3.3.1抛物线及其标准方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1　抛物线及其标准方程 【学习目标】 1. 理解抛物线的定义及焦点、准线的概念，能解决简单的求抛物线的标准方程问题. 2. 感受坐标法及数形结合的思想，领悟数学抽象、直观想象等素养. 【学习重难点】重点：掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 难点：抛物线几种形式的理解. 【知识梳理】 1. 抛物线的定义:平面内到一个定点和一条定直线(点不在上) 的 的点的轨迹叫做抛物线．定点叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 ． 【注意】定点不在定直线上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点且垂直于直线的一条直线． 2. 抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 3. 过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的 ． 【概念辨析】 1.抛物线的焦点坐标为 ． 2.抛物线的准线方程是 ． 3.已知动点到定点的距离和它到直线：的距离相等，则点的轨迹方程为________． 【典例分析】 例1、求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上； (4)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为. 例2、（1）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． （2）已知点是抛物线上的一个动点，求点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值． （3）已知点是抛物线上的一个动点，点， 求 (为抛物线的焦点)的最小值及此时点的坐标． 例3、2023年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，如图，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度． 【当堂训练】 1.已知抛物线的焦点为，是上一点，，则等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽________米． 3.（多选题）过点的抛物线的标准方程可以为(　　) A． B. C． D． 4.如图，已知为抛物线上的动点,过分别作轴与直线的垂线,垂足分别为,则的最小值为　　　　.  【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1　抛物线及其标准方程 【学习目标】 1. 理解抛物线的定义及焦点、准线的概念，能解决简单的求抛物线的标准方程问题. 2. 感受坐标法及数形结合的思想，领悟数学抽象、直观想象等素养. 【学习重难点】 重点：掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 难点：抛物线几种形式的理解. 【知识梳理】 1. 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(点F不在l上) 的 的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 ． 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线． 2. 抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 3. 过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的 ． 1. 距离相等 焦点 准线 2. 3. 焦点弦 【概念辨析】 1．抛物线y＝x2的焦点坐标为(　 ) A．(0,4) B. C．(4,0) D. 解析：选A　抛物线y＝x2的标准形式为x2＝16y，其焦点在y轴上，坐标为(0,4)． 2. 抛物线x2＝－8y的准线方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．y＝2 D．y＝4 C 【解析】x2＝－8y的准线方程为y＝2.故选C. 3. 已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离相等，则点P的轨迹方程为________． 【解析】 由抛物线的定义知，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点P的轨迹方程为. 【典例分析】 例1、求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)顶点在原点，准线方程为y＝4； (2)顶点在原点，且过点(－3,2)； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5. 解：(1)由题意顶点在原点，准线方程为y＝4， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且＝4，∴p＝8， 故抛物线标准方程为x2＝－16y. (2)由题意顶点在原点，且过点(－3,2)，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为x2＝2py(p>0)或y2＝－2p′x(p′>0)， 分别将(－3,2)代入，解得p＝，p′＝， 故抛物线标准方程为x2＝y或y2＝－x. (3)由于直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为(4,0)，由题意可知抛物线焦点为(4,0)，则＝4，∴p＝8，故抛物线标准方程为y2＝16x. (4)由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5， 则设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，焦点为，准线方程为x＝－，故3－＝5，∴p＝4，故抛物线标准方程为y2＝8x. 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [提醒]　当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．　　 例2、（1）若抛物线上一点P到其焦点F的距离为10，则点P的坐标为(　　) A．(8,8) B．(8，－8) C．(8，±8) D．(－8，±8) C 【解析】 设点P.由题意知，由，可得，所以，.故选C. （2）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，当点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线，即P在P′位置时所求距离之和最小，所以距离之和的最小值为d＝＝. （3）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，点A(3,2)， 求|PA|＋|PF|(F为抛物线的焦点)的最小值及此时点P的坐标． 解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±. 所以点A在抛物线内部． 设点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 由图可知，当PA⊥l，即P在P′位置时，|PA|＋d最小，最小值是.即|PA|＋|PF|的最小值是. 例3、2023年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，如图，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度． 解：如图所示，以 AB 中点为原点建立平面直角坐标系， 由题意得 A(－6,0)，B(6,0)，C(0，6)，设该抛物线的解析式为 y＝ax2＋c，代入 A，C 点坐标得 解得 故该抛物线解析式为 y＝－x2＋6，令 x＝4，解得 y＝，又 －2＝.故所搭舞台的最大高度为 米． 【当堂训练】 1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A解析　∵＋x0＝x0，∴x0＝1. 2．如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽________米． 答案　2 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以抛物线的方程为x2＝－2y，水位下降1米后，y＝－3，代入得x2＝6，所以此时水面宽为2米． 3. （多选题）过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　) A．y2＝x B. y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y AD【解析】当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.故选AD. 4. 如图，已知P为抛物线y2=4x上的动点,过P分别作y轴与直线xy+4=0的垂线,垂足分别为A,B,则PA+PB的最小值为　　　　.  【解析】抛物线的准线方程是,焦点，根据抛物线的几何性质知,抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,所以|PA|+|PB|=|PF|+|PB|1,|PF|+|PB|的最小值就是点F到直线xy+4=0的距离,所以点F到直线的距离，即|PA|+|PB|的最小值为. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $