知点B到点D的距离是7cm，细绳的长是15cm，求的长． 拓展应用 如图3，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交、于点F、G，且若，，则的长为______． 【答案】任务一：证明详见解析； 任务二：； 拓展应用： 【分析】本题考查了同角的余角，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 利用同角的余角相等，即可得证； 证明≌，得到，利用线段的和差关系进行求解即可； 延长ED至H，使得，连接HC，GB，GC，可证明≌得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，≌得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】任务一： 证明：， ， ， ； 任务二： 解：，， 在和中， ， ≌， ， 拓展应用： 解：如图3，延长ED至H，使得，连接HC，GB，GC， 是AC的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， 内错角相等，两直线平行， ， ， 垂直平分BC，， ，，， ，是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 又， ， ≌， ，， ， 故答案为： 【题型7】跨学科融合：几何图形与物理光学中的反射问题（情境化） 1.期末考点总结 考查光的反射定律（反射角=入射角），结合轴对称性质转化路径，几何图形与物理规律的结合应用。 2.解题攻略 利用轴对称作对称点，将反射路径转化为直线距离；结合三角形性质、勾股定理计算路径长度。 【例题7】.（24-25七年级下·山东济南·期中）【学科融合】：如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角． 【问题初探】： (1)如图1，当两面镜于,的夹角时，若，则______________，与的位置关系是_______________； (2)如图2，当两面镜子,的夹角，且时，入射光线经两次射后形成反射光线，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点，求的度数； (3)当两面镜子,的夹角时，在两面镜子中间点处有一点光源，如图3，若从点发射一束光射向，入射光线与镜面的夹角，反射后的光线为，再从点发射一束光射向，若使反射后的光线，求与的夹角的度数 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和性质，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，再结合三角形内角和性质，列式计算得，结合平角得，，根据，即可作答． （2）根据入射角等于反射角，得，再结合对顶角相等，，，； （3）同理得，因为，所以，根据三角形内角和性质，得，结合平角的概念得整理得即可作答． 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角 ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵入射角等于反射角， ∴， ∵对顶角相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）解：如图所示： ∵入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴上式相加得 ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】探究1：见解析；探究2：或；探究3：当时，；当时， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 探究1：作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求 探究2：分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的度数，再根据建立方程求解即可； 探究3：分如图3-1，3-2，3-3，3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求； 由平行线的性质可得，由题意得； 探究2：当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或； 探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时， 由题意得， ∴，， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时， 由题意得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图3-3所示，当射线和重合时，则， 解得； 如图3-4所示，当时， 同理可得， ∴， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，当时，；当时，． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖南衡阳·开学考试）为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了，两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即，．连接，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为秒． (1)如图1，当时，求两条光线的夹角的度数． (2)当时，射线与射线所在直线交于点，请在图2中画出图形并说明． (3)当射线首次从转至的过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线垂直，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，当为45，67.5，112.5，135时，射线与射线互相垂直 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角，平行公理推论，解题的关键是：分情况讨论． （1）根据平行公理推论，结合三角形外角的性质，即可求解， （2）过点作，根据平行线的性质得到，即可解答 （3）分三种情况讨论，①当时；②当时；③当时；根据平行线的性质，利用与互相垂直，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时，，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：， （2）解：画出图形如图    证明：过点作， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴； （3）解：当时，， 解得：；    当时，， 解得：； 当时，， 解得：；    当时，， 解得：， 综上所述：当为45，67.5，112.5，135时，射线与射线互相垂直． 【变式题7-3】.（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．如图1，经过入射点O且垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线与法线的夹角叫做入射角．反射光线与法线的夹角叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即． （1）探究图1中入射光线与镜面所夹的锐角与反射光线与镜面所夹的锐角的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用【问题情境】（2）中获得的结论解决以下问题： 如图2，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点B在直线上． （2）与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，已知，直线绕点C顺时针旋转（）至直线，当为何值时，． （4）直线绕点 C顺时针旋转，直线与直线相交于点E，请直接写出和之间的数量关系 ． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）或 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得到； （2）由得到，由（1）的结论可得，，从而得证，即可判定； （3）由得到，根据性质可得，这，由（1）的结论可得，因此，进而根据三角形的内角和得到，因此，当时，，即可求解； （4）分两种情况讨论：①当在的左侧，②当在的右侧，画出图形，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． （2），理由如下： ∵， ∴， 由（1）的结论可得，， ∴， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵直线绕点C顺时针旋转（）至直线，即 ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∵当，即时，， ∴． （4）分两种情况讨论： ①当在的左侧时，直线与相交于点E， ∵， ∴， ∵直线绕点 C顺时针旋转，即， ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∵， ∴， 由（1）结论有， ∴， ∴； ②当在的右侧时，直线与相交于点E， ∵， ∴， ∵直线绕点 C顺时针旋转，即， ∴， ∴， 由（1）结论可得，， 又， ∴， ∵， ∴， 由（1）结论可得， ∴， ∵， ∴ ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查角的和差，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，读懂题意，理解光的反射定律，综合运用数学的相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【题型8】几何综合题中的分类讨论问题（多解情况） 1.期末考点总结 考查多解情况的识别（如点的位置、图形的形状差异），结合全等、等腰三角形性质分类求解。 2.解题攻略 按“点的位置（线上/线外）、图形类型（锐角/钝角三角形）”分类，每类独立推导； 【例题8】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， （1）如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． （3）如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①，，②；（3）当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，. 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． （1）利用三角形外角的性质可得，，根据可得； （2）证明，可得，，根据可得，问题得证； （3）分两种情况讨论：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，在上截取，连接，证明，根据等腰三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：任务一：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①结论：，； 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； ②∵， ∴， 又∵， ∴； 任务二：（3）当点D在线段上时，在上截取，连接，如图所示： 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点D在线段延长线上时，在延长线上截取，连接，如图所示： 同理可证∴，， ， ∴ 综上所述：当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知直线，点，是直线上的两个定点，点，是直线上的两个动点，射线，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在直线上，满足．与交于点，与交于点，若，且．求的度数； (3)在（2）的条件下，射线绕点以3度/秒的速度逆时针转动，射线绕点以2度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为秒． （i）当________秒时，； （ii）设直线与直线的夹角为度（），直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间的值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)（i）26.4；(ii) 转动时间的值为或或或． 【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角度之间的关系，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，掌握整体思想，寻找角度之间的和差关系是解题关键． （1）过点作，可得，，根据即可求证； （2）类比（1）同理可得：，，根据角之间的关系列方程，即可求解； （3）（i）根据题意画出对应图形，根据即可求解； （ii）根据题意画出对应图形，分两种情况：分别求得与，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：类比（1）同理可得：，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴②， 联立①②解得：，； （3）解：（i）如图3所示： 由题意得：，， ， ， 即：， ， 解得：， 故答案为：； （ii）当与平行时，，解得， 当与平行时，，解得， 如图所示，当两个交点都在上方时，即， 由（2）得，， 则， ， ， 解得：或； 如图所示，当一个交点在上方，一个交点在下方时，即， ， 则， ， 解得：或； 综上，转动时间的值为或或或． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． (1)如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由； (2)老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： (3)某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 见解析 (3)或或 【分析】（1）根据三个角都是的三角形是等边三角形证明即可； （2）利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和定理证明即可： （3）分两种情况：①当点D在边时，过点作，交的延长线于点．②当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点，Ⅰ）当点Q在线段上时；Ⅱ）当点Q在线段延长线上时．分别求解即可． 【详解】（1）证明： 为等边三角形， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：． 理由如下： 小明的方法：过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据四边形内角和， ∴． 小刚的方法：过点作，交于点． ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：三线段的关系为：． 理由如下： 分两种情况：①当点D在边时，过点作，交的延长线于点．如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点． Ⅰ）当点Q在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ Ⅱ）当点Q在线段延长线上时，如图， 同理可得， ∴， ∴， 综上，线段与线段的数量关系为或或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和定理的应用，线段之间关系的证明，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 同步练习 1．【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；理由见解析；（2）（1）中与间的数量关系成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据证明即可．②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②解：，理由如下： 是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴； （2）解：（1）中与间的数量关系成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3）解：在和中， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 2．综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点与点重合，展开得到折痕，设与交于点，连接，． (1)猜想和的数量关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握折叠的性质． （1）先通过折叠的性质得出，，，，进而推导出，证明推出，又由得出结论； （2）根据已知条件得出，再由折叠可得，，，推出，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 由折叠可得，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ， ； （2）解： ，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ， ． 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． (2)点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】(1)①作图见详解，点的坐标为；②作图见详解，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及图形的轴对称变换． （1）①根据题意分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； ②同①方法，分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； （2）先根据的坐标求出的坐标，再根据的坐标求出的坐标即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． ②如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． （2）解：由题意知，点关于轴对称的点的坐标为，且点在内部， ∴点的坐标为， 又∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 5．在等边中，点，分别在边，上． (1)如图1，若，以为边作等边，交于点，连接． 求证：①；②平分； (2)如图2，若，作，交的延长线于点，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握等边三角形的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和角平分线的判定定理是解决此题的关键． （1）①利用即可证出，再根据全等三角形的性质即可证出结论； ②过点D作于M，作交延长线于N，利用证出，即可得出，然后根据角平分线的判定定理即可证出结论； （2）在上截取一点G，使，连接，利用证出，可得，然后利用证出，可得，从而证出结论． 【详解】（1）解：①∵为等边三角形 ∴ 在和中 ∴ ∴； ②过点D作于M，作交延长线于N，如图 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形 ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴平分； （2）解：在上截取一点G，使，连接，如图 ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ∴， ∴， ∴． 6．已知． (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据全等三角形得到对应边相等，再根据等边对等角和角平分线定理和等量代换得出，即可证明； （2）首先利用等边对等角得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，再根据等角代换即可得到结论； （3）首先构造全等三角形，得到，再设，，则，进而利用等边对等角、三角形的内角和定理以及等角代换得到的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取一点M，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设：，，则， ∵, ∴， ∴， 又， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理、图形的旋转，构造合适的辅助线来证明三角形全等是解题的关键． 7．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)填空：___________，___________ (2)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标； (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)4， (2) (3)不发生改变，4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，图形和坐标，等腰三角形的性质． （1）将配方得，根据算术平方根和平方的非负性，即可求得的值； （2）利用可证明 ，得，则题目可解； （3）利用可证 ，则 ，所以 ， 则题目可求． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，， 故答案为：，； （2）解：直线交轴于点，交轴于点， 点，点， ， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ； ， 的坐标为， ， ， 的坐标为； （3）解：的值不发生改变；理由如下： 如图，，，为的中点，连接 ， ，，， ， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ． 8．综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ；（2）与的位置关系和数量关系没有发生变化，见解析；（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图；          ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键. 9．【问题提出】 （1）如图①，在等边中，，且，则的高的长度为 ； （2）如图②，在中，分别以，为边向外作等边与等边，线段，交于点，连接．求证：； 【问题解决】 （3）已知有，，三个村庄的位置如图③所示，其中村庄到，两个村庄的距离相等，且满足．现需要在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小．该项目组长按如下方法选址：连接，，，以，为边向外作等边与等边，线段，交于点，从而找到点．你认为组长的方法正确吗？请说明理由，并求出点满足条件时的的度数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明得，从而推出垂直平分，延长交于点，根据角的直角三角形的性质求出，即可求解； （2）过点作于点，作于点，设与交于点，证明得，，，然后证明平分，可得，进而可证明结论成立； （3）如图，连接，在上取点，使，推出为等边三角形，得，推出，根据两点之间线段最段，可确定的最小值为长，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 用同样的方法可得：， ∵，， ∴直线垂直平分，， 延长交于，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的高的长度为， 故答案为：； （2）证明：如图，过点作于点，作于点，设与交于点， ∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：组长的方法正确． 理由：如图，连接，在上取点，使， 由（2）知：，， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为长， 即点为所要建的污水处理站的位置，此时最小，故组长的方法正确； ∵，，． ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴点满足条件时的的度数为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于、两点，且a，b满足，直线平分，交x轴于D点． (1)若的中点为M，连接交于N，直接写出点A、B的坐标并求证：； (2)如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接，并作等腰，其中，连接并延长交y轴于G点，当P点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变；求出它的长度． 【答案】(1)，，证明见详解 (2)，理由见详解 (3)的长不变， 【分析】（1）根据非负数的性质求出点A、B的坐标，然后得出是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，再根据角平分线的定义求出，然后根据直角三角形的两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻对的两个内角的和求出，，利用等角对等边得到； （2）延长交于点C，得，得到，再证得到，从而得到； （3）过点F作，垂足为H，证明，根据全等三角形对应边相等可得、，再证，，，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴、y轴于、两点，且a，b满足， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵点M是中点， ∴， ∴， ∵直线平分， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：， 理由：延长交于点C， ∵平分， ∴， ∵于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：的长不变， 如图，过点F作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何图形综合证明与计算 期末考点 复习目标 考察形式 1.三角形内角和定理（）、外角性质（） 1.掌握内角和定理与外角性质的核心公式； 2.能运用定理进行基础角度的“知二求一”计算 基础题，选择/填空（1-2题），直接考察公式应用或简单代换 2.三角形角平分线、高线相关角度计算 1.理解角平分线、高线的定义及角度关联； 2.能结合内角和定理推导简单角度关系 基础-中档题，选择/填空或解答题小问（1题），常结合图形标注 3.折叠、旋转变换中三角形角度的等量关系 1.掌握折叠、旋转的全等本质，明确对应角相等； 2.能整合全等性质与三角形角度定理计算 中档题，填空/解答题（1题），结合图形变换示意图考察 4.三角形与平行线、特殊三角形（等腰、直角）的综合角度计算 1.熟练衔接平行线性质与三角形角度定理； 2.掌握等腰三角形“等边对等角”（）、直角三角形“两锐角互余”（）的特殊角度规律 中档题，解答题（1题），全题型覆盖，侧重角度转化能力 5.动态问题、跨学科情境下的角度综合计算 1.能将动态情境、跨学科场景转化为三角形模型； 2.学会分析变量中的不变量，建立角度关系 提升-压轴题，解答题（1题），情境贴近生活或跨学科（如观测、经纬度） 6.开放型、多结论型角度计算 1.具备角度计算的逆向思维与多结论验证能力； 2.能结合综合知识点全面分析问题 压轴题，选择/解答题（1题），侧重逻辑推理与综合应用 【题型1】三角形、全等、轴对称的综合证明（多知识点融合） 1.期末考点总结 核心考查全等三角形的判定与性质（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），结合轴对称的性质（对应点连线垂直平分线、线段垂直平分线/角平分线性质），融合三角形边角关系，侧重多知识点关联应用。 2.解题攻略 先找全等条件（已知边/角、隐含公共边/角），再利用轴对称转化等量关系；证明时注意逻辑链条完整，逐步推导结论。 【例题1】.（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知是等腰直角三角形，，，是等边三角形，点D在的左侧，延长，相交于点． (1)如图1，求证：点D是的中点； (2)如图2，平分交于点．求证：； (3)如图3，连接，过C作，垂足为M，交于点． ①求的度数； ②猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验证呢？ 具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点的对称点的位置．首先作出的角平分线交边于点，将沿折叠，观察点的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）    实践操作： （1）小组一操作发现顶点的对称点与重合，则的角平分线所在直线是对称轴；    （2）小组二发现当顶点的对称点落在边上时，的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同学们发现，连接时的周长与的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为，，，的周长为，请求出的值．（用、、表示）    （3）小组三发现当顶点的对称点落在边延长线上时，此时的角平分线所在直线不是对称轴．同样连接，若设三边长分别为，，，的周长为，小组二的结论还成立吗？请说明理由并求出的值．（用、、表示）    （4）拓展探究： 在中，，，，交于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．    【变式题1-3】.（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【题型2】几何图形中的角度与线段长度计算（综合性质应用） 1.期末考点总结 涉及三角形内角和、外角性质，全等/轴对称性质求线段，角平分线、垂直平分线的性质应用，侧重性质的综合运算。 2.解题攻略 角度计算抓内角和、外角等于不相邻两内角和；线段计算优先用全等转化线段，或借助角平分线、垂直平分线得等量关系。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，，两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 【变式题2-3】.（22-23八年级上·全国·单元测试）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【题型3】几何图形的动态探究问题（动点、折叠、旋转） 1.期末考点总结 核心是动点轨迹分析，折叠/旋转的性质（对应边、角相等，旋转前后图形全等），动态过程中不变量的识别。 2.解题攻略 分类讨论动点位置，抓住折叠/旋转后的全等关系，锁定不变边、角，建立等量模型；结合静止状态分析临界情况。 【例题3】.（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【变式题3-1】.（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的负半轴上，顶点在轴的正半轴上，顶点在轴正半轴上，的面积为． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发沿射线向右运动，动点从点出发沿射线向下运动，、同时出发，速度都为每秒个单位，若动点、运动的时间为秒，连接、，设的面积为，请用含的式子表示，并直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，作于，交直线于，连接，当的面积等于时，求点的坐标． 【题型4】网格情境几何性质与坐标综合计算 1.期末考点总结 核心考点：网格坐标定位、轴对称/角平分线等性质、长度/角度/面积计算 考察要求：利用网格转化条件，结合性质解决综合计算 2.解题技巧 网格定位：借格点定坐标、边长及平行/垂直关系 性质转化：将几何性质转化为坐标或数量关系 简算技巧：坐标差求长度，割补法算面积 【例题4】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点）三个顶点的坐标分别为，． (1)请在如图网格平面内画出平面直角坐标系； (2)请在如图网格平面内画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (3)若点，且轴，则的长为__________． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点（网格的格点）处，直线与网格中竖直的线相重合，请利用网格完成以下问题： (1)在图中，直接画出关于直线对称的； (2)在的边上找一点，连接，使平分的面积； (3)仅用直尺在的边上找一点，使得点到，的距离相等，并求出该距离． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图①，等腰中，，点在底边上（异于点、），点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为的“同型点” (1)当平分，，AC交于点O，，时，求证：点是的“同型点”； (2)如图②，在的正方形网格图上有一个，点，，均在格点上，在给出的网格上有一个格点，使得点为的“同型点”，在网格中画出所有这样的点； (3)凸四边形中，，，对角线、交于点，且，若点为的“同型点”，请直接写出所有满足条件的的度数． 【变式题4-3】.（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，等腰中， ，点在底边上(异于点)，点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为 的“同型点”． (1)如图， 当平分，， 交于点， ，时， 求证：点是的“同型点”； (2)如图，在的正方形网格图上有一个，点均在格点上，在给出的网格上有一个格点，使得点为的“同型点”，则满足条件的点有 个； (3)如图，在四边形中，，，且 ，若点为的“同型点”，请求出所有满足条件的 的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确理解“同型点”的定义是解题的关键． 【题型5】几何证明中的开放型问题（结论探究、条件补充） 1.期末考点总结 考查结论的合理性推导，条件补充的针对性（围绕全等、轴对称等核心性质），侧重逻辑推理的灵活性。 2.解题攻略 结论探究从已知条件出发，推导可能结论；条件补充优先补全等判定条件（缺边补边、缺角补角），确保逻辑闭环。 【例题5】.（24-25八年级上·江苏泰州·月考）如图，点、、、在一条直线上，． (1)从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是________，结论是________．（填序号） (2)在（）的条件下，设cm，动点从向终点以的速度运动，同时，动点从点向终点以的速度运动，连接，若线段恰好经过中点时，求的值． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）综合与探究 请结合图形，完成下列探究． 探究一：定理证明 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成这一定理的证明．已知：如图1，是的一个外角，求证：； 探究二：基础应用 （2）如图2，在中，，点D在边上，交于点F，．请你求出的度数，并写出求解过程； 探究三：动态探究 （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线上运动（不与点C，O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，则的度数是________． 【变式题5-2】.（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山西朔州·月考）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 即的长为2． 【题型6】几何图形与实际生活的综合应用（情境化问题） 1.期末考点总结 考查几何模型构建（三角形、全等），将实际问题转化为几何问题，侧重情境解读与性质应用。 2.解题攻略 提炼实际情境中的几何元素（如支架、路径转化为三角形），构建全等或等腰三角形模型，用几何性质求解。 【例题6】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，某公园有两个直角三角形花园（和），其中，两花园之间有一个水潭，园区工作人员计划在水潭上方修建一座小桥，现需测量水潭两侧D、E两点间的距离．已知围栏，且，．小明设计了如下测量方案：延长DC到点F，使得，连接．小明通过测量米，由此推断D、E两点间的距离为18米，请你说明该方案的原理． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·浙江·月考）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量雷峰塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长． ，， 方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离． ，， 任务一：计算方案①中雷峰塔底座的直径； 任务二：计算方案②中雷峰塔底座的直径． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图，观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 如图，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 (1)由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 ___________ 的长度； (2)第二小组设计的测量方案，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长？并说明理由． (3)第三小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）小南对发声物体的振动实验做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案 如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点 测量示意图 任务一 求证：； 任务二 经测量，得知点B到点D的距离是7cm，细绳的长是15cm，求的长． 拓展应用 如图3，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交、于点F、G，且若，，则的长为______． 故答案为： 【题型7】跨学科融合：几何图形与物理光学中的反射问题（情境化） 1.期末考点总结 考查光的反射定律（反射角=入射角），结合轴对称性质转化路径，几何图形与物理规律的结合应用。 2.解题攻略 利用轴对称作对称点，将反射路径转化为直线距离；结合三角形性质、勾股定理计算路径长度。 【例题7】.（24-25七年级下·山东济南·期中）【学科融合】：如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角． 【问题初探】： (1)如图1，当两面镜于,的夹角时，若，则______________，与的位置关系是_______________； (2)如图2，当两面镜子,的夹角，且时，入射光线经两次射后形成反射光线，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点，求的度数； (3)当两面镜子,的夹角时，在两面镜子中间点处有一点光源，如图3，若从点发射一束光射向，入射光线与镜面的夹角，反射后的光线为，再从点发射一束光射向，若使反射后的光线，求与的夹角的度数 【变式题7-1】.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖南衡阳·开学考试）为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了，两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即，．连接，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为秒． (1)如图1，当时，求两条光线的夹角的度数． (2)当时，射线与射线所在直线交于点，请在图2中画出图形并说明． (3)当射线首次从转至的过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线垂直，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题7-3】.（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．如图1，经过入射点O且垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线与法线的夹角叫做入射角．反射光线与法线的夹角叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即． （1）探究图1中入射光线与镜面所夹的锐角与反射光线与镜面所夹的锐角的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用【问题情境】（2）中获得的结论解决以下问题： 如图2，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点B在直线上． （2）与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，已知，直线绕点C顺时针旋转（）至直线，当为何值时，． （4）直线绕点 C顺时针旋转，直线与直线相交于点E，请直接写出和之间的数量关系 ． 【点睛】本题考查角的和差，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，读懂题意，理解光的反射定律，综合运用数学的相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【题型8】几何综合题中的分类讨论问题（多解情况） 1.期末考点总结 考查多解情况的识别（如点的位置、图形的形状差异），结合全等、等腰三角形性质分类求解。 2.解题攻略 按“点的位置（线上/线外）、图形类型（锐角/钝角三角形）”分类，每类独立推导； 【例题8】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， （1）如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． （3）如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知直线，点，是直线上的两个定点，点，是直线上的两个动点，射线，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在直线上，满足．与交于点，与交于点，若，且．求的度数； (3)在（2）的条件下，射线绕点以3度/秒的速度逆时针转动，射线绕点以2度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为秒． （i）当________秒时，； （ii）设直线与直线的夹角为度（），直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间的值． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． (1)如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由； (2)老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： (3)某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 同步练习 1．【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 2．综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 3．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点与点重合，展开得到折痕，设与交于点，连接，． (1)猜想和的数量关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． (2)点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 5．在等边中，点，分别在边，上． (1)如图1，若，以为边作等边，交于点，连接． 求证：①；②平分； (2)如图2，若，作，交的延长线于点，求证：． 6．已知． (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，求的度数． 7．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)填空：___________，___________ (2)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标； (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 8．综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 9．【问题提出】 （1）如图①，在等边中，，且，则的高的长度为 ； （2）如图②，在中，分别以，为边向外作等边与等边，线段，交于点，连接．求证：； 【问题解决】 （3）已知有，，三个村庄的位置如图③所示，其中村庄到，两个村庄的距离相等，且满足．现需要在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小．该项目组长按如下方法选址：连接，，，以，为边向外作等边与等边，线段，交于点，从而找到点．你认为组长的方法正确吗？请说明理由，并求出点满足条件时的的度数． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于、两点，且a，b满足，直线平分，交x轴于D点． (1)若的中点为M，连接交于N，直接写出点A、B的坐标并求证：； (2)如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接，并作等腰，其中，连接并延长交y轴于G点，当P点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变；求出它的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $