4.4利用三角形全等测距离 同步练习 2025—2026学年北师大版数学七年级下册

4.4利用三角形全等测距离同步练习2025—2026学年北师大版数学七年级下册 一．选择题（共4小题） 1．如图，AM是一段斜坡，AB是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度CN，他在点C处立上一根竹竿CD，竹竿CD垂直于斜坡AM，在竿顶点D处垂下一根绳子DE，与斜坡AM的交点是E，当DE＝AC时，测得CE＝2m，则CN的长为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 2．传统文化如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径CD，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到CD的长度，其依据的数学基本事实是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 3．一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 4．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝12m，BC＝8m，CD＝14m，点E是AB边的中点．甲机器人从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C运动，同时乙机器人从点C出发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点P和点Q．如果能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则乙机器人的运动速度为（　　） A．或 B．2m/s或 C．3m/s或 D．2m/s或3m/s 二．填空题（共4小题） 5．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠BCA＝70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝　 　 ． 6．晓晓在如图所示部分象棋棋盘（四个小正方形边长均相同）中画出了“马”从点A可以行棋的路线AB和AC，则∠1+∠2的度数为 　 　 °． 7．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E，若AB＝16，AC＝10，则△ADE的周长为　 　 ． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DM⊥DN，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：①△BDE≌△CDA；②DM＝NE；③∠AMD＝45°；④EM：MC：NE＝1：2：3．正确的是　 　 （填序号）． 三．解答题（共3小题） 9．某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙AM的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于AM的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，此时直杆与地面的夹角为50°（即∠ABM＝50°），然后使直杆沿墙面竖直缓慢下滑至CD位置（即AB＝CD），此时直杆与地面的夹角为40°（即∠CDM＝40°），最后测得DM＝15m，AM⊥DM，点A，C，M在一条直线上，点M，B，D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求攀岩墙的高度AM． 10．综合实践 【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点B，C，D，使得A，B，C在同一条直线上，且AB＝BC，∠BCD＝∠BAP，当D，B，P在同一条直线上时，只需测量CD的长度，即可得出AP的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】CD＝50m． 【测量目的】求湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离AP． 11．小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上．小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． 4.4利用三角形全等测距离同步练习2025—2026学年北师大版数学七年级下册 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 题号 1 2 3 4 答案 B B A D 一．选择题（共4小题） 1．如图，AM是一段斜坡，AB是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度CN，他在点C处立上一根竹竿CD，竹竿CD垂直于斜坡AM，在竿顶点D处垂下一根绳子DE，与斜坡AM的交点是E，当DE＝AC时，测得CE＝2m，则CN的长为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 【分析】根据题意，得DE⊥AB，CN⊥AB，得到CN∥DE，于是得到∠DEC＝∠ACN，再证明△DCE≌△ACN（AAS），得到CE＝CN＝2m，解答即可． 【解答】解：根据题意，得DE⊥AB，CN⊥AB， ∴CN∥DE， ∴∠DEC＝∠ACN， ∵∠DCE＝∠ANC＝90°， ∵， ∴△DCE≌△ACN（AAS）， ∴CE＝CN＝2m， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 2．传统文化如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径CD，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到CD的长度，其依据的数学基本事实是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS解答即可． 【解答】解：如图，连接AB， ∵考古学家将两根细木条的中点固定在一起， ∴OB＝OC，OA＝OD， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， 故选：B． 【点评】本题考查的是全等三角形的应用．一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 3．一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【分析】①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用ASA证明全等来说理． 【解答】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用ASA证明全等，故本选项符合题意； B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意； C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意； D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键． 4．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝12m，BC＝8m，CD＝14m，点E是AB边的中点．甲机器人从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C运动，同时乙机器人从点C出发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点P和点Q．如果能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则乙机器人的运动速度为（　　） A．或 B．2m/s或 C．3m/s或 D．2m/s或3m/s 【分析】根据三角形全等性质分BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ两类讨论求解即可得到答案． 【解答】解：∵AB＝12m，E是AB边的中点， ∴BE＝6m， ∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等， ∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ， 当BP＝CQ，BE＝CP时， ∵BE＝6m，BC＝8m， 设运动时间为ts，则8﹣2t＝6， 解得t＝1， ∴CQ＝BP＝2×1＝2（cm）， 此时乙机器人的运动速度为：2÷1＝2（m/s）； 当CP＝BP，BE＝CQ时，则， 解得t＝2， 此时CQ＝6，乙机器人的运动速度为：6÷2＝3（m/s）， 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质，进行分类讨论． 二．填空题（共4小题） 5．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠BCA＝70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝　80°　 ． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝80°，由作法可知，AD是∠BAC的平分线，得到，由作法可知，EF 是线段BC的垂直平分线，得到∠B＝∠FCB＝30°，再由三角形外角定理即可得出结果． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠BCA＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝80°． 由作法可知，AD是∠BAC的平分线， ∴， 由作法可知，EF 是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠B＝∠FCB＝30°， ∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝70°﹣30°＝40°， ∴∠α＝∠CAD+∠ACF＝40°+40°＝80°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 6．晓晓在如图所示部分象棋棋盘（四个小正方形边长均相同）中画出了“马”从点A可以行棋的路线AB和AC，则∠1+∠2的度数为 　180　 °． 【分析】利用全等可证Rt△ADE≌Rt△AEC（HL），则∠1＝∠ACE，即可求解． 【解答】解：如图： 由题得AB＝AC，四个小正方形边长均相同， ∴∠D＝∠E＝90°，AD＝AE， 在Rt△ADB和Rt△AEC中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC（HL）， ∴∠1＝∠ACE， 则∠ACE+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝180°， 故答案为：180． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是全等三角形判定定理的应用． 7．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E，若AB＝16，AC＝10，则△ADE的周长为　26　 ． 【分析】由作图可得AD＝AC＝10，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：由作图可知MN垂直平分BD， ∴EB＝ED（线段垂直平分线的性质）， ∵AD＝AC＝10， ∴C△ADE＝AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝26， 故答案为：26． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．熟练掌握该知识点是关键． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DM⊥DN，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：①△BDE≌△CDA；②DM＝NE；③∠AMD＝45°；④EM：MC：NE＝1：2：3．正确的是　①③④　 （填序号）． 【分析】先由BM⊥AC，CD⊥AB得到∠EBD＝∠MCE，接着就可以利用ASA证明，可知①符合题意；先由DM⊥DN，CD⊥AB得到∠BDN＝∠CDM，接着就可以证明△BDN≌△CDM，得到DN＝DM，求出∠DMN＝45°，就可以求出∠AMD的度数，可知③符合题意；过点D作DF⊥BM，证明△DFE≌△CME，然后分别找出EM，MC，NE与MF的关系，就可以求出EM：MC：NE的比，可知④符合题意；利用勾股定理可得，则可证明，可知②不符合题意． 【解答】解：∵BM⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BDE＝∠ADC＝90°，∠EMC＝90°（垂直的定义）， ∴∠MCE+∠MEC＝90°，∠EBD+∠BED＝90°， 又∵∠BED＝∠MEC， ∴∠EBD＝∠MCE（等量代换）． ∵∠ABC＝45°， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∴BD＝CD（等腰直角三角形的性质）， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（ASA），所以①正确； ∵DM⊥DN，CD⊥AB， ∴∠BDE＝∠NDM＝90°， ∴∠BDN+∠NDE＝∠NDE+∠CDM， ∴∠BDN＝∠CDM． 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM（全等三角形对应边相等）， ∴∠DNM＝∠DMN＝45°； ∵∠EMC＝90°，且∠AMD+∠DMN+∠EMC＝180°， ∴∠AMD＝180°﹣∠DMN﹣∠EMC＝180°﹣45°﹣90°＝45°，所以③正确； 如图，过点D作DF⊥BM于点F， ∵DF⊥BM，BM⊥AC，∠DNM＝∠DMN＝45°， ∴∠DFE＝∠EMC＝90°，△DFN，△DFM都是等腰直角三角形， ∴DF＝NF，DF＝MF（等腰直角三角形的性质）， ∴， ∵点E是CD的中点， ∴ED＝EC， 在△DFE和△CME中， ， ∴△DFE≌△CME（AAS）， ∴（全等三角形对应边相等）， ∴， ∵△BDN≌△CDM， ∴BN＝CM＝DF＝MF（全等三角形对应边相等）． ∴，所以④正确； 在Rt△DMN中，由勾股定理得， ∴， ∵DM＞0， ∴DM≠NE，所以②错误， 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是相关性质的熟练掌握． 三．解答题（共3小题） 9．某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙AM的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于AM的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，此时直杆与地面的夹角为50°（即∠ABM＝50°），然后使直杆沿墙面竖直缓慢下滑至CD位置（即AB＝CD），此时直杆与地面的夹角为40°（即∠CDM＝40°），最后测得DM＝15m，AM⊥DM，点A，C，M在一条直线上，点M，B，D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求攀岩墙的高度AM． 【分析】根据三角形内角和定理可证明∠MAB＝∠MDC＝40°，再证明△AMB≌△DMC，即可得到AM＝DM＝15m． 【解答】解：∵∠ABM＝50°，∠AMB＝∠DMC＝90°， ∴∠MAB＝180°﹣∠ABM﹣∠AMB＝40°． ∵∠CDM＝40°， ∴∠MAB＝∠MDC＝40°． 在△AMB和△DMC中， ， ∴△AMB≌△DMC（AAS）． ∴AM＝DM＝15m， 答：攀岩墙的高度AM为15m． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．综合实践 【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点B，C，D，使得A，B，C在同一条直线上，且AB＝BC，∠BCD＝∠BAP，当D，B，P在同一条直线上时，只需测量CD的长度，即可得出AP的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】CD＝50m． 【测量目的】求湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离AP． 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【解答】解：在△CBD和△ABP中， ， ∴△CBD≌△ABP（ASA）， ∴CD＝AP， ∵CD＝50m， ∴AP＝50m． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质知识，证明△CBD≌△ABP是解题的关键． 11．小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上．小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． 【分析】根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：认同． 理由：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠PDE＝90°， ∴∠ACB+∠A＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠EPD＝90°， ∴∠A＝∠EPD， 在△ABC与△PDE中， ， ∴△ABC≌△PDE（AAS）， ∴CD＝AB． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/20 16:12:36；用户：初中数学；邮箱：17358970208；学号：39602588 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $