专题02 期末复习之全等三角形（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义以全等三角形为核心，通过考情分析表格系统梳理5大期末考点，涵盖概念性质、判定定理、角平分线应用等内容，结合错题警示归纳易错点，按基础、提升、培优分层呈现题型，构建“考点-易错-应用”的知识脉络，突出判定定理与动态综合的重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向的方法指导，基础题型强化对应边角识别，提升题型如网格中用坐标法判定全等培养几何直观，培优题型结合动点问题发展推理能力。生活情境题如测量池塘距离引导建立全等模型，错题警示中的“SSA不能判定”等技巧帮助学生规避错误，支持教师实施分层教学，助力不同层次学生提升应用意识与逻辑推理能力。

专题02 全等三角形 期末考点 复习目标 考察形式 1.全等三角形的概念与性质 1.掌握全等三角形的定义及对应边、对应角相等的性质； 2.理解全等变换（平移、翻折、旋转）的本质 基础题，多为选择/填空（1-2题），常结合图形识别对应元素 2.全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL） 1.熟练掌握5种判定方法的条件及适用场景； 2.能根据已知条件选择合适的判定定理 全题型覆盖：基础题（选择/填空）、中档题（解答证明）、压轴题（综合应用） 3.角平分线的性质与判定 1.掌握角平分线“到两边距离相等”及逆定理； 2.能运用性质解决线段相等、角度计算问题 基础-中档题，多为选择/填空或解答题小问，常结合垂直条件 4.全等三角形的实际应用 1.能将实际问题转化为全等三角形模型； 2.运用全等性质解决测量、方案设计等问题 提升题，解答题（1题），情境贴近生活、跨学科（如测量、考古） 5.全等与动点、最值、尺规作图综合 1.掌握动点问题中全等的动态判定； 2.结合尺规作图构造全等三角形 压轴题，解答题最后1-2题，难度较高，侧重逻辑推理与综合应用 【易错题型】 【题型1】全等三角形判定定理的易错应用 1.易错点总结 混淆“SSA”与“SAS”，误将“两边及其中一边的对角相等”作为判定依据； 忽略直角三角形“HL”的适用条件（仅针对直角三角形，需明确直角边与斜边）； 找对应边/角时出错，未结合图形的平移、翻折、旋转关系判断对应元素。 2.纠错技巧 牢记“SSA不能判定全等”，判定时需确认“角是两边的夹角”（SAS）或“直角三角形的斜边+直角边”（HL）； 优先通过“公共边、公共角、对顶角”确定对应元素，再结合全等变换规律； 证明时标注对应顶点字母，确保书写格式规范（如，对应顶点顺序一致）。 【例题1】.（25-26八年级上·广西钦州·月考）如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，如、、、、等．根据全等三角形的判定定理，逐项分析判定即可． 【详解】解：根据题意，可知， A.若，可利用“”证明，故本选项不符合题意； B. 若，可利用“”证明，故本选项不符合题意； C. 若，可利用“”证明，故本选项不符合题意； D. 若，无法证明，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由已知可得是公共角，，结合各选项的条件即可作出判断． 【详解】解：∵， A. 添加条件，根据可以证明，该选项不符合题意 B. 添加条件    ，根据可以证明，该选项不符合题意， C. 添加条件，不可以证明，该选项符合题意， D. 添加条件，连接， ∵， ∴， ∴，再根据可以证明，该选项不符合题意， 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据“”和“”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“”和“”证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． （2）解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质； （1）先根据三角形的高的定义可得，进而证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明； （3）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． 在与中，， ． （2）证明：， ． ， ， ． （3）解：， ． ， ， ． 【基础题型】 【题型2】利用全等三角形性质求线段/角度 1.期末考点总结 核心考点：全等三角形“对应边相等、对应角相等”的性质应用； 关联考点：角度和差、线段和差计算，等腰/直角三角形性质。 2.解题攻略 步骤：①先证明目标线段/角度所在的两个三角形全等；②由全等性质得出对应边/角相等；③结合图形进行和差运算； 关键：精准定位对应边/角，避免将非对应元素混淆（可通过全等三角形的符号顺序快速判断，如，则，）。 【例题2】.（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接． (1)求证：； (2)若，，平分，求线段的长度． 【答案】(1)见详解 (2)7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边的知识，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意可证，得到，由内错角相等，两直线平行即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，则，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，，，则 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高度．已知于点，于点．小明在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角．已知，，三点在同一条直线上，，，m，求办公楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等、直角三角形的性质，掌握三角形全等的证明条件是解题关键． 通过证明得，结合，算出即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 故办公楼高度为． 答：办公楼的高度为 【变式题2-3】.（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，已知，、、三点在一条直线上．若 ，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，解决本题的关键是证明与全等． 由边角边的证明方法可证明与全等，即可得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即． 故答案为： ． 【题型3】角平分线的性质与判定综合应用 1.期末考点总结 核心考点：角平分线的性质（角平分线上的点到两边距离相等）、判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上）； 关键能力：构造垂线段，转化线段相等关系。 2.解题攻略 性质应用：遇角平分线→过平分线上的点作两边的垂线段，直接得出垂线段相等； 判定应用：已知点到角两边距离相等→直接判定该点在角平分线上，可用于证明角相等； 技巧：垂线段需标注垂直符号，证明时注明“平分，，”（性质）或“，，平分”（判定）。 【例题3】.（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，平分∠，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．过作交于，根据角平分线的性质可得，由垂线段最短即可得出，此题得解． 【详解】解：过作交于， 平分，，， ， ∵点Q是射线上一个动点， ． 故选：B． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，与角平分线有关的计算，先理解题意，得出是的平分线，结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等， ∴是的平分线， ∴， 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得出．结合三角形的面积求出的值，即可求解． 【详解】解：作于点，如图： ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． ∵，， 故， 即． 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】(1)见解析； (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 【提升题型】 【题型4】网格中的全等三角形判定与计算 1.期末考点总结 核心考点：网格中利用勾股定理求边长、坐标法判断角相等，全等判定定理应用； 关键能力：数形结合，网格特征（边长为1，直角居多）的灵活运用。 2.解题攻略 步骤：①利用勾股定理计算各边长度（如水平/垂直边直接数格数，斜线边用）；②观察角的类型（网格中多为直角、角，可通过两边斜率判断垂直/平行）；③匹配SSS、SAS等判定定理； 技巧：标记网格顶点坐标，通过坐标差计算边长和角度，快速确定对应关系（如两点横纵坐标差相等→线段平行且相等，可判定平移型全等）。 【例题4】.（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，这是由边长相等的小正方形组成的网格，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， 所以， ， ∵， 所以． 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】本题考查网格与全等三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 根据网格特点证得即可得出答案． 【详解】解：如图，取网格点E，设交于点F， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·天津·期中）（1）如图①是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺作的中线． （2）如图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺作，使其面积为； （3）如图③是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，、是格点，是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点，再将平移到，使点的对应点为点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【分析】本题主要考查了借助网格作图，解决本题的关键是借助网格找线段之间的相等关系． 借助网格线找到的中点，连接线段，即为所求； 构造底边长为，高为的三角形即可； 借助网格找到的中点，再借助网格构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等确定的位置． 【详解】解：如下图所示，借助网格线找到的中点，连接线段， 线段即为的中点； 解：如下图所示，借助网格作，使，边上的高为， 则的面积为； 解：如下图所示，借助网格构造， 过的中点作交于点， 点即为中点， 连接并延长，交网格线于点， 则， 在和中，， ， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·期末）【积累经验】 我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，， ，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”证明，从而得出结论； （2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交的延长线于点，构造证明，得到，，进而得出点的坐标； （3）分别以点、点、点为直角顶点，结合图中所给的平面直角坐标系画图即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2）如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交的延长线于点， 由题意得，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， 则， ； （3）或或． 如下图，分别以点、点、点为直角顶点，结合图中所给的平面直角坐标系画图即可得出点的坐标为或或． 【题型5】全等三角形与生活情境结合 1.期末考点总结 核心考点：将实际问题转化为全等三角形模型，运用判定与性质解决测量、方案设计问题； 情境类型：测量池塘两端距离、旗杆高度、零件加工精度判断等。 2.解题攻略 建模步骤：①明确实际问题中的待求量（如池塘距离）；②构造全等三角形（如在岸边取点，使，，，构造）；③测量可直接获取的边长（如），即得待求量； 关键：构造的全等三角形需满足“可测量、易操作”，优先选择SAS、ASA构造（利用公共角、对顶角减少测量量）。 明过程需体现“猜想-验证-结论”的探究逻辑。 【例题5】.（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是 ． 【答案】58米/ 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意得到，然后利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 在和中， ∴， ∴， 即池塘两岸A，B两点的距离是58米． 故答案为：58米． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至至，使 ，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使 ，这时只要测出的长即为的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有___________； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲方案、乙方案 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）结合（1）解答即可． 【详解】（1）解：根据“边角边”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“角边角”证明，可得，所以方案乙可行， 故答案为：甲，乙； （2）证明：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， （）． ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·广东惠州·期中）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】教学楼高度的值为 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴教学楼高度的值为． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·辽宁·月考）如图，学校位于河的南岸点处，在河的对岸点的正北方向点处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点与建筑物点之间的距离． 测量学校点与建筑物点之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图       设计方案及测量数据 如图1，在点的正西方取点，延长至点，使，在点的正南方取点，使，，三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点，在点的正东方取点，使，连接，在延长线上取点，连接，使得，测得米． 任务一 判断分析 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点与点的距离，请说明理由． 任务二 推理计算 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点与点的距离． 【答案】（1）见解析；（2）50米 【分析】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，根据全等三角形的对应边相等得到，则，进而可得解． 【详解】解：（1）由题意得，， 在和中， ， ， 测量出线段的长度就可以得到点与点的距离； （2）在和中， ， ， ， ，即， 米， 米． 点与点之间的距离为50米． 【培优题型】 【题型6】全等三角形与最值问题 1.期末考点总结 核心考点：利用全等变换转化线段，结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”求最值； 关键能力：构造全等三角形，实现线段的平移、对称转化。 2.解题攻略 常见模型：①将军饮马型（如在直线上找一点，使最小，可通过全等将转化为，则）；②垂线段最短型（如求点到线段的最短距离，可通过全等转化为已知垂线段长度）； 技巧：构造全等的目的是“化折为直”或“化未知为已知”，转化后的线段需满足“两点之间线段最短”的应用条件。 【例题6】.（24-25八年级上·湖北恩施·月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)以为边作与全等的三角形，则可作出 个三角形与全等； (3)在直线l上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径的计算方法， （1）根据轴对称图象的性质作图即可； （2）根据网格特点，全等三角形的判定和性质作图即可求解； （3）根据轴对称最短路径的方法“两点之间线段最短”，作点关于的对称轴点，连接，交于点，即可求解． 【详解】（1）解：根据轴对称，作图如下， （2）解：如图所示， ∴以为边作与全等的三角形，则可作出3个三角形与全等， 故答案为：3； （3）解：如图所示，作点关于的对称轴点，连接，交于点， ∴点即为所求点的位置． 【变式题6-1】.（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】如图1，线段，，相交于点，为的中点．求证： ； 【应用】如图2，有一块不规则的土地，，点，分别在和上，以为分割线，把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性． 【答案】[发现]见解析；[应用]见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题关键． [发现]由中点定义得，由平行线的性质得、，根据即可证得； [应用] 取的中点，过点作于点，延长交于点，线段为新的分割线．利用两条平行线间垂线段最短，则此时分割线为最短，根据即可证得，可得，从而证明方案的正确． 【详解】[发现] 证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴． [应用] 解：如图，取的中点，过点作于点，延长交于点， 线段为新的分割线， 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线为最短， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴甲分割出去的土地的面积等于补还给甲的土地的面积，甲和乙的土地面积没有发生改变． 【变式题6-2】.（2025·江苏扬州·二模）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究： (1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点； (2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)当为的中点时，的面积最小，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图—作平行线，作线段： （1）证明，得到即可； （2）作射线，截取，作，交于点，连接并延长，交于点即可； （3）过点的另一条直线，分别交于点，过点作，交于点，当为的中点时，可得，进而推出，根据，推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （2）如图，即为所求； 由作图可知：，， 同（1）法可得：， ∴， ∴点P是线段的中点； （3）当为的中点时，的面积最小，理由如下： 过点的另一条直线，分别交于点，不妨设，如图， 过点作，交于点， 当为的中点时，同（1）法可知：， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， 故当为的中点时，的面积最小． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：,     B. OACBO的线段表示为：,     C. OBACO的线段表示为：,     D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【题型7】探究式全等三角形证明 1.期末考点总结 核心考点：开放型、探究型证明，需先猜想结论（如线段相等、角度相等），再通过全等证明； 关键能力：观察图形特征，提出合理猜想，逻辑推理验证。 2.解题攻略 步骤：①观察图形，结合已知条件猜想结论（如、）；②围绕猜想构造全等三角形（如连接某条线段，补全全等条件）；③证明全等，验证猜想； 技巧：猜想时可利用“特殊位置法”（如动点运动到中点、端点时的情况），再推广到一般情况，证明过程需体现“猜想-验证-结论”的探究逻辑。 【例题7】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： (1)在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则 ． 在图2中，，，，，，；则 ． (2)归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】(1)7，5； (2)见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，进而依据“”判定△和△全等得，再根据可得的长； 延长到，使，连接，先依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，进而依据“”判定△和△全等得，再根据可得的长； （2）延长到，使，连接，先证明，进而依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，继而依据“”判定△和△全等得，再根据可得线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1所示： 四边形为正方形， ，， 点是延长线上的点，且， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，，， 故答案为：7； 延长到，使，连接，如图2所示： ， ， 在△和△中， △△， ，， ，， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，，， 故答案为：5； （2）解：图3中线段，，之间的数量关系是：，证明如下： 延长到，使，连接，如图3所示： ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河南开封·期中）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ， ， ， ，… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，，连接，直接写出的面积． 【答案】(1)，补全过程见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及互余两角的关系、平行线的判定与性质等知识，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：的面积为24． 理由如下： 延长，过点作于，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， 延长，过点作于，如图4所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·四川成都·期中）【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 【答案】（1）；说明见详解（2），证明见详解（3），理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ∴，， ∵， ∴． （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线法的应用； （1）利用三角形的三角形的三边关系可得的取值范围，进而得出的取值范围； （2）通过倍长中线构造两三角形全等，将转换成，即可求得； （3）通过倍长中线构造两三角形全等，再通过论证与全等即可得到． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）如图，延长交的延长线于， ∵， ∴ ，因为点是的中点， ∴， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线 ， ∴； （3） 证明 ：延长至点，使， 连接 ∵ 是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型8】动点问题中全等三角形的存在性问题 1.期末考点总结 核心考点：动点运动中全等的存在性，分类讨论+方程思想； 关键能力：用表示线段，分析对应关系，验证取值范围。 2.解题攻略 步骤：①设，表示相关线段；②分情况列全等对应方程；③求解并验证的合理性； 技巧：明确全等的不同对应组合，避免漏解。 【例题8】.（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图直角坐标系中为原点、、坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)_____，_____； (2)当的面积等于时，求的值； (3)过作垂直于直线交于，交轴于．在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的非负性，全等三角形的性质． （1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： ，，， ，， ，， 解得，，， 故答案为：；； （2）由（1）可得，， 当点在线段上时，， 则， 解得，， 当点在线段的延长线上时，， 则， 解得，， 当或时，的面积等于； （3）如图1，当点在线段上时， ， ，即， 解得，， 如图，当点在线段的延长线上时， ， ，即， 解得，， 当或时，与全等． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图（1），；点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，理由见解析；； (2)存在，或时使得与全等 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据运动时间表示线段长度，结合全等三角形的判定条件分类讨论． （1）根据运动时间计算线段长度，利用判定，再通过角的关系判断线段位置； （2）分和两种全等情况，结合线段长度列方程组求解x的值． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 当时，， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，， ∴， ∴， ①若， 则， 即， 解得， ②若， 则， 即， 解得， 综上所述存在或使得与全等． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)______．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时， ？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查长方形的性质、全等三角形的判定与性质、行程问题中的数量关系和列方程求解速度和时间等知识和方法，第（3）题要分类讨论，且对结果进行必要的检验，以免丢解或得出不符合题意的值． （1）按照行程问题中的数量关系，用含t的式子表示的长即可； （2）由长方形的性质得，，则，列方程求出t的值即可； （3）与全等分为两种情况，即，或，，先根据点P的运动距离求出时间，再根据点Q的运动时间和距离求出点Q的运动速度v． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 故答案为：； （2）∵四边形是长方形， ∴． 如图1，当时，， ∴， 解得； ∴当时，， （3）解：①如图2，当，时，， ∵， ∴， 由，得， ∴， 解得； ②如图3，当，时，， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 解得． 综上所述，或． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，AD、BE相交于点O，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点从点B出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、线段的和差等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质以及分类讨论的思想是解题的关键． （1）由、可得，通过即可证明结论； （2）分如图2和如图3两种情况，分别进行求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵是边上的高，是边上的高， ， ∴、， ∴， 在和中， ， ． （2）解：存在， 如图2，当时， ∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴，解得：； 如图3，当时， ∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴，解得：． 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 先根据全等三角形的对应角相等求，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，于点于点D，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解:由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：C． 4．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了全等判定定理及角平分线判定定理，解决本题的关键是灵活使用全等的方法证明两个三角形全等． ①：根据题意得，进而利用“”进行证明全等；②：根据可得，则，进而利用“”进行证明全等；③：根据可得，再依据角平分线判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴，故②正确； ∴， 又∵于点E，于点F， ∴点D在的平分线上，故③正确， 综上所述，正确的有：①②③， 故选D． 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． 先根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质得出，即可判断①，结合三角形内角和定理即可判断②，过点作，垂足分别为，证明，根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用角平分线的性质解答即可判断④． 【详解】解：∵， ， 即， 在与中 ， ， ，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 过点作，垂足分别为， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 平分，故④正确； 不能证明平分，故③错误； 故选：C． 6．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．过点作于点，先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26八年级上·福建莆田·期中）小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角，其中，，如图，点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你帮助小明，点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 作，作，证明，根据相等的线段推出坐标． 【详解】如图，作，作， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴点B的横坐标，纵坐标为： ∴B点的坐标为 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再由，得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时， s． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 10．（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质；作于点，由平分交于点，于点，得，根据，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， 是的角平分线， 平分交于点， 于点，于点， ， ∵，， 解得： 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出，两点的坐标；，； (2)连接，当点在轴的负半轴上时， ①用含的代数式表示的面积； ②当为何值时，的面积等于的面积？ (3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②当为1时，的面积等于的面积 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了绝对值与乘方的非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，一元一次方程，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）①由题意得，，由三角形面积公式即可求解； ②先求出的面积，再根据的面积等于的面积，列出一元一次方程，求出t的值即可； （3）分两种情况，，，利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图 ∵，， ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， 答：当为1时，的面积等于的面积． （3）解：存在，理由如下： ①当时，则， 如图，当点Q在y轴正半轴上时，； ②当时，则， 如图，当点Q在y轴正半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点是的边延长线上一点． (1)在上方求作，使．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图（作一个角等于已知角），平行线的判定和性质， （1）利用基本作图作出图形即可； （2）根据平行线的判定得，再利用平行线的性质可得答案． 掌握基本作图及平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 13．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，，与相交于点F．若_____，求证：． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是关键．若选择条件①，根据“边角边”证明，即可得到结论；若选择条件②，根据“角边角”证明，即可得到结论；若选择条件③，连接，先证明，得到，再根据“角边角”证明，即可得到结论． 【详解】解：选择条件①的证明： 在和中， ， ， ； 选择条件②的证明： 在和中， ； 选择条件③的证明：连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 14．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，，过点作射线，点从点出发沿射线以的速度运动．同时点从点出发沿射线以速度运动，连接交于点，设点运动时间为． (1)求证∶． (2)求的长（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是判断出，是一道基础题目． （1）先判断出，再有运动得出，即可得出结论； （2）先得出，再分点在线段和的延长线上，用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 由运动知，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ，当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，． 15．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， 由（2）得， ∴， 的周长为：， 故答案为：或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 期末考点 复习目标 考察形式 1.全等三角形的概念与性质 1.掌握全等三角形的定义及对应边、对应角相等的性质； 2.理解全等变换（平移、翻折、旋转）的本质 基础题，多为选择/填空（1-2题），常结合图形识别对应元素 2.全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL） 1.熟练掌握5种判定方法的条件及适用场景； 2.能根据已知条件选择合适的判定定理 全题型覆盖：基础题（选择/填空）、中档题（解答证明）、压轴题（综合应用） 3.角平分线的性质与判定 1.掌握角平分线“到两边距离相等”及逆定理； 2.能运用性质解决线段相等、角度计算问题 基础-中档题，多为选择/填空或解答题小问，常结合垂直条件 4.全等三角形的实际应用 1.能将实际问题转化为全等三角形模型； 2.运用全等性质解决测量、方案设计等问题 提升题，解答题（1题），情境贴近生活、跨学科（如测量、考古） 5.全等与动点、最值、尺规作图综合 1.掌握动点问题中全等的动态判定； 2.结合尺规作图构造全等三角形 压轴题，解答题最后1-2题，难度较高，侧重逻辑推理与综合应用 【易错题型】 【题型1】全等三角形判定定理的易错应用 1.易错点总结 混淆“SSA”与“SAS”，误将“两边及其中一边的对角相等”作为判定依据； 忽略直角三角形“HL”的适用条件（仅针对直角三角形，需明确直角边与斜边）； 找对应边/角时出错，未结合图形的平移、翻折、旋转关系判断对应元素。 2.纠错技巧 牢记“SSA不能判定全等”，判定时需确认“角是两边的夹角”（SAS）或“直角三角形的斜边+直角边”（HL）； 优先通过“公共边、公共角、对顶角”确定对应元素，再结合全等变换规律； 证明时标注对应顶点字母，确保书写格式规范（如，对应顶点顺序一致）。 【例题1】.（25-26八年级上·广西钦州·月考）如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 【基础题型】 【题型2】利用全等三角形性质求线段/角度 1.期末考点总结 核心考点：全等三角形“对应边相等、对应角相等”的性质应用； 关联考点：角度和差、线段和差计算，等腰/直角三角形性质。 2.解题攻略 步骤：①先证明目标线段/角度所在的两个三角形全等；②由全等性质得出对应边/角相等；③结合图形进行和差运算； 关键：精准定位对应边/角，避免将非对应元素混淆（可通过全等三角形的符号顺序快速判断，如，则，）。 【例题2】.（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接． (1)求证：； (2)若，，平分，求线段的长度． 【变式题2-1】.（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，，，则 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高度．已知于点，于点．小明在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角．已知，，三点在同一条直线上，，，m，求办公楼的高度． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，已知，、、三点在一条直线上．若 ，则的度数为 ． 【题型3】角平分线的性质与判定综合应用 1.期末考点总结 核心考点：角平分线的性质（角平分线上的点到两边距离相等）、判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上）； 关键能力：构造垂线段，转化线段相等关系。 2.解题攻略 性质应用：遇角平分线→过平分线上的点作两边的垂线段，直接得出垂线段相等； 判定应用：已知点到角两边距离相等→直接判定该点在角平分线上，可用于证明角相等； 技巧：垂线段需标注垂直符号，证明时注明“平分，，”（性质）或“，，平分”（判定）。 【例题3】.（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，平分∠，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题3-1】.（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，，，则的长为 ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【提升题型】 【题型4】网格中的全等三角形判定与计算 1.期末考点总结 核心考点：网格中利用勾股定理求边长、坐标法判断角相等，全等判定定理应用； 关键能力：数形结合，网格特征（边长为1，直角居多）的灵活运用。 2.解题攻略 步骤：①利用勾股定理计算各边长度（如水平/垂直边直接数格数，斜线边用）；②观察角的类型（网格中多为直角、角，可通过两边斜率判断垂直/平行）；③匹配SSS、SAS等判定定理； 技巧：标记网格顶点坐标，通过坐标差计算边长和角度，快速确定对应关系（如两点横纵坐标差相等→线段平行且相等，可判定平移型全等）。 【例题4】.（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，这是由边长相等的小正方形组成的网格，则 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【变式题4-2】.（25-26八年级上·天津·期中）（1）如图①是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺作的中线． （2）如图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺作，使其面积为； （3）如图③是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，、是格点，是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点，再将平移到，使点的对应点为点． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·期末）【积累经验】 我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，， ，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 【题型5】全等三角形与生活情境结合 1.期末考点总结 核心考点：将实际问题转化为全等三角形模型，运用判定与性质解决测量、方案设计问题； 情境类型：测量池塘两端距离、旗杆高度、零件加工精度判断等。 2.解题攻略 建模步骤：①明确实际问题中的待求量（如池塘距离）；②构造全等三角形（如在岸边取点，使，，，构造）；③测量可直接获取的边长（如），即得待求量； 关键：构造的全等三角形需满足“可测量、易操作”，优先选择SAS、ASA构造（利用公共角、对顶角减少测量量）。 明过程需体现“猜想-验证-结论”的探究逻辑。 【例题5】.（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至至，使 ，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使 ，这时只要测出的长即为的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有___________； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·广东惠州·期中）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·辽宁·月考）如图，学校位于河的南岸点处，在河的对岸点的正北方向点处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点与建筑物点之间的距离． 测量学校点与建筑物点之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图       设计方案及测量数据 如图1，在点的正西方取点，延长至点，使，在点的正南方取点，使，，三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点，在点的正东方取点，使，连接，在延长线上取点，连接，使得，测得米． 任务一 判断分析 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点与点的距离，请说明理由． 任务二 推理计算 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点与点的距离． 【培优题型】 【题型6】全等三角形与最值问题（培优） 1.期末考点总结 核心考点：利用全等变换转化线段，结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”求最值； 关键能力：构造全等三角形，实现线段的平移、对称转化。 2.解题攻略 常见模型：①将军饮马型（如在直线上找一点，使最小，可通过全等将转化为，则）；②垂线段最短型（如求点到线段的最短距离，可通过全等转化为已知垂线段长度）； 技巧：构造全等的目的是“化折为直”或“化未知为已知”，转化后的线段需满足“两点之间线段最短”的应用条件。 【例题6】.（24-25八年级上·湖北恩施·月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)以为边作与全等的三角形，则可作出 个三角形与全等； (3)在直线l上找一点，使的长最短． 【变式题6-1】.（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】如图1，线段，，相交于点，为的中点．求证： ； 【应用】如图2，有一块不规则的土地，，点，分别在和上，以为分割线，把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性． 【变式题6-2】.（2025·江苏扬州·二模）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究： (1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点； (2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 【题型7】探究式全等三角形证明（培优） 1.期末考点总结 核心考点：开放型、探究型证明，需先猜想结论（如线段相等、角度相等），再通过全等证明； 关键能力：观察图形特征，提出合理猜想，逻辑推理验证。 2.解题攻略 步骤：①观察图形，结合已知条件猜想结论（如、）；②围绕猜想构造全等三角形（如连接某条线段，补全全等条件）；③证明全等，验证猜想； 技巧：猜想时可利用“特殊位置法”（如动点运动到中点、端点时的情况），再推广到一般情况，证明过程需体现“猜想-验证-结论”的探究逻辑。 【例题7】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： (1)在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则 ． 在图2中，，，，，，；则 ． (2)归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河南开封·期中）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ， ， ， ，… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，，连接，直接写出的面积． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·四川成都·期中）【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【题型8】动点问题中全等三角形的存在性问题（培优） 1.期末考点总结 核心考点：动点运动中全等的存在性，分类讨论+方程思想； 关键能力：用表示线段，分析对应关系，验证取值范围。 2.解题攻略 步骤：①设，表示相关线段；②分情况列全等对应方程；③求解并验证的合理性； 技巧：明确全等的不同对应组合，避免漏解。 【例题8】.（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图直角坐标系中为原点、、坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)_____，_____； (2)当的面积等于时，求的值； (3)过作垂直于直线交于，交轴于．在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图（1），；点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)______．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时， ？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，AD、BE相交于点O，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点从点B出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，于点于点D，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 7．（25-26八年级上·福建莆田·期中）小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角，其中，，如图，点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你帮助小明，点B的坐标为 ． 8．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 9．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时， s． 10．（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出，两点的坐标；，； (2)连接，当点在轴的负半轴上时， ①用含的代数式表示的面积； ②当为何值时，的面积等于的面积？ (3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点是的边延长线上一点． (1)在上方求作，使．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知，，求的度数． 13．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，，与相交于点F．若_____，求证：． 14．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，，过点作射线，点从点出发沿射线以的速度运动．同时点从点出发沿射线以速度运动，连接交于点，设点运动时间为． (1)求证∶． (2)求的长（用含的代数式表示）． 15．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $