精品解析：甘肃武威市凉州区武威十七中、四中2025-2026学年第二学期九年级二模数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级二模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的倒数是（ ） A. B. C. 6 D. 3. 计算的结果是（ ） A. x B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 9. 如图，在菱形中，，点为的中点，连接交于点O，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 因式分解：________． 12. 若是方程的一个根，则的值______． 13. 如图，菱形ABCD中，．将绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______． 14. 如图，正六边形的半径为，若为的中点，连接，则的长为__． 15. 如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____． 16. 如图，在和中，，，若，则的长为________． 17. 如图在矩形中，，P为矩形内一点，且，E为上一动点，则的最小值为________． 18. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的表面积为_____． 三、解答题（共66分） 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）求的面积． 20. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中x，y满足． 21. 某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 22. 如图，点A是线段上一点，由线段逆时针旋转得到，平分，且．求证：． 23. 如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若的平分线交于F，，求线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出一次函数大于反比例函数时，x的取值范围． 25. 已知，如图，四边形中，，，．求证：． 26. 如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 27. 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级二模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形和中心对称图形的定义；在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形, 根据轴对称图形与中心对称图形的概念一一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 2. 的倒数是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】需根据倒数的概念计算出的倒数即可得到答案． 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数， 又 ， 的倒数是． 3. 计算的结果是（ ） A. x B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照同分母分式减法法则计算，整理分子后因式分解，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 4. 如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先过点分别作于点，，交的延长线于点，再根据矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：如图，过点分别作于点，，交的延长线于点， ． ， ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ． 又，， ， ，， 矩形为正方形， ． 在中，，且， ， ， ，， ． 5. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】∵每名学生从3个运动项目中选一个，各有3种等可能的选择，小明和小亮的选择相互独立， ∴两人选择项目的所有等可能结果总数为， ∵两名同学都选择篮球项目的结果只有1种， ∴所求概率为． 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小，再分两种情况：①和②解答即可得． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小． ①当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴，符合题意； ②当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴要使，则，符合题意； 综上，的取值范围是或． 8. 如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明得到角相等，进而推导出，证明，利用相似比得到，结合勾股定理求出即可求解． 【详解】解：是等边三角形 ， 在和中 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 过点作于， 是等边三角形 ， ， 在中，， ． 9. 如图，在菱形中，，点为的中点，连接交于点O，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由菱形，得是等边三角形，再由点为的中点，得，，设,利用角的三角函数推出，再由勾股定理推出，即可计算． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形 ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， ∵点是的中点， ∴，， 设, ， ∴， ∴， ∴． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，二次函数的对称轴为直线，则，，即可判断①②；二次函数与x轴有两个交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据抛物线开口向上，在抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， 故结论②错误； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 故结论③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 故结论④错误； ∵，，， ∴点，在二次函数的图象上，， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若是方程的一个根，则的值______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即 ∴ 13. 如图，菱形ABCD中，．将绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】由旋转的性质及菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：因为四边形是菱形，且， 所以对角线平分，， 所以． 所以与是两个大小一样的等边三角形， 又因为将绕点顺时针旋转后与重合， 所以． 综上，旋转角的度数是． 14. 如图，正六边形的半径为，若为的中点，连接，则的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点O，连接根据正六边形的性质可得，正六边形内接于，为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点O，连接 ∴正六边形内接于，为的直径，． ， 是等边三角形， ∴, 是的直径， ∴，， 在中，． 是的中点， ∴， 在中， ． 15. 如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出的值． 【详解】解：由图象可知，点的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得． 16. 如图，在和中，，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于 的比例式进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 17. 如图在矩形中，，P为矩形内一点，且，E为上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据P为矩形内一点，且，为定值，得出点P在一个圆上运动，设点P在上，过点O作于点F，，交的延长线于点G，连接，，延长，取，连接，，交于点，交于点，说明垂直平分，得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当、、P三点共线时，最小，即最小，说明当点E在点，点P在点处时，最小，求出其最小值即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵P为矩形内一点，且，为定值， ∴点P在一个圆上运动， 如图，设点P在上，过点O作于点F，，交的延长线于点G，连接，，延长，取，连接，，交于点，交于点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、P三点共线时，最小，即最小， ∴当点E在点，点P在点处时，最小， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 18. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的表面积为_____． 【答案】36π 【解析】 【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为4，圆锥的高为3，再根据勾股定理计算出母线长为5，然后根据圆锥的侧面积公式：代入计算即可． 【详解】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径为4，圆锥的高为3， 所以圆锥的母线长， 所以这个圆锥的表面积是． 三、解答题（共66分） 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）求的面积． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据中心对称图形的性质画出图形即可； （）利用割补法计算即可； 本题考查了平移作图，作中心对称图形，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：． 20. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中x，y满足． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用乘方、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值进行化简后进行加减法即可； （2）先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法，得到化简结果，再把所给等式变形后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∵ ∴ ∴原式 21. 某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 【答案】 【解析】 【分析】设原价为a，两次降价的百分比为x，则“双十一”之前价格为，“双十一”期间售价为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设原价为a，两次降价的百分比为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：两次降价的百分比约为． 22. 如图，点A是线段上一点，由线段逆时针旋转得到，平分，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，结合角平分线的性质得到，证明，从而得出结论． 【详解】解：由旋转可得，，， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 23. 如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若的平分线交于F，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，进而得出，再根据平行线的性质说明，则此题可解； （2）根据角平分线的定义得，再根据三角形外角的性质说明，然后根据“等角对等边”得出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴． 又∵，， ∴. ∴， ∵， ∴. 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出一次函数大于反比例函数时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数求出的值，即可得出反比例函数的表达式，计算出，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的表达式； （2）结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 将代入反比例函数可得，即， ∴， 将，代入一次函数的表达式可得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：一次函数大于反比例函数时，x的取值范围为或． 25. 已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 26. 如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数求出的长． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ， ． 27. 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点E的坐标为，； （3）存在；点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $