第01讲 集合讲义-2026年艺体生高三数学一轮复习资料（新高考新题型）

第01讲 集合 考向一 元素与集合、集合与集合的关系 1. 元素与集合的关系：和 2. 集合与集合的关系： 3. 常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 【例1】（2025·江苏·模拟预测）已知集合，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解方程得，所以，根据元素与集合的关系故A正确； 空集是任何集合的子集，所以，故B正确； 表示无理数组成的集合，均为无理数，所以，故C正确； 表示的是集合，所以，故D错误. 故选：D. 【一隅三反】 1．（24-25重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：D. 2．（24-25河南安阳）已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解析】由可得：则，所以， 则，，，.故选：D. 3.（2025·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合， 对于A，因为，故选项A错误； 对于B，是一个集合，且，故选项B错误； 对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误； 对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，故选：D. 考向二 子集个数 1.概念的辨析 2. 子集的个数 【例2-1】（2026·河北邢台·一模）已知集合 ，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．32 【答案】C 【解析】解不等式可得，所以， 因为，所以， 故的子集为，故子集个数为. 故选：C. 【例2-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【解析】由，整理可得，解得或， 则，设，所以，可得. 故选：B. 【一隅三反】 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则的所有子集的个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【解析】由， 所以的所有子集的个数为. 故选：A 2．（2025·山西）已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A．8 B．7 C．16 D．15 【答案】B 【解析】因为，， 将中元素代入，验证可得， 所以的真子集的个数为. 故选：B. 3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【答案】7 【解析】由⫋，则集合中一定有元素，且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个.故答案为：7. 考向三 集合的运算 交集与并集做题口诀：交同并全，下交上并；数字集合，仔细看看；不等式子，画出数轴 【例3-1】（2026·河北·模拟预测）已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，，所以，故选：C 【例3-2】（2026·陕西宝鸡·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以. 故选：B 【例3-3】（2026·吉林·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，选项B正确.故选：B. 【例3-4】（2025·黑龙江吉林）已知全集，，则集合 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，集合中没有元素，，故AC错误； 若，则， 又，则，不符合题意，排除选项B， 若，则， 又，则，符合，故D正确． 故选：D 【例3-5】．（2026·甘肃甘南·模拟预测）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得． 故选：B. 【例3-6】．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】或，. 则或，， ，或. 故选：A 【例3-7】．（2025·四川德阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式，解得或， 所以集合或， 解得，即， 所以集合， 所以. 故选：B 【例3-8】．（2026·江苏徐州·模拟预测）设集合 ，， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且由定义域知道， 所以，显然，所以；故选：C. 【一隅三反】 1．（2026·陕西渭南·一模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵集合，，∴，又∵全集，∴， 故选：D 2．（2026·陕西西安·一模）设全集，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，，， 又因为全集 ，所以 中剩下的元素 必须在 中 所以.故选：B. 3．（2026·河北沧州·一模）已知集合，则中的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】不等式，解得， 所以，又， 可得，即中元素的个数为3. 故选：C 4．（25-26重庆）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合或， 当且时，与的公共元素为； 当且时，与的公共元素为， 所以. 故选：B 5．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，，所以. 故选：C. 6．（25-26河南）设集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以或， 又因为，所以． 故选：B. 7．（2025·湖南长沙·二模）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 所以. 故选：B 8．（2025·安徽·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，则或，. 故选：D. 9．（2025·湖北·模拟预测），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数有意义，须满足，即， 即，解得，所以. 因为，所以，即.故选：C 考向四 集合中元素的特征 【例4】（25-26江苏苏州）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【解析】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 【一隅三反】 1.（2024·广东江门·一模）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【答案】C 【解析】根据条件分别令，解得， 又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故选：C． 2.（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以必有，且， 又，则和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素. 若，则必有. 故选：C 3.（2025年广东）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【解析】因为，即，所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得，故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为.故答案为： 4.（2024·高三·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 【答案】1 【解析】因为，显然，故，则； 此时两集合分别是，则，解得或.当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意.所以故答案为：. 考向五 集合间的关系求参数 【例5-1】（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由于，故，由知或， 即或，注意到，故由元素互异性知，故，故选：C． 【例5-2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【解析】因为集合，，所以，解得.故选：C 【例5-3】（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解集合，解集合， 因为，所以，故选：B. 【例5-4】（24-25高三上·河北承德）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，且满足，，所以当时满足， 此时，解得，当时，则有，解得,综上，， 即实数的取值范围为．故选：A． 【一隅三反】 1．（2026·云南·模拟预测）设集合，若是的子集，则实数（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】因为，，，， 所以或，且， 解得或0， 当时，，不符合集合中元素的互异性， 当时，，，，满足题意， 故选：B. 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 故选：D 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且. 若，则，满足； 若，则，此时， 因为，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 考向六 集合间的运算求参数 集合运算常用的性质： ①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∩B＝A∪B⇔A＝B. 【例6-1】（2026·湖北荆州·一模）集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，又集合，，可得， 所以实数a的取值范围是.故选：C. 【例6-2】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 所以是方程的根，则，解得， 故，合乎题意，故. 故选：C 【例6-3】（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，又，所以，得.故选：C. 【一隅三反】 1．（2024·四川绵阳·一模）集合，，且，实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【解析】由集合，且，又由，可得， 当时，此时集合，满足； 当时，可得，要使得，则满足或，解得或， 综上可得，实数的值为或或.故选：D. 2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，解得，所以， 又，所以，所以实数的取值范围是. 故选：C. 3（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABC 【解析】由已知得：，令 A：若，即是方程的两个根，则，得，正确； B：若，则，解得，正确； C：当时，，解得或，正确； D：当时，有，所以，错误； 故选：ABC. 考向七 函数集合 函数集合 1. 求函数的定义域 （1） 分式：分母不为0 （2） 根式：开偶次方根，开方数大于等于0 （3） 对数：对数的真数大于0 （4） 零次方：一个数的零次方为1，这个数不为0 （5） 正切： 2. 求函数的值域--借助单调性 【例7-1】（25-26高三上·安徽·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，则，即， 又由可得，则，即， ∴. 故选：A. 【例7-2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， 得，，所以．故选：C． 【一隅三反】 1．（2026·吉林白山·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使 有意义，只需，即 ，所以 ； 又因为 ，所以.故选：C 2．（25-26高三上·北京西城·月考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，，所以，所以.故选：B 3．（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A表示函数定义域，则；B表示函数值域，则.从而. 故选：D 考向八 韦恩图 【例8-1】（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以，， 而阴影部分表示的集合是， 则图中阴影部分表示的集合是，故B正确. 故选：B 【例8-2】（2025北京）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以集合表示为. 故选：A. 【例8-3】.（2025辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ） A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 【答案】BCD 【解析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为. 故选：BCD． 【一隅三反】 1.（24-25 福建莆田·期中）已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由，得或， 韦恩图中阴影部分表示的集合为，而， 所以，阴影部分表示的集合的元数个数为3. 故选：B 2．（24-25 陕西咸阳·期中）（多选）某高中为了迎接元旦的到来，在元旦前一周举办了主题为“迎元旦，向未来”的趣味运动会，其中共有20名同学参加拔河､四人足球､羽毛球三个项目，其中有12人参加拔河，有10人参加四人足球，有8人参加羽毛球，拔河和四人足球都参加的有3人，拔河和羽毛球都参加的有4人，四人足球和羽毛球都参加的有5人，则（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加拔河的有6人 C．只参加四人足球的有4人 D．只参加羽毛球的有1人 【答案】ACD 【解析】设三项比赛都参加的有人，根据题意，参加各个项目的人数如图所示. 由，且，解得， 所以三项比赛都参加的有2人，A选项正确； 只参加拔河的有7人，B选项错误； 只参加四人足球的有4人，C选项正确； 只参加羽毛球的有1人，D选项正确.    故选：ACD. 3．（2025云南）已知全集是实数集R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】，即，解得或， 所以或，又， 所以或， 阴影部分所表示的集合为. 故选：. 4．（24-25吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 1． 单选题 1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得.故选：C. 2．（2026·重庆九龙坡·一模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ，，，故选项A正确. 故选：A. 3．（25-26高三上·云南楚雄·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得．故选：B． 4．（2025·云南·模拟预测）若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，所以，又，则. 故选：B. 5．（2025·四川资阳·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，，所以故选：C. 6．（2025·云南·模拟预测）若集合，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】不等式，可得.又，故，其子集的个数为个. 故选:B 7．（2025·内蒙古赤峰·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意有：，所以，所以， 故选：B. 8．（2025·河南·模拟预测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， ，所以. 故选：B. 9．（2026·福建·一模）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合中所有元素为奇数，集合中的元素是集合中两个元素之和，而两个奇数之和必为偶数，所以集合中所有元素均为偶数。因此和没有公共元素，故． 故选：D 10．（2026·四川绵阳·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合， 因为，所以. 故选：C. 11．（2026·河南开封·一模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由交集运算可知，. 故选：A. 12．（25-26高三上·安徽·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是增函数，且，所以满足的最小整数为3， 所以.故选：D. 13．（2026·广东茂名·一模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，集合，所以.故选：A． 14．（2026·吉林长春·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，如图：    所以. 故选：B. 15．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，则中元素的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，则.故选：B. 16．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知全集，且集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由补集的概念可得．故选：B. 17．（2025·广东江门·模拟预测）若集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，因为，但，所以不成立，故A错误； 对B，因为，但，所以不成立，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 18．（25-26高三上·重庆·月考）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 且全集，故. 故选：D. 19．（25-26高三上·重庆·月考）已知全集 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，，所以.故选：B 20．（25-26安徽）如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，选项C正确. 故选：C. 21．（2025·浙江台州·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，集合. 所以. 故选：D. 22．（2025·山东临沂·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，，则. 故选：A． 23．（2025·河南南阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，所以由，可得， 所以. 故选：C. 24．（2025·广西·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合， 且集合，所以. 故选：C. 25．（2025·四川成都·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式，可得，即， 又由，可得，解得，即， 所以. 故选：A. 26．（2025·江苏南通·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】不等式，解得， 即，而， 所以或. 故选：D 27．（2025·陕西西安·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 等价于，解得，所以， 又因为，故. 故选：C. 28．（24-25高三上·安徽·期中）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，即，由可得， 即，则.故选：C. 29．（2026·重庆·一模）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以. 故选：A 30．（2026·四川广安·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因表示奇数集，而，故.故选：D. 31．（2026·河北沧州·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 即，解得， 集合，又，所以， 故选：D． 32．（2026·陕西西安·一模）集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，；当时，；当时，；当时，， 故，，. 故选：A. 33．（2026·陕西咸阳·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合， 所以， 故选：B. 34．（2026·陕西西安·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是实数集上的增函数， 所以由， 因此，而集合， 所以. 故选：B 35．（2025·广东汕尾·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ， . 故选：B 36．（2026·黑龙江大庆·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的定义域为，所以， 所以. 故选：A. 27．（2025·新疆·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得，故， 又，故. 故选：A 28．（24-25云南曲靖·期末）已知全集，，，则集合中非空子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 则，所以， 则集合的非空子集的个数为. 故选：C. 29（24-25高三下·湖北·开学考试）已知集合，则P的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【解析】由，解得或，所以， 所以P的真子集个数为故选：A. 30.（24-25湖南衡阳·期末）已知集合，，则满足的集合C的个数为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】依题意，， ， 因为， 所以集合为：，，，，，，， 所以集合C的个数为7. 故选：C 31.（23-24高三上·河北保定·开学考试）已知集合，，则的真子集的个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．8 【答案】B 【解析】由， 又，所以. 由， 又，所以. 所以，有4个元素. 所以真子集的个数为：. 故选：B. 32．（2025·福建）集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对数函数定义域可得， 由指数函数的值域可得， 所以. 故选：B. 33.（2025高三·全国·专题练习）集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，则， 所以． 故选：B． 34.（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对数函数是上的减函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的增函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 35．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1 【答案】B 【解析】由题意得，则且. 若，解得，不合题意，舍去. 若，解得（舍去）或，则. 此时，，符合题意，故. 故选：B. 36.（2025·广东广州·一模）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因，则，则实数的取值范围是. 故选：D. 37.（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以当，即时，，满足，即； 当，即时，，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 38.（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以当时满足题意，此时， 当时，要满足题意，则有 综上实数的取值范围为. 故选：A 39（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 40.（2025·河北·三模）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合 考向一 元素与集合、集合与集合的关系 1. 元素与集合的关系：和 2. 集合与集合的关系： 3. 常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 【例1】（2025·江苏·模拟预测）已知集合，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25河南安阳）已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C．0 D．1 3.（2025·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 考向二 子集个数 1.概念的辨析 2. 子集的个数 【例2-1】（2026·河北邢台·一模）已知集合 ，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．32 【例2-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【一隅三反】 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则的所有子集的个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 2．（2025·山西）已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A．8 B．7 C．16 D．15 3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 考向三 集合的运算 交集与并集做题口诀：交同并全，下交上并；数字集合，仔细看看；不等式子，画出数轴 【例3-1】（2026·河北·模拟预测）已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·陕西宝鸡·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（2026·吉林·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（2025·黑龙江吉林）已知全集，，则集合 （ ） A． B． C． D． 【例3-5】．（2026·甘肃甘南·模拟预测）集合，则（    ） A． B． C． D． 【例3-6】．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3-7】．（2025·四川德阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例3-8】．（2026·江苏徐州·模拟预测）设集合 ，， 则 （    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026·陕西渭南·一模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）设全集，若，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北沧州·一模）已知集合，则中的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26重庆）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26河南）设集合，则（　　） A． B． C． D． 7．（2025·湖南长沙·二模）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北·模拟预测），，则（    ） A． B． C． D． 考向四 集合中元素的特征 【例4】（25-26江苏苏州）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【一隅三反】 1.（2024·广东江门·一模）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 2.（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（   ） A． B． C． D． 3.（2025年广东）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 4.（2024·高三·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 考向五 集合间的关系求参数 【例5-1】（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例5-2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【例5-3】（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-4】（24-25高三上·河北承德）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026·云南·模拟预测）设集合，若是的子集，则实数（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考向六 集合间的运算求参数 集合运算常用的性质： ①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∩B＝A∪B⇔A＝B. 【例6-1】（2026·湖北荆州·一模）集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【例6-3】（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·四川绵阳·一模）集合，，且，实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 考向七 函数集合 函数集合 1. 求函数的定义域 （1） 分式：分母不为0 （2） 根式：开偶次方根，开方数大于等于0 （3） 对数：对数的真数大于0 （4） 零次方：一个数的零次方为1，这个数不为0 （5） 正切： 2. 求函数的值域--借助单调性 【例7-1】（25-26高三上·安徽·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026·吉林白山·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京西城·月考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考向八 韦恩图 【例8-1】（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（2025北京）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【例8-3】.（2025辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ） A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 【一隅三反】 1.（24-25 福建莆田·期中）已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25 陕西咸阳·期中）（多选）某高中为了迎接元旦的到来，在元旦前一周举办了主题为“迎元旦，向未来”的趣味运动会，其中共有20名同学参加拔河､四人足球､羽毛球三个项目，其中有12人参加拔河，有10人参加四人足球，有8人参加羽毛球，拔河和四人足球都参加的有3人，拔河和羽毛球都参加的有4人，四人足球和羽毛球都参加的有5人，则（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加拔河的有6人 C．只参加四人足球的有4人 D．只参加羽毛球的有1人 3．（2025云南）已知全集是实数集R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C．或 D． 4．（24-25吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 1． 单选题 1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆九龙坡·一模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·云南楚雄·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·模拟预测）若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川资阳·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·模拟预测）若集合，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 7．（2025·内蒙古赤峰·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南·模拟预测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·福建·一模）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 10．（2026·四川绵阳·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南开封·一模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·安徽·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026·广东茂名·一模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026·吉林长春·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，则中元素的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知全集，且集合满足，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025·广东江门·模拟预测）若集合，，则（　　） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·重庆·月考）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·重庆·月考）已知全集 ，则 （   ） A． B． C． D． 20．（25-26安徽）如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 21．（2025·浙江台州·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·山东临沂·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·河南南阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025·广西·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 25．（2025·四川成都·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．（2025·江苏南通·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．（2025·陕西西安·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高三上·安徽·期中）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 29．（2026·重庆·一模）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 30．（2026·四川广安·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 31．（2026·河北沧州·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 32．（2026·陕西西安·一模）集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 33．（2026·陕西咸阳·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 34．（2026·陕西西安·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 35．（2025·广东汕尾·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 36．（2026·黑龙江大庆·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025·新疆·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 28．（24-25云南曲靖·期末）已知全集，，，则集合中非空子集个数为（   ） A． B． C． D． 29（24-25高三下·湖北·开学考试）已知集合，则P的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 30.（24-25湖南衡阳·期末）已知集合，，则满足的集合C的个数为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 31.（23-24高三上·河北保定·开学考试）已知集合，，则的真子集的个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．8 32．（2025·福建）集合，则（    ）． A． B． C． D． 33.（2025高三·全国·专题练习）集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 34.（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 35．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1 36.（2025·广东广州·一模）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37.（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38.（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40.（2025·河北·三模）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $