专题05不等式与不等式组题型突破讲义（2）(题型精析+题型突破+寒假预习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题05不等式与不等式组题型突破讲义(2) 【14大常考题型共计69题】 题目定位及适合场景 题目整体难度定位 题目整体属于“基础巩固一 中等综合一偏难拓展” 的梯度化题型，核心以基 础+中等难度题目为主（占比约80%），兼顾偏难题(20%)，符合初中不等式与 不等式组“基础必考点+综合应用”的考查逻辑。 适用场景 课前预习（提前熟悉核心知识点）、课后巩固（夯实课堂所学内容）、专项刷题 (针对性突破薄弱模块)、中考复习（适配考点梯度训练）。 考情分析 1.核心定位 中考必考代数模块，分值3-8分，衔接函数、方程，是基础保分+综合拉分的关 键。 2.高频考点 基础：不等式（组）解法、数轴表示解集 重点：含参不等式（组）的参数范围求解（区分度核心） 应用：方案设计、资源分配等实际问题建模 综合：与一次函数数形结合、与方程组交叉考查 3.题型与分值 基础题(3-4分)：选择/填空，直接考查性质、解法 综合题(4-8分)：解答题，侧重实际应用或综合模块 4.命题趋势 基础考点稳定，确保基础分易得 强化知识交叉，与函数、方程结合成为常态 实际情境贴近生活，侧重建模能力 试卷第1页，共3页 含参问题+分类讨论思想考查频次提升 章节重难点 重点 1数形结合对应关系 一次函数图像在x轴上/下方，对应kx+b>0/kx+b<0的解集。 不等式组解集=各不等式解集的公共部分，用数轴找更直观。 2.解集快速判断 两函数比大小：看图像上下位置，交点是解集分界点。 不等式组：记“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到” 口诀。 3规范解题步骤 函数+不等式：找交点→看图像→定解集。 不等式组：解单个不等式→数轴画解集找公共部分。 4简单实际应用能把“比大小”“限范围”的实际问题，转化为不等式 (组)或函数关系。 难点 1数形双向转化：既要会从图像找解集，也要能从解集说图像位置。 2.分界/边界值处理：分清函数交点的作用，注意数轴上实心、空心点的区 别。 3.含参不等式组：根据解集反推参数范围，需要结合数轴分析。 4.实际问题建模：准确抓“至少”“至多”等关键词，列出不等式（组）。 题型梳理 1.利用直线与坐标轴的交点求不等式的解集 2通过两条直线的交点求不等式的解集 3.解一元一次不等组的解集 4.特殊一元一次不等式组的解法 5.求解一元一次不等式组的整数解 6根据一元一次不等式组的解集求参数 7根据不等式组解集的情况求参数 8.一元一次不等式和方程组的综合问题 9根据实际问题列一元一次不等式组 10.一元一次不等式组的行程问题 11.一元一次不等式组的经济问题 12.一元一次不等式组的分配问题 13.一元一次不等式组的方案选择问题 14.一元一次不等式组的其他综合应用 试卷第2页，共3页 核心知识点梳理 知识点01.不等式（组）的基础性质与解法 1.不等式的基本性质 ()不等式两边加、减同一个数（或式子），不等号方向不变。 (2)不等式两边乘、除同一个正数，不等号方向不变；乘、除同一个负数，不等 号方向改变。 2.一元一次不等式的解法步骤 (1)去分母（注意分母不为0，乘负数时变号）。 (2)去括号（遵循去括号法则，符号不变号）。 (3)移项（移项要变号，常数项与含未知数项分离）。 (4)合并同类项（化简左右两边代数式）。 (⑤)系数化为1（注意系数正负对不等号方向的影响）。 3.不等式组的解集判断 同大取大：两个不等式解集均为“x>ax>b”(a>b),则解集为x>a。 同小取小：两个不等式解集均为“x<a“x<b”(a<b),则解集为x<a。 大小小大中间找：一个解集为“x>a”,一个为“x<b”(a<b),则解集为 a<x<b 大大小小找不到：一个解集为“x>a”,一个为“x<b”(a>b),则不等式 组无解。 知识点02.含参不等式（组）的核心考点 1根据解集求参数范围 ()已知不等式ax>b的解集（如x>c或x<c),结合不等式性质判断a的 正负，进而求参数。 (2)己知不等式组的解集（如a<x<b),根据“同大取大”等原则反向推导 参数取值。 2.根据整数解求参数 (1)已知不等式组的整数解个数（如仅有4个整数解），先确定整数解具体值， 再列出关于参数的不等式组求解。 试卷第3页，共3页 (2)已知不等式组的整数解集合（如整数解为-1,0,1,2），推导参数的取值 范围（注意边界值的取舍）。 3.方程与不等式结合的含参问题 ()方程组的解满足特定不等关系（如解为正数、x>y等），先解方程组用参数 表示解，再列不等式求参数。 (2)含参方程（如绝对值方程、分式方程）有实数根且根满足不等条件，分类讨 论方程解的情况，结合不等式约束求参数。 知识点03.不等式（组）的综合应用 1.与方程组的交叉应用 *解方程组得到x、y关于参数的表达式，根据x、y的不等约束（如 x20、y≤2)列不等式组，求参数范围。 *由方程组变形得到新的等量关系（如x+y=),结合不等式约束求参数或代 数式的取值范围。 2.与绝对值的结合 *含绝对值的不等式求解（如|ax+bl>c),分类讨论绝对值内式子的正负，转 化为普通不等式。 *含绝对值的方程有实数根，且根满足不等条件，结合绝对值的非负性和不等 式约束求参数。 3新定义问题中的应用 *根据新定义（如“快乐数”“调和解”）列出不等式（组），结合定义中的 约束条件（如数字不为0、解为整数）求解。 知识点04.实际问题中的不等式（组）建模 1.关键关键词转化 2.建模步骤 1.设未知数（明确未知数的实际意义，如购买数量、生产台数等)。 2根据题目中的数量关系（如总费用、总数量、总产能等）列出不等式 (组)。 3.求解不等式（组），结合实际意义取整数解（如方案数、数量等需为正整 数)。 试卷第4页，共3页 6 常考题型精讲精练 【题型1.利用直线与坐标轴的交点求不等式解集】 1.如图，是少=一b 的图象，则关于x的不等式 kx-b>0 的解集为() 0 2x A.x<2 B.x>2 C.x<b D.x>b 2.若一次函数y=+1k≠0的图象如图所示，则下列说法正确的是() P 91236 A.k>0 B.b=4 C.当>4时，y<0 D.若4-3，a,B3,在函数图象上，则a<b 3.函致与5-的图象图所示，当为>>0 时，x的取值范围是一· y1= y2=5-x 试卷第5页，共3页 4.如图，在平面直角坐标系中，直线4：)=+1与直线4：y=x+6交于点m,则 关于x的不等式组ax+b>x+I>0的解集为一 5.在平面直角坐标系中， 0为坐标原点，将函数”=2x+b◆为常数)的图象位于轴下 方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数”=2x+分（b为常数)的图象.若函 数'=2+M(b为常数)与直线'=2有交点4、B,现给出以下结论，其中正确结论的序 号是 ①△AOB的面积总为2； ②若函数'=2x+6(b为常数)图象在直线”=2下方的点的横坐标x满足0<x<3,则b 的取值范围为-4≤b≤-2： 3 ③若b=4,则5x>2r+的解集为2<r<3: ④当b=-3,若正比例函数”=k≠0与”=2x+州(b为常数)的图象只有一个公共 点，则k>2. 解答题 6.如图所示，在同一个坐标系中，一次函数'=x+6和)=c+b 的图像分别与轴交于 点A,B,两直线交于点C.已知1-L0),B(2,0) 观察图像并回答下列问题： 试卷第6页，共3页 y=kx+b B y=kx+b x+b=0 +b<0 (1)关于x的方程 的解是_；关于x的不等式 的解集是_； +b>0 (2)直接写出关于x的不等式组kx+b>0的解集： ③)若点C的坐标为1到】 ①△ABC的面积为_： ②在平面内找一点D,使得△BCD是以BC为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点 的坐标. 【题型2.通过两条直线的交点求不等式的解集】 y=kx+ 7.同一平面直角坐标系中，一次函数 与正比例函数'=x。 的图象如图所示，则 关于x的不等式 x+b<kx 的解集是( y-kix+b -3 A.x>0 B.x<0 C.x>-3 D.x<-3 8.如图，已知直线y+1与直线v=a+b相交于点Pm2,则关于，的不等式 3x+1>x+b的解集为() 试卷第7页，共3页 /y=ax+b 2 = -x+1 3 A.x>- 2 B.x<、3 C.x>2 D.x≤-1 9.在同一平面直角坐标系中，正比例函数'=(k≠0) 的图象与一次函数 y=-kx+bk≠0) 的图象交于点13列 则关于x的不等式≤-+b的解集为一 y=-x+my=x+4n(n≠0) 10.如图直线 与 的交点的横坐标为2，则关于”的不等式 -x+m>nx+4n>0的解集为一· y=-x+m y=nx+4n 11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数 )=2x+bP为常数)的图象位于轴 下方的部分沿产轴翻折至其上方后，所得的折线是函数'=2x+0(中为常数)的图象。若 函数少2x+b (b为常数)与直线”=2有交点A、B,现给出以下结论，其中正确结论 的序号是 ①△AOB的面积总为2： ②若函数-Px+A(b为常数)图象在直线y-2下方的点的横坐标‘满足0<x<3,则b 的取值范围为-4≤b≤-2： 2 3 ③若b=4,则5>2x+的解集为2<x<3: 试卷第8页，共3页 ④当b=-3,若正比例函数”=k≠0)与'=2x+(b为常数)的图象只有一个公共 点，则k≥2 解答题 12.已知直线4B:y=mr+4 CD y=2x-4 C(n,2) 与直线： 相交于点 2,直线MB与x轴交 于点A,与y轴交于点B,直线CD与y轴交于点D. ()求A,C两点的坐标： (2)若mx+4<0,则x的取值范围是 ； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式0<x+4≤2x-4的解集. 【题型3.求解一元一次不等式组的解集】 13.下列不等式中，与x>-2组成的不等式组无解的是() A.x≤-3 B.x≥-1 C.x<0 D.x>1 x-3>0 14.若关于x的不等式组3x-a+1<0有解，则一次函数y=(a-5)x+2的图象一定不经过 的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15.已知点4(3-2m,2m-4在第三象限，则m的取值范围是一 16.若270是100×99×98××3×2×1 的因数，则n最大可以取一 3-x_y+2_2+5 17.已知非负实数x,少，z满足2=3=4，设w=3x-2y+2,则w的最大值与 最小值的和为 试卷第9页，共3页 3x-a≥0 18.已知关于的不等式组 <2 的整数解有且仅有4个：-10,1山，2，那么适合这 个不等式组的所有可能的整数对a,) 的个数有() A.1 B.2 C.3 D.6 【题型4.特殊类型一元一次不等式组的解法】 19.已知有理数，b,且<3 则使a<b始终成立的有理数a的取值范围是() A.小于或等于3的有理数 B.小于3的有理数 C.小于或等于-3的有理数 D.小于-3的有理数 20,一次函数”=+3传为常数，0)和片=-3 当x<2时， 片>片，则k取值范 围() A.≤-2 B.-2≤k≤1且0 C.②1 D.-2<k<1且k0 21.定义：对于实数“，符号网表示不大于“的最大整数.例如：B.23,22,23 x-1] =2 3.如果2」，则x的取值范围是() A.5≤x≤7 B.5<x≤7 C.5<x<7 D.5≤x<7 22.已知m-3)vm-2s0 则m的取值范围是一 23.己知0<x+b<b(k、b为常数)的解集为-4<x<0,则关于x的一元一次不等式 &+b<)的解集为 24.若关于x的方程K-到= “有实数根，则“的取值范围是 【题型5.求解一元一次不等式组的整数解】 试卷第10页，共3页 专题05不等式与不等式组题型突破讲义（2） 【14大常考题型共计69题】 题目整体难度定位 题目整体属于 “基础巩固 — 中等综合 — 偏难拓展” 的梯度化题型，核心以基础 + 中等难度题目为主（占比约 80%），兼顾偏难题（20%），符合初中不等式与不等式组 “基础必考点 + 综合应用” 的考查逻辑。 适用场景 课前预习（提前熟悉核心知识点）、课后巩固（夯实课堂所学内容）、专项刷题（针对性突破薄弱模块）、中考复习（适配考点梯度训练）。 1. 核心定位 中考必考代数模块，分值 3-8 分，衔接函数、方程，是基础保分 + 综合拉分的关键。 2. 高频考点 基础：不等式（组）解法、数轴表示解集 重点：含参不等式（组）的参数范围求解（区分度核心） 应用：方案设计、资源分配等实际问题建模 综合：与一次函数数形结合、与方程组交叉考查 3. 题型与分值 基础题（3-4 分）：选择 / 填空，直接考查性质、解法 综合题（4-8 分）：解答题，侧重实际应用或综合模块 4. 命题趋势 基础考点稳定，确保基础分易得 强化知识交叉，与函数、方程结合成为常态 实际情境贴近生活，侧重建模能力 含参问题 + 分类讨论思想考查频次提升 重点 1.数形结合对应关系 一次函数图像在x轴上 / 下方，对应kx+b>0/kx+b<0的解集。 不等式组解集 = 各不等式解集的公共部分，用数轴找更直观。 2.解集快速判断 两函数比大小：看图像上下位置，交点是解集分界点。 不等式组：记 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到” 口诀。 3.规范解题步骤 函数 + 不等式：找交点 → 看图像 → 定解集。 不等式组：解单个不等式 → 数轴画解集 → 找公共部分。 4.简单实际应用能把 “比大小”“限范围” 的实际问题，转化为不等式（组）或函数关系。 难点 1.数形双向转化：既要会从图像找解集，也要能从解集说图像位置。 2.分界 / 边界值处理：分清函数交点的作用，注意数轴上实心、空心点的区别。 3.含参不等式组：根据解集反推参数范围，需要结合数轴分析。 4.实际问题建模：准确抓 “至少”“至多” 等关键词，列出不等式（组）。 1.利用直线与坐标轴的交点求不等式的解集 2.通过两条直线的交点求不等式的解集 3.解一元一次不等组的解集 4.特殊一元一次不等式组的解法 5.求解一元一次不等式组的整数解 6.根据一元一次不等式组的解集求参数 7.根据不等式组解集的情况求参数 8.一元一次不等式和方程组的综合问题 9.根据实际问题列一元一次不等式组 10.一元一次不等式组的行程问题 11.一元一次不等式组的经济问题 12.一元一次不等式组的分配问题 13.一元一次不等式组的方案选择问题 14.一元一次不等式组的其他综合应用 知识点01.不等式（组）的基础性质与解法 1.不等式的基本性质 (1)不等式两边加、减同一个数（或式子），不等号方向不变。 (2)不等式两边乘、除同一个正数，不等号方向不变；乘、除同一个负数，不等号方向改变。 2.一元一次不等式的解法步骤 (1)去分母（注意分母不为 0，乘负数时变号）。 (2)去括号（遵循去括号法则，符号不变号）。 (3)移项（移项要变号，常数项与含未知数项分离）。 (4)合并同类项（化简左右两边代数式）。 (5)系数化为 1（注意系数正负对不等号方向的影响）。 3.不等式组的解集判断 同大取大：两个不等式解集均为 “x＞a”“x＞b”（a＞b），则解集为 x＞a。 同小取小：两个不等式解集均为 “x＜a”“x＜b”（a＜b），则解集为 x＜a。 大小小大中间找：一个解集为 “x＞a”，一个为 “x＜b”（a＜b），则解集为 a＜x＜b。 大大小小找不到：一个解集为 “x＞a”，一个为 “x＜b”（a＞b），则不等式组无解。 知识点02.含参不等式（组）的核心考点 1.根据解集求参数范围 (1)已知不等式 ax＞b 的解集（如 x＞c 或 x＜c），结合不等式性质判断 a 的正负，进而求参数。 (2)已知不等式组的解集（如 a＜x＜b），根据 “同大取大” 等原则反向推导参数取值。 2.根据整数解求参数 (1)已知不等式组的整数解个数（如仅有 4 个整数解），先确定整数解具体值，再列出关于参数的不等式组求解。 (2)已知不等式组的整数解集合（如整数解为 - 1，0，1，2），推导参数的取值范围（注意边界值的取舍）。 3.方程与不等式结合的含参问题 (1)方程组的解满足特定不等关系（如解为正数、x＞y 等），先解方程组用参数表示解，再列不等式求参数。 (2)含参方程（如绝对值方程、分式方程）有实数根且根满足不等条件，分类讨论方程解的情况，结合不等式约束求参数。 知识点03.不等式（组）的综合应用 1.与方程组的交叉应用 **解方程组得到 x、y 关于参数的表达式，根据 x、y 的不等约束（如 x≥0、y≤2）列不等式组，求参数范围。 **由方程组变形得到新的等量关系（如 x+y=m），结合不等式约束求参数或代数式的取值范围。 2.与绝对值的结合 **含绝对值的不等式求解（如 | ax+b|＞c），分类讨论绝对值内式子的正负，转化为普通不等式。 **含绝对值的方程有实数根，且根满足不等条件，结合绝对值的非负性和不等式约束求参数。 3.新定义问题中的应用 **根据新定义（如 “快乐数”“调和解”）列出不等式（组），结合定义中的约束条件（如数字不为 0、解为整数）求解。 知识点04.实际问题中的不等式（组）建模 1.关键关键词转化 “至少”“不低于” 转化为 “≥”； “至多”“不超过” 转化为 “≤”； “超过”“多于” 转化为 “＞”； “不足”“少于” 转化为 “＜”。 2.建模步骤 1.设未知数（明确未知数的实际意义，如购买数量、生产台数等）。 2.根据题目中的数量关系（如总费用、总数量、总产能等）列出不等式（组）。 3.求解不等式（组），结合实际意义取整数解（如方案数、数量等需为正整数）。 【题型1.利用直线与坐标轴的交点求不等式解集】 1．如图，是的图象，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 从图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小， ∴当时，，即关于x的不等式的解集是． 故答案为A． 2．若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．当时， D．若，在函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 一次函数图象过第一、二、四象限，则，故选项A错误，不符合题意； 令，则，故选项B错误，不符合题意； 当时， ，故选项C正确，符合题意； y随x的增大而减小，，则，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． . 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，先求出直线与轴的交点坐标，再根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：当时，，则 直线与轴的交点坐标为， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 根据得，结合直线与直线交于点，可得的值，再利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：由，得， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线与直线交于点， 又∵， ∴根据图像得：， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ． ①的面积总为； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 【答案】 【分析】画出草图，再根据选项逐一解答进行排除即可． 【详解】：如图，    由题意可知，当时，，∴点 当时，由得，，解得：， 由得，，解得：， 则， ∴， 故正确； ：由得，与图像交点为和， 当时，总有， ∴，解得：， 故正确； ：当时，则，如图，    由，解得：， 由，解得：， ∴解集为：， 故正确； ：如图，    当与的图象只有一个公共点时，或，故不正确； 故选：． 【点睛】此题考查一次函数的图象及其性质，解题的关键是结合图象进行分析． 解答题 6．如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组）的关系，等腰直角三角形的性质及应用等． （1）依据题意，利用直线与x轴交点即为时，对应x的值，进而得出答案； （2）依据题意，利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可； ②设，可得，，，分两种情况讨论：当为直角边时，，；当为直角边时，，．分别可得关于m、n的方程组，解方程组即可得D点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴关于x的方程的解是； ∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴观察图象可得关于x的不等式的解集是； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴观察图象可得关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②设， ∵，， ∴，，， 分以下两种情况讨论： 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 综上所述，D的坐标为或或或． 【题型2.通过两条直线的交点求不等式的解集】 7．同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，结合一次函数与正比例函数的图象性质，运用数形结合思想，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察一次函数与正比例函数的图象， 得出这两直线的交点的横坐标为, 运用数形结合思想得关于的不等式的解集是， 故选：C． 8．如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，先求出点的坐标，然后根据图象即可得到不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴，解得：， ∴点， 根据图象可知的解集为， 故选：． 9．在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出一次函数和正比例函数的解析式，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴将代入，则， 解得：， 再将代入，则， 解得：， ∴一次函数与正比例函数解析式分别为，， ∴不等式即为， 解得：， 故答案为：． 10．如图直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象求不等式的解集，掌握一次函数图象的性质是关键，根据一次函数与坐标轴的交点的计算，两直线的交点坐标，数形结合分析即可求解． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴当时，， 故答案为： ． 11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象．若函数|（为常数）与直线有交点、，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ． ①的面积总为2； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线平行问题，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．求得、的坐标，即可得出，利用三角形面积公式求得△的面积即可判断①；根据满足，即可求出的取值范围，可以判断②；求得直线与函数的交点为，，，根据图象即可判断③；求得直线与直线平行，与直线平行时的的值，根据图象即可求得正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点时的的取值，可以判断④． 【详解】解：①把代入为常数）得，， 解得或， ，，，， ， ，故①正确； ②当时，，； 当时，即， 的取值范围为．故②正确； ③由，解得， 由，解得， 直线与函数的交点为，，， 则的解集为，故③正确； ④时，直线与直线平行，时，直线与直线平行， 正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点，则或．故④错误． 故答案为：①②③． 解答题 12．已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 【题型3.求解一元一次不等式组的解集】 13．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的求法，熟记求不等式组解集的原则：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”是解决问题的关键． 两个不等式无解意味着它们的解集没有交集，分别检查每个选项与是否有公共部分即可得到答案． 【详解】解：A、由于与无公共部分，则组成的不等式组无解，符合题意； B、由于与的公共部分为，组成的不等式组有解，不符合题意； C、由于与的公共部分为，组成的不等式组有解，不符合题意； D、由于与的公共部分为，组成的不等式组有解，不符合题意； 故选：A． 14．若关于x的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 先解不等式组，根据不等式组有解，求得的取值范围，即可判断一次函数的图象一定不经过的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∴经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 15．已知点在第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据点所在象限求参数，掌握各象限的坐标符号是解题的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第三象限点的坐标特征，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解不等式得； 解不等式得； 所以的取值范围是， 故答案为：． 16．若是的因数，则n最大可以取 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了积的乘方，一元一次不等式组的应用．根据积的乘方可得，再根据是的因数，分别求出有因数2，3，5的个数，可得到关于n的不等式组，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴有因数2的个数为：， ∵， ∴有因数3的个数为：， ∵， ∴有因数5的个数为：， ∴， ∴， ∴n最大可以取16． 故答案为：16． 17．已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围． 首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：设， 则，，， ，，均为非负实数， ， 解得， 于是， ， 即． 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 18．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得；由②得； 关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2， 当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个； 当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解； 综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个， 故选：D． 【题型4.特殊类型一元一次不等式组的解法】 19．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 20．一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【答案】B 【分析】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且2且k≠0，解此不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞， ∴kx+3＞x﹣3， ∴kx﹣x＞﹣6， ∴（k－1）x＞﹣6， ∴k﹣1＜0且2且k≠0， 当k﹣1＜0即k＜1时，2则k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0； 当k＝1时，，，很明显＞也成立， 故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0时，2且k≠0解答． 21．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 22．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题二次根式有意义的条件、二次根式非负性、解不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，再由二次根式非负性得到，从而得到的取值范围，熟记二次根式有意义的条件、二次根式非负性是解决问题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，，即， ，且， ，解得， 的取值范围是， 故答案为：． 23．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 24．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 【题型5.求解一元一次不等式组的整数解】 25．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 26．若点在第三象限，则整数m的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，以及点的坐标，熟练掌握第三象限点的坐标特征是解本题的关键．根据第三象限的点的横坐标和纵坐标都为负，确定出m的范围，进而确定出整数m的值即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在第三象限， ∴， 解得：， 则整数m的值为2． 故选：C． 27．若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，那么所有满足条件的整数m的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，解题关键是正确求出不等式组的解集． 先由方程组得，根据方程组有解得出，再解不等式组得出，根据不等式组有且只有3个整数解得出，从而确定m的取值范围，继而得出答案． 【详解】解：， ，得：， 即， ∵方程组有解， ∴，即， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且整数解为， ∴， 解得， ∴符合条件的整数m的值为，，， 它们的和为， 故选：B． 28．若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，关键是准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组．先根据不等式组求出的范围，然后再根据方程求出的范围，从而确定的可能值，最后求和. 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， ∴ 解方程得 ， ∵方程的解为非负数， 所以， 解得： ∴， ∵是整数， ∴， ∴满足条件的所有整数m的和为. 故答案为：15. 29．关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有 对． 【答案】6 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解出不等式组的解集，然后根据整数解的情况分析参数的取值即可． 【详解】解：不等式组， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解只有1和2，则有：， 解得：， 当和均为整数时，或或，或， ∴整数对有对． 故答案为：6 ． 【题型6.根据一元一次不等式组的解集求参数】 30．已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 31．已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小， 大小小大中间找，大大小小解不了．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有一个整数解求出整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组有且只有1个整数解， ∴不等式组的整数解为1， ∴． 故选：B． 32．已知关于x的不等式组，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4； ②当a＝1时，它无解； ③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5； ④如果它有解，那么a≥2． 其中说法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可． 【详解】解：由x﹣1＞0得x＞1， 由x﹣a≤0得x≤a， ①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确； ②当a＝1时，它无解，此结论正确； ③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确； ④如果它有解，那么a＞1，此结论错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 33．已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组，利用一次函数的性质确定的取值范围是解决问题的关键． 先利用不等式组的解集的确定方法得到，再根据一次函数的性质得到，从而得到的取值范围，然后确定整数的值，从而计算满足条件的整数的和． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， ∴的范围为， ∵为整数， ∴为、、， ∴满足条件的整数的和为． 故答案为：． 解答题 34．已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 【题型7.根据不等组解集的情况求参数】 35．关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解可得答案． 【详解】解； 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于y的一元一次不等式组有3个整数解， ∴3个整数解为，0，1， ∴， 故选：B． 36．若关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据解集内恰好有三个整数解，确定参数的范围，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∵恰有三个整数解， ∴ 解得： 故选：B． 37．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 38．若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解不等式组求得其解集，根据不等式组无解得出k的取值范围，解方程得出，由方程的解为整数得出k的取值，综合两者所求最终确定k的范围,据此可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∵不等式组无解， ， ， 解方程，得， ∵关于y的方程的解为整数，且， 或4或2或1或或或， 或7或5或4或2或1或， 则符合条件的所有整数k的和为， 故答案为： 39．已知关于y的不等式组 有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数m的值分别为 ． 【答案】，，，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组有且仅有2个整数解可得，求出的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且仅有2个整数解， ∴， 解得， ∴所有满足条件的整数的值分别为，，，1，2， 故答案为：，，，1，2． 解答题 40．对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 【题型8.一元一次不等式和方程组的综合问题】 41．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 42．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 43．若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 44．已知关于的分式方程的解不超过6，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的整数的和 ． 【答案】 【分析】先解分式方程，求得分式方程解，再由分式方程的解不超过6，得且，解得：且、，然后解不等式组得，根据不等式组有四个整数解，得，解得：，所以且，又因为m为整数，则，，即可求解． 【详解】解：解方程，得， ∵的解不超过6， ∴且， 解得：且、， 解不等式组，得， ∵不等式组有四个整数解， ∴， 解得：， ∴且， ∵m为整数， ∴，， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况和不等式组的整数解求字母系数值，熟练掌握解分式方程和不等式组是解题的关键． 解答题 45．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【详解】（1）解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； （2）∵是方程与不等式组的“调和解”， ∴，， 解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数， ∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组． 【题型9.根据实际问题列一元一次不等式组】 46．用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握“抽水量抽水速度抽水时间”以及根据不等关系列不等式组是解题的关键．根据抽水机的抽水速度、抽水时间与污水量的关系，结合污水量的范围列出不等式组． 【详解】解：由题意可得 故选：C． 47．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 48．已知，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 又， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 49．在如图所示的钢架结构中，，为加固钢架，在的内部焊上等长的钢条，……，若且恰好用了4根钢条，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查等边对等角及三角形外角的性质，不等式的应用，理解题意是解题关键． 根据等边对等角得出，，，，再由三角形外角的定义得出，，，结合题意得出不等式组即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， 为的外角，为的外角，为的外角， ∴，，， ∵要使得这样的钢条只能焊上4根， ∴， ∴且， ∴， 故答案为：． 解答题 50．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 【题型10.一元一次不等式组的行程问题】 51．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 52．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 解答题. 53．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型11.一元一次不等式组的经济问题】 54．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 解答题 55．为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，找出不等关系并列出不等式组是解题的关键． 根据总费用不超过3550元，购买篮球的数量多于购买足球的数量，列出不等式组，求解即可． 【详解】设购买篮球个，则购买足球个，根据题意，得 ， 解得：， ∵篮球和足球的数量是整数， ∴， 答：学校购买篮球个． 56．据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【题型12.一元一次不等式组的分配问题】 57．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 58．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 解答题 59．“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 (2)至少需要购买67个“滨滨”摆件 (3)能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 【题型13.一元一次不等式组的方案选择问题】 60．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 解答题 61．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． (1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合投入资金不少于万元又不超过12万元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元， 根据题意得：， 解得． 答：购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为5，6，7， 共有3种购买方案， 方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件． 62．为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，计划组织初中部1200名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号的客车可以租用，已知1辆大型客车和2辆中型客车可以载乘客105人，2辆大型客车和1辆中型客车可以载乘客135人． (1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？ (2)该校计划租用两种型号的客车共27辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2倍，请求出所有的租车方案？ 【答案】(1)一辆大型客车可以载乘客55人，一辆中型客车可以载乘客25人 (2)租用大型客车18辆，则租用中型客车9辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设一辆大型客车可以载乘客x人，一辆中型客车可以载乘客y人，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设租用大型客车m辆，则租用中型客车辆，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆大型客车可以载乘客x人，一辆中型客车可以载乘客y人，根据题意得： ， 解得：， 答：一辆大型客车可以载乘客55人，一辆中型客车可以载乘客25人； （2）解：设租用大型客车m辆，则租用中型客车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴，此时， 答：租用大型客车18辆，则租用中型客车9辆． 63．本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 【答案】(1)母鸡买了11只，小鸡买了81只 (2)见解析 【分析】本题考查方程组的应用和不等式组的解集； （1）设母鸡买了m只，小鸡买了n只，根据题意列方程组，解方程组即可解答； （2）设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，根据题意得到，利用t为正整数得到购买方案即可解答． 【详解】（1）解：设母鸡买了m只，小鸡买了n只， 根据题意得：， 解得：． 答：母鸡买了11只，小鸡买了81只； （2）解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只， 根据题意得：， 得：， ∵是这个二元一次方程的一组解， ∴该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数）， 则， ∵x，y，z非负整数， ∴， 解得：， 又∵t为正整数， ∴t可以为25，26，27，28， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，． 答：公鸡、母鸡、小鸡各买了0只，25只，75只或4只，18只，78只或8只，11只，81只或12只，4只，84只． 【题型14.一元一次不等式组的其他综合应用】 64．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果，第二次运算结果列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运算程序并列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，x的取值范围是． 故选：C． 65．电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗条 B．依题意 C．有最小值，但没有最大值 D．是正确解，但不是唯一解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理清狗群数量多的一方与狗群数量少的一方存在的数量关系． 设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的那个群为条，且狗群数量都是奇数，据此逐一分析判断即可． 【详解】A、设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的每个群为条，此选项错误； B、依题意应该是：，此选项错误； C、依题意得(x为奇数)，解得：(x为奇数)，故x的最小值为1，x的最大值为73．此选项错误； D、由C可知，(x为奇数)，故是正确解，但不是唯一解，符合题意，故此选项正确． 故选：D． 66．爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 67．一个四位自然数，各个数位上的数字均不为，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为，则称四位数为“快乐数”．如，＋，是“快乐数”，最大的“快乐数”是 ；若一个“快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的关键．设四位数为，由新定义得，当时，，或，即可求解；由新定义可设，可得，，结合、、的取值范围，即可求解． 【详解】解：设四位数为， ， 当时， ， 或， 当时， ， ， ，， 或，， 故这个四位数是或， 最大的“快乐数”是； “快乐数”，百位数字与个位数字相等， 可设， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍， ，为整数， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 为或， ； 故答案为：，． 解答题 68．运动会即将来临，八年级某班准备购买彩旗和气球，若购进彩旗100面，气球50个，需要1000元；购进彩旗50面，气球30个，需要550元． (1)求购买一面彩旗和一个气球各需多少元？ (2)若该班准备拿出500元全部用来购买彩旗和气球，考虑实际需求，要求购进彩旗的数量不少于气球数量的6倍，且不超过气球数量的8倍，那么该班共有几种购买方案？ 【答案】(1) 购买一面彩旗需5元，一个气球需10元 (2) 该班共有3种购买方案 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购买一面彩旗需要元，购买一个气球需要元，根据数量关系列方程组求解即可； （2）设购进气球数量为个，购买彩旗的数量为个，根据数量关系，不等式组的解法求解即可． 【详解】（1）解：设购买一面彩旗需要元，购买一个气球需要元， ∴， 解得，， ∴购买一面彩旗需要元，购买一个气球需要元； （2）解：设购进气球数量为个，购买彩旗的数量为个， ∴， 根据题意，可得， ∴， ∴， 解得，， ∵为正整数， ∴，则； ，则； ，则； ∴该班共有3种购买方案． 69．为了更好的预防疫情，我校准备购买A、B两种型号的免手洗消毒液，已知购买8瓶A型和3瓶B型共需要950元；购买5瓶A型和6瓶B型共需要800元． (1)求A、B两种型号的免手洗消毒液的单价各是多少？ (2)现在学校需购买A、B两种型号的免手洗消毒液共100瓶，考虑到学校班级数和资金问题，购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元，则学校有几种购买方案？ (3)在（2）的前提下，求满足学校要求的最低费用． 【答案】(1)A种型号的免手洗消毒液的单价是100元，B种型号的免手洗消毒液的单价是50元 (2)学校有5种购买方案 (3)满足学校要求的最低费用为7550元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式． （1）设A型消毒液单价是x元，B型消毒液单价是y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型消毒液购买了m瓶，根据“购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元”列出不等式组，再求出m的取值范围即可； （3）设A型消毒液购买了m瓶，总费用为W元，由已知得，再根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设A型号的免手洗消毒液的单价是x元，B型号的免手洗消毒液的单价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：A种型号的免手洗消毒液的单价是100元，B种型号的免手洗消毒液的单价是50元； （2）解：设购买A型免手洗消毒液m瓶，则购买B型免手洗消毒液瓶， ∵购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元， 根据题意得：， 解得， ∵m为整数， ∴m可取51，52，53，54，55， ∴学校有5种购买方案； （3）解：设购买的费用是W元， 根据题意得：， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴时，W取最小值，最小值为（元）， 答：满足学校要求的最低费用为7550元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $