3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线的定义、标准方程及几何性质，通过明确导学目标衔接圆锥曲线前期内容，以知识要点表格为支架梳理四种标准方程的焦点、准线等性质，帮助学生构建知识脉络。 例题分层设计涵盖定义辨析、实际应用等题型，结合教材习题强化基础，实际应用问题引导学生用数学眼光观察现实世界，定义应用与最值问题培养数学思维，表格化呈现助力规范数学语言表达，提升学习效率与核心素养。

高中数学选择性必修一导学案 第三章 圆锥曲线方程 §3.3.1 抛物线及其标准方程【导学】 导学目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．【重点】 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．【易错点】 3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．【难点】 【知识要点】 抛物线 抛物线的 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线 ． 抛物线的 几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图 形 性质 焦 点 准 线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范 围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶 点 (0,0) 离心率 e＝1 焦半径 |AF|＝x1＋ |AF|＝-x1＋ |AF|＝y1＋ |AF|＝-y1＋ 焦点弦长 |AB|＝x1＋x2+p |AB|＝-x1-x2+p |AB|＝y1＋y2+p |AB|＝-y1-y2+p 抛物线的实际应用 利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量． 【典型例题】 题型一 抛物线定义的理解 【例1-1】 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．抛物线的方程都是二次函数．(　 　) 2．抛物线的焦点到准线的距离是p.(　 ) 3．抛物线的开口方向由一次项确定．(　 　) 4. 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) 5. y＝4x2的焦点坐标为(1,0)．(　　) 6. 以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y．(　　) 【例1-2】（衔接教材P133T3）填空 （1） 抛物线y2＝2px(p＞0) 上一点M与焦点间的距离是a(a>),则点M到准线的距离是 ，点M的横坐标是 ； （2） 抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 。 题型二 求抛物线的标准方程 【例2-1】（衔接教材P133T3）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点是F(3，0)； (2)准线方程为； (3)焦点到准线的距离为2. 【例2-2】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)经过点(－2，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－6＝0与坐标轴的交点． 题型三 抛物线定义的应用 【例3-1】已知抛物线C：x2＝8y的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点．若△ABD的重心坐标为(2,3)，则|AF|＋|BF|＋|DF|＝________． 【例3-2】已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【例3-4】若位于y轴右侧的动点M到F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2.求点M的轨迹方程． 题型四 抛物线的最值问题 【例4-1】如图，已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)， 求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标． 【例4-2】已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　) A. B. C．2 D.－1 【例4-3】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则： (1)|PA|＋|PF|的最小值为________； (2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________． 题型五 抛物线的实际应用 【例4-1】一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． 【例4-2】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问： （1） 水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？ （2） 水下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $