2.3～2.4 一元一次不等式与一次函数.一元一次不等式组 寒假预习讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

02一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组寒假预习讲义（北师大版） （4大知识点+17题型解读+42巩固提升） 01预习目标 1.理解解一元一次不等式 ax+b>0ax+b>0 ，本质上就是寻找一次函数 y=ax+by=ax+b 的图像位于 x轴上方时，自变量 x的取值范围。 2.学会利用一次函数的图像（直线）来求解一元一次不等式。能够通过观察图像的升降趋势（k的正负）和与x轴的交点，直观地写出不等式的解集。 3.理解一元一次不等式组及其解集的概念，明白“组”的含义是几个不等式合在一起，而解集是它们的“公共解”。 4.能够将实际问题中的多个限制条件转化为不等式组，并求解，从而解决简单的实际问题（如确定范围、分配问题）。 02知识点梳理 知识点1一元一次不等式与一次函数 （1）一元一次不等式：形如ax+b>0（a≠0，a,b为常数），只含一个未知数、未知数次数为1且两边都是整式的不等式。 （2）一次函数：形如y=kx+b（k≠0，k,b为常数），自变量x的次数为1的函数，其图像是一条直线。 （3）一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图像在 轴上方的点的横坐标所组成的集合。 （4）一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图像在轴下方的点的横坐标所组成的集合 （5）一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集，一次函数 y=k1x+b1图像在一次函数 y=k2x+b2图像上方的点的横坐标所组成的集合。 （6）一元一次不等式 k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数 y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图像下方的点的横坐标所组成的集合。 知识点2一元一次不等式组的解集 1. 定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集． 2. 一元一次不等式组解集的四种情况       特别解读： “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分．如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解． 知识点3解一元一次不等式组 1.定义：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组． 2.一元一次不等式组解法的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集． 知识点4一元一次不等式组的应用 一元一次不等式组解应用题的一般步骤 审：分析题目中的已知条件和问题，找出其中的不等关系． 设：设未知数，可直接设或间接设． 列：根据不等关系列出不等式组，一般有几个不等关系就列几个不等式． 解：分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共解集． 验：检验解集是否符合实际意义，比如人数不能为负数、商品数量应为整数等． 答：写出答案，注意回答要完整、准确． 03题型解读 题型解读1由直线与坐标轴的交点求不等式的的解集 例1．一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故选A． 变式1．已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象和一元一次不等式的解集，根据图象直接解答即可． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)求点，的坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的性质． （1）找出特殊点，画出一次函数即可； （2）分别将、代入计算即可； （3）分别将、代入计算，进而根据函数图象可知的取值范围． 【详解】（1）解：当时，当时 画出一次函数的图象如图： （2）解：将代入中，得， 将代入中，得， 所以点的坐标为，点的坐标为； （3）解：令，则，解得， 令，则，解得， 所以当时，的取值范围为． 题型解读2根据两条直线的交点求不等式的解集 例2．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函 数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定和的交点是解题的关键．由题意首先确定和的交点以及作出的大致图象，进而根据图象进行判断即可． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 故选：B． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，若直线与线段有公共点，则n满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．由直线与线段有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论． 【详解】解：∵直线与线段有公共点， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，过点的直线与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当时，x的取值范围是________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图象求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求，结合确定解析式即可． （2）根据交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵直线经过、， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵直线：与直线：交于点，且， ∴． 故答案为：． 题型解读3一元一次不等式组的定义 例3．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 变式1．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 题型解读4求不等式组的解集 例4．下列不等式中，与组成不等式组，无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求解不等式组，准确的计算是解决本题的关键． 先求出的的解集，然后判断与个选项有无公共部分即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； A、且，则解为，有解，不符合题意； B、且，解为，有解，不符合题意； C、且，解为，有解，不符合题意； D、且，无公共解，不等式组无解，符合题意； 故选D． 变式1．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 变式2．解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，熟练掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 题型解读5解特殊不等式组 例5．如图，已知直线：与直线：（）在第一象限交于点M．若直线与x轴的交点为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线交点象限符合问题，将代入直线的解析式得，联立两个解析式求出的坐标，根据象限符号特征求解即可． 【详解】解：直线与x轴的交点为， ， ， 直线：， 联立得， 解得：， 在第一象限， ， 解得：， 故选：D． 变式1．已知的解集为，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴则的解集为， ∴； 故答案为：． 变式2．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 题型解读6求一元一次不等式组的整数解 例6．不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， 故选：C． 变式1．不等式组的整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可. 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 所以不等式组的整数解为 3； 故答案为：3. 变式2．解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得____________， 解不等式②得____________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】，，，3和4；图见解析 【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，准确的计算是解决本题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可． 【详解】解：① 解得； ② 解得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为3，4， 故答案为：，，，3和4． 不等式组的解集表示数轴如下， 题型解读7由一元一次不等式组的解集求参数 例7．如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则是解题的关键．先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定的范围． 【详解】解：解不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴ 故选：B． 变式1．若不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为确定出a、b的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． 变式2．（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 题型解读8由不等式组解集的情况求参数 例8．不等式组有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求不等式组中参数的范围，根据题意，列出关于参数a的不等式组，是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式组，得 ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为3, 4, 5， ∴， 解得， 故选：A． 变式1．若不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 先解每个不等式，再根据不等式组无解的条件，即两个解集的交集为空集，确定a的取值范围即可． 【详解】解：， ： 解得， ： 解得， ∵不等式组无解， ∴ 解得， 故答案为：． 变式2．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解是整数，求满足条件的所有a的值之和． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组的有且仅有三个整数解确定的范围，根据分式方程的解为整数，确定的值，进而即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有且仅有三个整数解， ∴， 解得； ， 解得， ，y为整数且， ， ∴满足条件的所有的值之和是． 题型解读9不等式组和方程组结合的问题 例9．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 变式1．在方程组中，若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及解二元一次方程组．先根据方程组将两式相减，得到，再代入，得到关于k的不等式组，进而得出k的取值范围． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 变式2．已知关于x，y的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式组，正确计算是关键；先利用加减法求出方程组的解，再根据解满足得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：， ①＋②得， 解得， ①－②得， 解得， 因为， 所以， 解得． 题型解读10列一元一次不等式组 例10．用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握“抽水量抽水速度抽水时间”以及根据不等关系列不等式组是解题的关键．根据抽水机的抽水速度、抽水时间与污水量的关系，结合污水量的范围列出不等式组． 【详解】解：由题意可得 故选：C． 变式1．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 变式2．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动，现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表，设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写x的取值范围）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共有3种租车方案， ①甲车4辆，乙车3辆； ②甲车5辆，乙车2辆； ③甲车6辆，乙车1辆． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，总人数与每辆车载客数和客车辆数的关系，是解决问题的关键． （1）根据租用甲种型号的客车x辆，乙种型号的客车辆，甲、乙两种型号的客车租金分别为1500元和1200元，列总费用解析式； （2）根据甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车辆，总费用不超过10200元，载师生总共275名，列不等式组，求出不等式组解集，求出不等式组的整数解，即得． 【详解】（1）租用甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车辆， ∴； （2）∵租车总费用不超过10200元，师生共有275人， ∴， 解①得，， 解②得，， ∴所列不等式组的解集为：， ∵x为整数， ∴x可取4，5，6， ∴一共有3种租车方案： ①甲车4辆，乙车3辆； ②甲车5辆，乙车2辆； ③甲车6辆，乙车1辆． 题型解读11不等式组的行程问题 例11．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 变式1．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 变式2．已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义； (2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离； (3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 【答案】(1)图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车 (2)慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为 (3)两车均在行驶过程中能通话的时间为小时 【分析】本题考查了一次函数图象的应用，追及问题的运用，不等式组的解法，根据图象信息，运用函数图象解决实际问题，看懂图象是关键． （1）根据点得出两车距离为可知，两车相遇； （2）由图象可以知道慢车行驶小时时，快车到达终点，与慢车相距，就可以根据题意列出方程组从而可以求出慢车快车的速度及全程． （3）当慢车在前时和快车在前时求出通话时间范围就可以求出通话时间． 【详解】（1）解：图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车； （2）解：设慢车每小时行驶，快车每小时行驶，由题意和图意得 ， 解得：， 则全程为：． 答：慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为． （3）解：设快车行驶小时后，两车之间的距离不超过，由题意得， ， 解得：． 小时． 答：两车均在行驶过程中能通话的时间为小时． 题型解读12不等式组的工程问题 例12．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 题型解读13不等式组的经济问题 例13．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 变式1．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 【答案】(1) (2)最大利润为4500元 (3)b的值为4 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于b的方程求值即可． 【详解】（1）解：， 即y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意，得 解得． ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为（元）， ∴最大利润为4500元． （3）解： ． 又∵， ∴， ∴． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，． ∵最大利润为4000元， ∴， 解得，符合题意， ∴b的值为4． 题型解读14不等式组的分配问题 例14．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 变式1．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 变式2.一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 题型解读15不等式组的方案选择问题 例15．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 变式1．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 变式2．小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． (1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价； (2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 【答案】(1)平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； (2)一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元，根据将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米建立方程求解即可； （2）设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米，根据用于推拉窗的资金不低于4000元且总费用不超预算建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； （2）解：设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米， 由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值可以为25或26， 当时，， 当时，， 答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 题型解读16不等式组的阶梯收费问题 例16．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 变式1．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 题型解读17一元一次不等式组的其他应用 例17．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果，第二次运算结果列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运算程序并列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，x的取值范围是． 故选：C． 变式1．三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系及不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边．据此列出不等式组并求解． 【详解】解：∵三角形的三边分别是，，， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 变式2．某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【答案】(1)甲种产品生产6件，乙种产品生产4件 (2)生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 获得最大利润时的方案是甲生产3件乙生产7件，利润17万元 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式组以及一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设生产甲种产品件，则生产乙种产品有件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解； （2）根据总成本不超过41万元和总利润大于14万元列不等式组，求出x的取值范围，得到整数解即为生产方案，然后设利润为y，建立y关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品件， 由题意得， 解得：， 则（件） 所以甲种产品生产6件，乙种产品生产4件； （2）解：设应生产甲种产品x件，则生产乙种产品有件，由题意有： ， 解得：， ∵为整数， ∴或4或5， ∴生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 设总利润为y万元 由题意得，， ∵ ∴y随x的增大而减小，即可得，甲产品生产越少，获利越大， 所以当甲生产3件乙生产7件时可获得最大利润，其最大利润为（万元）． 04巩固提升 一、单选题 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 2．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由于无论x取何值始终有，且和均为一次函数，故两直线必须平行，得到，再根据恒成立求m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， 且无论x取何值始终有， ∴两直线平行，即， ∴， ∵恒成立， ∴，解得， 又∵， ∴且； 故选：D． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及将不等式解集表示在数轴上，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，最后把解集表示在数轴上，即可解题． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 5．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 6．一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 7．若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 8．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组，易错点是的取值边界． 首先解不等式组得到解集为，由于有且仅有4个整数解，且，因此整数解为，为确保仅这些整数解，需满足，为不包括，需． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵有且仅有4个整数解，且， ∴整数解为， 为确保被包括，需， 为确保不被包括，需， ∴的取值范围是． 故选：． 9．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 10．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 11．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 12．某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 13．已知 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也为整数，则第三条高线的长的最大值为（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式、三角形三边关系及不等式组的解法，利用三角形的面积公式，表示出三边的长度，从而运用三角形三边关系列出不等式组是解题的关键． 设的面积为S，所求的第三条高线的长为h，根据三角形面积公式可知三边长分别为、、，然后根据三角形的三边关系列出不等式组，解不等式组即可确定第三条高的长的最大值． 【详解】解：设的面积为S，所求的第三条高线的长为h， 则三边长分别为、、， 据三角形的三边关系为 ， 解得， 所以h的最大整数值为6， 即第三条高线的长的最大值为6． 故选：C． 二、填空题 14．（1）已知一次函数的图象经过两点，则当x 时，． （2）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质， （1）利用待定系数法把点代入，可得关于k、b的方程组，再解出方程组可得k、b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可； （2）根据当时，图象在x轴上方，此时，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过两点， ∴， 解得：， 这个一次函数的表达式为． 解不等式， 解得． 故答案为：； （2）解：由题意可得：一次函数中，当时，图象在x轴上方，， 则关于x的不等式的解是， 故答案为：． 15．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用图象法解不等式是解题的关键． 观察一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由图象得，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 16．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 17．不等式的所有整数解的和是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，先解不等式，得到的范围，再找出所有整数解，最后求它们的和即可． 【详解】解：∵， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∴不等式的所有整数解为， ∴不等式的所有整数解的和为， 故答案为：． 18．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 将代入，得，即， 解得， 的取值范围为：． 故答案为：． 19．不等式组的整数解是 ． 【答案】6、7、8、9 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求解两个不等式，得到 x 的取值范围，再找出范围内的整数解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为 6、7、8、9． 故答案为：6、7、8、9． 20．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 21．不等式组只有两个不同的整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数，由不等式组可得，整数解为和，从而确定的取值范围，即可作答． 【详解】解：由可得， ∵不等式组只有两个不同的整数解， ∴这两个整数解为和， ∴， 故答案为：． 22．已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到的表达式．利用题目给出的条件，建立关于的不等式，进而求解的取值范围． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加： ， 将方程两边同时除以4： ， ， ． 故答案为：． 23．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 24．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 25．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 26．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 27．点一定不在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标特点，不等式组应用等知识，分四个象限讨论，分别根据象限坐标符号特点，列出不等式组，解不等式组即可求解﹒ 【详解】解：当点在第一象限时，，解得， ∴点有可能在第一象限； 当点在第二象限时，，不等式无解， ∴点不可能在第二象限； 当点在第三象限时，，解得， ∴点有可能在第三象限； 当点在第四象限时，，解得， ∴点有可能在第四象限﹒ 故答案为：二 三、解答题 28．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据直线经过，，画出函数图象即可； （3）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为 将，代入得， 解得 ∴该一次函数的表达式为； （2）解：如图所示， （3）解：由图象可得，一次函数经过点 ∴当时，． 29．如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与方程（组），不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）联立两条直线的解析式得到二元一次方程组，求解即可得到交点的坐标； （2）不等式的解集为直线在直线下方时对应的x的取值范围，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴直线和直线交点A的坐标为． （2）解：由图象可得，不等式的解集为． 30．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0、1、2、3 【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．分别解不等式，再求出不等式组的解集，进而写出它的所有整数解即可． 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②：， 两边同乘6得： 解得， 不等式组的解集为， 整数解为0、1、2、3． 31．若等腰三角形的周长为，腰长为． (1)求x的取值范围； (2)若该三角形的一边长是，求该三角形的另两边长． 【答案】(1) (2)另两边长为和或和 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，解题的关键是利用分类讨论的思想方法． （1）根据三角形的三边关系列不等式组，解答即可； （2）本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论． 【详解】（1）解：等腰三角形的周长为，腰长为， 等腰三角形的底边为， 根据三角形的三边关系可得，， 解得， x的取值范围为； （2）若腰长为，则底边长为， 三角形的另两边长为和； 若底边长为，则腰长为， 三角形的另两边长为和， 综上所述，另两边长为和或和． 32．（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 【答案】（1），图见解析；（2），最大整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式是关键． （1）不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再求出最大整数解即可． 【详解】解：（1）原不等式移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 数轴表示如下： （2）， 解①得：， 解②得：； ， 整数解为：， 最大整数解为． 33．当a为何值时，不等式组的解集是？ 【答案】 【分析】考查知识点：一元一次不等式组的解法、不等式组解集的确定．解题关键：根据不等式组的最终解集，分析两个不等式解集的关系（第一个不等式的解集需包含于第二个不等式的解集）．易错点：忽略“”的情况，误将a的取值范围写成．先分别解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集；根据同大取大原则，要使不等式组的解集为，需满足，即． 【详解】解：对变形，得， 对变形，得． 已知解集为，因此需满足， 解得． 所以当时，不等式组的解集是． 34．对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)①=；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）①根据新定义计算判断即可；②根据题意可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：，， ∴； 故答案为：； ②解：∵， ∴， 解得； （2）即 由①得， 有3个整数解， ， ． 35．若关于，的二元一次方程组的解都是正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握方程组的解法和绝对值的性质是解题的关键． （1）先通过解方程组求出、关于的表达式，再根据解都是正数列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围． （2）根据（1）中的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简式子． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入得， 解得， ∵ 方程组的解都是正数，即， ∴ ， 解得，， 解得， ∴ 的取值范围是； （2）解：∵ ， ∴ ，， ∴． 36．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点． (1)求k，n的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据平移的性质求出平移后的函数解析式，把点代入平移后的函数解析式求出n的值，再把点代入，求出k的值即可． （2）根据题意，当时，分别求出，，的值，再根据题意列不等式组求解即可． 本题考查了一此函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 【详解】（1）函数的图象向下平移1个单位长度得到， ∵函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点 ∴将点代入，解得， 将点代入，解得， （2）把代入，求得， 把代入，求得， ∵当时，的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，， 解得． 37．小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)小时 (3)时间范围是 【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． （2）解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． （3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 38．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 39．某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 40．为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200元购进乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本； (2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案． 【答案】(1)甲种30元/本，乙种50元/本 (2)该班共有6种购买方案．分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本； 方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本； 方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本； 方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本； 方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本； 方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设甲种图书的单价为元/本，则乙种图书的单价为元/本，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该班计划购进甲种图书本，则计划购进乙种图书本，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，进而即可找出方案. 【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元/本，则乙种图书的单价为元/本． 根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为50元/本． （2）解：设该班计划购进甲种图书本，则计划购进乙种图书本． 根据题意，得 解得． ∵a为正整数， ∴a的值为10，11，12，13，14，15， ∴该班共有6种购买方案． 分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本； 方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本； 方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本； 方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本； 方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本； 方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本． 41．为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？ (3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案． 【答案】(1)每个篮球100元，每个足球120元 (2)最少需要购买25个篮球 (3)最省钱的方案是购买篮球33个，足球17个 【分析】本题考查“二元一次方程组的应用”“一元一次不等式的应用”，根据题意找到数量关系列出方程与不等式是解题关键． （1）根据题意中两次购买的数量和对应金额，设未知数分别列方程，再求解方程组即可； （2）设购买其中一个的数量为未知数，用未知数表示购买另一个的数量，根据题意列不等式并求解即可； （3）在（2）的条件下，根据数量列不等式，该不等式的解集与（2）中解出的不等式的解集中重合的部分即为满足条件的情况，从中找出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元， 由题意，得， 解得， ∴每个篮球的售价为100元，每个足球的售价为120元； （2）解：设购买m个篮球，则购买个足球， 由题意，得， 解得， ∴最少需要购买25个篮球； （3）解：由题意，得， 解得， ∴， ∵购买一个足球需要120元，购买一个篮球需要100元，足球的售价比篮球高， ∴当购买足球数量最少，篮球数量最多时，最省钱， 又为整数，， ∴，即的最大值为33， ， ∴当时，即购买33个篮球，购买17个足球时，为最省钱的购买方案． 42．2025年8月，第12届世界运动会成功举行，运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”深受大家喜爱．某文旅中心在售“蜀宝”与“锦仔”两种吉祥物玩偶．已知每个“蜀宝”的价格比每个“锦仔”的价格贵20元，用440元购买“蜀宝”的数量与用340元购买“锦仔”的数量相等．学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若设学校投入资金为元，购买“蜀宝”数量为个，求关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围． 【答案】(1)88元，68元 (2)， 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，列一次函数表达式，理解题意，正确列出方程和不等式组是解答的关键． （1）根据题意列分式方程求解即可； （2）根据题意列一次函数表达式，列一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每个“锦仔”的价格为元，则每个“蜀宝”的价格为元， 由题意得，， 解得，． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要88元，68元． （2）解：已知购买“蜀宝”数量为个，则购买“锦仔”数量为个， 由题意得，， 投入资金不少于2160元又不多于2200元， ， 解得，． 答：关于的函数表达式为，自变量的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 02一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组寒假预习讲义（北师大版） （4知识点+17题型解读+42巩固提升） 01预习目标 1.理解解一元一次不等式 ax+b>0ax+b>0 ，本质上就是寻找一次函数 y=ax+by=ax+b 的图像位于 x轴上方时，自变量 x的取值范围。 2.学会利用一次函数的图像（直线）来求解一元一次不等式。能够通过观察图像的升降趋势（k的正负）和与x轴的交点，直观地写出不等式的解集。 3.理解一元一次不等式组及其解集的概念，明白“组”的含义是几个不等式合在一起，而解集是它们的“公共解”。 4.能够将实际问题中的多个限制条件转化为不等式组，并求解，从而解决简单的实际问题（如确定范围、分配问题）。 02知识点梳理 知识点1一元一次不等式与一次函数 （1）一元一次不等式：形如ax+b>0（a≠0，a,b为常数），只含一个未知数、未知数次数为1且两边都是整式的不等式。 （2）一次函数：形如y=kx+b（k≠0，k,b为常数），自变量x的次数为1的函数，其图像是一条直线。 （3）一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图像在 轴上方的点的横坐标所组成的集合。 （4）一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图像在轴下方的点的横坐标所组成的集合 （5）一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集，一次函数 y=k1x+b1 图像在一次函数 y=k2x+b2图像上方的点的横坐标所组成的集合。 （6）一元一次不等式 k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数 y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图像下方的点的横坐标所组成的集合。 知识点2一元一次不等式组的解集 1. 定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集． 2. 一元一次不等式组解集的四种情况       特别解读 “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分．如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解． 知识点3解一元一次不等式组 1.定义：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组． 2.一元一次不等式组解法的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集． 知识点4一元一次不等式组的应用 一元一次不等式组解应用题的一般步骤 审：分析题目中的已知条件和问题，找出其中的不等关系． 设：设未知数，可直接设或间接设． 列：根据不等关系列出不等式组，一般有几个不等关系就列几个不等式． 解：分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共解集． 验：检验解集是否符合实际意义，比如人数不能为负数、商品数量应为整数等． 答：写出答案，注意回答要完整、准确． 03题型解读 题型解读1由直线与坐标轴的交点求不等式的的解集 例1．一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 变式2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)求点，的坐标； (3)当时，求的取值范围． 题型解读2根据两条直线的交点求不等式的解集 例2．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，若直线与线段有公共点，则n满足的条件为 ． 变式2．如图，过点的直线与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当时，x的取值范围是________． 题型解读3一元一次不等式组的定义 例3．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 题型解读4求不等式组的解集 例4．下列不等式中，与组成不等式组，无解的是（    ） A． B． C． D． 变式1．不等式组的解集是 ．【详解】解： 变式2．解不等式组： (1) (2) 题型解读5解特殊不等式组 例5．如图，已知直线：与直线：（）在第一象限交于点M．若直线与x轴的交点为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知的解集为，则的解集为 ． 变式2．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 题型解读6求一元一次不等式组的整数解 例6．不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 变式1．不等式组的整数解为 ． 变式2．解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得____________， 解不等式②得____________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 题型解读7由一元一次不等式组的解集求参数 例7．如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．若不等式组的解集是，则的值是 ． 变式2．（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 题型解读8由不等式组解集的情况求参数 例8．不等式组有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．若不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 变式2．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解是整数，求满足条件的所有a的值之和． 题型解读9不等式组和方程组结合的问题 例9．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．在方程组中，若，则的取值范围是 ． 变式2．已知关于x，y的方程组的解满足，求的取值范围． 题型解读10列一元一次不等式组 例10．用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 变式1．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 变式2．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动，现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表，设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写x的取值范围）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？ 题型解读11不等式组的行程问题 例11．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 变式1．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 变式2．已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义； (2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离； (3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 题型解读12不等式组的工程问题 例12．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 题型解读13不等式组的经济问题 例13．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 变式1．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 变式2．某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 题型解读14不等式组的分配问题 例14．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 变式2.一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 题型解读15不等式组的方案选择问题 例15．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式1．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方案． 变式2．小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． (1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价； (2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 题型解读16不等式组的阶梯收费问题 例16．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 变式1．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 题型解读17一元一次不等式组的其他应用 例17．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 变式2．某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 04巩固提升 一、单选题 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 6．一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 7．若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 8．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 11．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 12．某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 13．已知 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也为整数，则第三条高线的长的最大值为（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 二、填空题 14．（1）已知一次函数的图象经过两点，则当x 时，． （2）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解为 ． 15．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 16．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 17．不等式的所有整数解的和是 ． 18．已知，则的取值范围是 ． 19．不等式组的整数解是 ．解不等式①，得， 20．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 21．不等式组只有两个不同的整数解，则的取值范围是 ． 22．已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 23．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 24．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则 ． 25．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 26．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 27．点一定不在第 象限． 三、解答题 28．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象直接写出时，的取值范围． 29．如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； 30．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 31．若等腰三角形的周长为，腰长为． (1)求x的取值范围； (2)若该三角形的一边长是，求该三角形的另两边长． 32．（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 33．当a为何值时，不等式组的解集是？ 34．对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 35．若关于，的二元一次方程组的解都是正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 36．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点． (1)求k，n的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 37．小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 38．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 39．某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 40．为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200元购进乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本； (2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案． 41．为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？ (3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案． 42．2025年8月，第12届世界运动会成功举行，运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”深受大家喜爱．某文旅中心在售“蜀宝”与“锦仔”两种吉祥物玩偶．已知每个“蜀宝”的价格比每个“锦仔”的价格贵20元，用440元购买“蜀宝”的数量与用340元购买“锦仔”的数量相等．学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若设学校投入资金为元，购买“蜀宝”数量为个，求关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $