专题21.3.3正方形题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题21.3.3正方形题型突破讲义 一、 重点内容 1.正方形的定义 核心表述：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形； 双重属性：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 2.正方形的性质 边：对边平行，四条边都相等；角：四个角都是直角； 对角线：互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 4 条对称轴。 3.正方形的判定方法 思路 1：先证四边形是矩形，再证它有一组邻边相等（或对角线互相垂直）； 思路 2：先证四边形是菱形，再证它有一个角是直角（或对角线相等）； 思路 3：直接证四边形满足 “对边平行 + 一组邻边相等 + 一个角是直角”。 二、 难点内容 1.正方形判定方法的灵活选择与应用 易错点：分不清 “先证矩形再补菱形条件” 和 “先证菱形再补矩形条件” 的适用场景； 突破关键：根据题目给出的已知条件，优先判定四边形为矩形或菱形，再补充另一类图形的特有条件。 2.正方形性质的综合运用 核心难点：结合对角线性质、等腰直角三角形性质、勾股定理进行计算和证明； 典型题型：求正方形内线段长度、角度，或证明线段相等、垂直关系。 3.理清四边形家族的逻辑关系 易错点：混淆 “特殊” 与 “一般” 的关系，比如误认为矩形和菱形都是正方形的特例； 突破关键：用 “集合” 的思想理解，正方形是同时满足矩形和菱形条件的特殊图形。 基础 过关题 1.正方形性质理解 2.正方形的判定定理理解 3.正方形性质应用:角度计算 4.补充条件判定四边形为正方形 能力 提升题 5.正方形性质应用:线段长度计算 6.正方形性质应用:面积计算 7.正方形折叠问题的分析与求解 8.正方形性质应用:几何证明 9.证明四边形为正方形的方法 拓展 拔高题 10.正方形性质与判定综合:线段计算 11.正方形性质与判定综合:证明 12.中点四边形的性质与探究 13.特殊平行四边形动点问题 14.四边形中的线段最值问题 15.四边形综合问题的整合突破 【题型1.正方形性质理解】 1．平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，矩形，菱形，等边三角形，正方形都是轴对称图形，因此平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有4个． 故选：D． 2．从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据四边形之间的关系，解答即可． 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 故选：C． 3．将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．根据题意可得，是正方形的面积的，据此求解即可． 【详解】解：如图，标注图形，连接，， ∵由正方形性质可得：，，， ， ∴， ∴， ∴， 同理，右边空白四边形的面积也是， ∴图中阴影部分的面积是：． 故答案为：3． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，使四边形为平行四边形，点D在线段上，且，简要说明点D，E的位置是如何找到的（不要求证明） ．    【答案】 见解析 【分析】本题考查了格点作图，勾股定理，正方形的性质，平移的性质． （Ⅰ）根据勾股定理可求线段的长； （Ⅱ）平移线段得到，取线段上找到格点，以为边作正方形，连接并延长交于点，则，再平移线段得到，延长交于点，则四边形为平行四边形且． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，四边形即为所求， 作法：平移线段得到，取线段上找到格点，以为边作正方形，连接并延长交于点，则，再平移线段得到，延长交于点，则四边形为平行四边形且；   ． 5．如图，在正方形中，，点为线段上一点，连接，将沿着翻折得到，此时平分，连接，在线段的延长线上取点，连接与线段交于点，且满足，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得，，根据翻折的性质、角平分线的定义得，，，继而得到，，，进一步推出，，根据等腰三角形三线合一性质及含角度直角三角形的性质得，，在中，，得或（负值不符合题意，舍去），求出，可得答案． 【详解】解：∵在正方形中，，为对角线， ∴，， ∵将沿着翻折得到，平分， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 在中，， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 即线段的长度为． 【点睛】本题考查正方形的性质，翻折的性质，等腰三角形判定与性质，等腰三角形三线合一性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识点，掌握翻折的性质，等腰三角形判定与性质及直角三角形的相关性质是解题的关键． 【题型2.正方形的判定定理理解】 6．下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定，根据矩形的性质，正方形，菱形和平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 7．在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 8．如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 9．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴设，， ∴，，则， ∴，则， 则， ∴（负值舍去）， 则， 故答案为：3.2． 【题型3.正方形性质应用:角度计算】 10．如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质可得到，的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C 11．如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的外角性质，根据正方形的性质求出，然后利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接、，点是边上一点，，连接．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，由正方形的性质可证，得到，，即得，进而由得，，即得，，得到，即得到，再求出即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 13．如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由正方形得到，，然后由折叠得到，，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，然后得到，然后得到，求出，，进而求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∵将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处， ∴，， ∴ ∴ ∵点M为边的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 14．如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点G是边的中点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，连接，求得即可解答，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 五边形是正五边形， ，， ， ，， 点G是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 【题型4.补充条件判定四边形为正方形】 15．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形和正方形的判定，解题的关键是先判定四边形为矩形，再根据正方形的判定条件添加合适条件． 先根据已知角的条件判定四边形是矩形，再分析各选项能否使矩形变为正方形即可． 【详解】解： ∴四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形， 故选：D． 16．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理才可正确解答． 根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不能判定是正方形，故本选项符合题意； B、，根据菱形的对角线互相平分，，对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C、，根据对角线相等的菱形是正方形，故本选项不符合题意； D、，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：A． 17．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 18．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 【题型5.正方形性质应用:线段长度计算】 19．如图，四边形是正方形，，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，由正方形的性质得出，由勾股定理求出，由全等三角形的判定与性质得出，由，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：C． 20．如图，在菱形中，，，则以为边长的正方形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相关的性质． 根据已知可求得是等边三角形，从而得到，从而求出正方形的边长，进而可求出其周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形的周长为． 故答案为：12． 21．如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，，求出，由正方形的性质可得，，从而可得，再分两种情况，分别利用全等三角形的判定与性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得； 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得：， 综上所述，当与全等时，t的值为或； 故选：D． 22．如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于 ． 【答案】/ 【分析】先根据正方形的性质找到F的对称点，再根据垂线段最短找出最短路径，最后根据正方形的面积公式求解． 本题考查了轴对称最短路径问题，掌握正方形的面积公式和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵在正方形中，为对角线， ∴正方形关于对称，，， 如图，设F的对称点为Q，过Q作于E，交于P， 则四边形为矩形，， ∴的最小值为的长度， ． 故答案为：． 解答题 23．如图，在正方形中，E在边上，F在边上，连接、，且． (1)求证： (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）求出，由（1）中得，从而可得，由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 由（1）中得， ∴， 在中，， 又∵， ∴，即， ∴． 【题型6.正方形性质应用:面积计算】 24．如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、余角的性质、勾股定理、正方形的性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的性质与判定． 首先根据题意，利用判定出，然后再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， 根据勾股定理，可得：， ∴， ∴正方形的面积． 故选：C． 25．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，归纳总结．熟练掌握勾股定理，正方形的面积计算和归纳总结出正方形边长的规律是解题的关键． 通过依次计算前几个正方形的边长，找出边长的规律，进而得到第个正方形的边长，再根据正方形面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 26．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等角对等边，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据题意求出，得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 27．如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解决问题的关键． 设正方形边长为，正方形边长为，则，根据正方形和矩形的性质得，则阴影部分矩形的面积为：，由此即可得出答案． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴阴影部分矩形的面积为：， ， ， ， ∴阴影部分矩形的面积为16． 故选：B． 解答题 28．如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）证明即可； （2）过作于点，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积，结合三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴四边形的面积． 【题型7.正方形折叠问题的分析与求解】 29．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 30．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 31．如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 32．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：． 【题型8.正方形性质应用:几何证明.】 33．如图，已知，，以为边作正方形，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，写出点的坐标，利用正方形的四边相等找到条件通过证明三角形全等求得、的长是解题的关键．过作轴，垂足为，可证明，可求得、的长，可求得的坐标． 【详解】解：如图，过作轴，垂足为， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 点坐标为． 故选：C． 34．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ， 当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长， 过点作于点，设与相交于点， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ， 即的最小值为． 故选：D． 35．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ； 【答案】 【分析】证明得，进而得到，则由直角三角形斜边中线的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，根据垂直平分线的性质得，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，利用勾股定理得，代入数据计算则可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当、、三点共线时取“”，此时有最小值，最小值为，∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，确定的最小值为是解题的关键． 36．如图，在中，，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）；（2）若连接，，则；（3）；（4）的面积为18，且被直线平分；其中正确的说法个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由正方形的性质可得，再由，，即可判断（1）；证明即可得到，再根据角之间的关系可得，即可判断（2）（3）；作交于，交于，证明，，，得到三角形之间的面积关系，即可判断（4）． 【详解】解：四边形和都是正方形， ，，， ，， ，故（1）正确，符合题意； 在和中， ， ， ，，故（2）正确，符合题意； 如图，令和交于点，和交于点， ，， ， ， ， ，故（3）正确，符合题意； 作交于，交于， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ，， ， ， ， ， ，， ， ，故（4）正确，符合题意； 综上所述，正确的有（1）（2）（3）（4），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，找准各个图形之间的面积关系，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 【题型9.证明四边形为正方形的方法】 37．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 【答案】B 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法是关键． 根据对角线互相平分可得四边形为平行四边形，再结合垂直可得菱形，最后对角线相等可得正方形． 【详解】解：∵ 四边形的对角线互相平分，   ∴ 该四边形是平行四边形， ∵ 平行四边形的对角线互相垂直， ∴ 该平行四边形是菱形， ∵ 菱形的对角线相等，   ∴ 该菱形是正方形． 故选：B． 38．已知四边形为平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．若，则该四边形为矩形 B．若，则该四边形为菱形 C．若，则该四边形为矩形 D．若，则该四边形为正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A. 若，则该四边形为菱形，不符合题意； B. 若，则该四边形为矩形，不符合题意； C. 若，则该四边形为矩形，符合题意； D. 若，则该四边形为菱形，不符合题意， 故选：C． 39．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 解答题 40．如图，在中，，D为边的中点，四边形是平行四边形，、相交于点O． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三线合一，矩形的判定和正方形的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三线合一； （1 ）根据是等腰三角形，由三线合一，得到，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得证； （2 ）先证明四边形是正方形，再利用分割法求面积即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵D是的中点， ∴，即，， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，，即， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， 故的面积为． 【题型10.正方形性质与判定综合:线段计算】 41．如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 42．如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 ． 【答案】36 【分析】由，，，，得，，由翻折得，，，，，，则，求得，则四边形是矩形，而，所以四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，由勾股定理得，求得符合题意的m值为6，所，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，，， ，， 由翻折得，，，，，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是正方形是解题的关键． 43．如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q，证明四边形是矩形，得出，，证明四边形是正方形，得出，证明，得出，．证明四边形是矩形，得出，，求出，，根据勾股定理求出． 【详解】解：过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q， 则， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 44．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识．由题意知，，如图1，在上取点，使，连接，，则，由，，可得，，即、、三点共线，如图2，则四边形是矩形，则，由勾股定理得，计算求解即可，明确时，点的位置是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 的平分线交于点， ， 如图1，在上取点，使，连接，， ， ，， 与的距离为6， ， ， 如图2，则四边形是矩形， ，， ，，， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ，， 由勾股定理得， 故选：D． 【题型11.正方形性质与判定综合:证明.】 45．如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形不一定是矩形， ∴不一定成立， 故选：C． 46．顺次连接正方形各边中点所得的四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，由三角形正方形定理得到，再由正方形对角线互相垂直且相等可推出，则四边形是正方形． 【详解】解：如图所示，E、F、G、H分别是正方形四条边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 由正方形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， 故选；C． 47．如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形性质，勾股定理，当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大，当到的距离时，此时到的距离最大，即，根据折叠的性质得到，，推出四边形是正方形，利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】解：当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大， ∴当到的距离时，此时到的距离最大， 即， 将沿翻折，点B的对应点为， ，， 四边形是正方形， 利用勾股定理得到， 点E为的中点，， ， ， ∴当面积最小时折痕的长为， 故答案为：． 48．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，则矩形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，得出矩形为正方形，根据，及垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，由此即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， 四边形为正方形，， ，，， ，且， 四边形为正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， ∴此时， 即正方形面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 【题型12.中点四边形的性质与探究】 49．如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律，找出规律、的表示方法是解题的关键．记四边形， 的面积为，易知四边形为菱形，四边形为矩形，，，，……，推出依此可得，最后令即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵顺次连接矩形各边的中点，得到四边形， ∴四边形 是矩形， ∴，. 同理，，， ∴， ∴， ∵顺次连接四边形，各边的中点，得到四边形， ∴，， ∴， 依此可得， ∴四边形的面积是． 故选：B． 50．顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，菱形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了中点四边形，菱形的性质，矩形的判定，平行线的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和矩形的判定方法． 连接、，根据中位线性质得出，，证明四边形为平行四边形，根据平行线的性质，证明，得出四边形为矩形． 【详解】解：如图，E，F，G，H是菱形四条边的中点，连接、，如图所示：    ∵四边形为菱形，、、G、H分别为、、、的中点， ∴，， 同理得：，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 故选：C． 51．如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，四边形的综合；根据题意得到四边形为菱形，结合勾股定理得到，再计算周长即可． 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 52．如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题． 由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】证明：∵分别为的中点， ∴且． ∵分别为的中点， ∴且． ∴且． 同理，得且． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴ 即四边形的面积为． 故答案为： 【题型13.特殊平行四边形动点问题】 53．在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么 秒后四边形为矩形？ 【答案】5 【分析】设动点的运动时间为秒，根据题意得，，根据矩形的对边相等，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：设动点的运动时间为秒， 由题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 解得． 即当秒时，四边形是矩形． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的性质． 54．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 55．如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则， 设运动时间为， 当时，，， ∴， ， ∴(舍去)； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：(舍去)； 综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 56．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可． 【详解】解：中， 当和全等时，一定为直角三角形， 当点在上时，不能构成三角形； 当点在上时，如下图所示， 构成的不是直角三角形，此时和不全等； 当点在上时，如下图所示， ， 则有， 此时点运动的路程为， 运动的时间为； 当点在上时，如下图所示， ， ， 此时点运动的路程为， 运动的时间为， 综上所述，当和全等时，的值是或． 故选：D ． 【题型14.四边形中的线段最值问题】 57．如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：    由对称性可得， ， 当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小． ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线． 58．正方形边长为，在边上，在边上，．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．掌握“将军饮马”模型，理解当，，三点共线时，取得最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，，得到，， 再利用“”证明得到，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，则，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ，，， ， 的最小值为， 故答案为： ． 59．如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，以及线段最值问题，准确添加辅助线是解题的关键． 如图构造全等三角形，使得，点A、G在直线两端，再根据三角形三边的性质，判断出，利用角度关系得出，结合直角三角形边长关系求出的长度，则为的最小值． 【详解】解：在下方取点，使， 连接、，如图所示： 又∵， ∴， ，故当、、三点共线时最小， ∵四边形为菱形， ∴，， 故，且， 得等腰， ， 则， 故选． 60．如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，得到点与点关于对称，过点作，使得，连接交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得到则当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，求出，由勾股定理求出得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 点与点关于对称， ， 过点作，使得，连接交于点，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， 当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长， ，， 是等边三角形， ， 在中， 的最小值为． 故答案为：． 【题型15.四边形综合问题的整合突破】 61．如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式和题意可求出菱形的边长，进而可求出菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积和周长，熟练掌握这些知识是解题的关键． 62．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 63．如图，在菱形ABCD中，，线段AD上有一动点P（点P不与点A，D重合），沿直线BP将三角形ABP翻折，使得点A落在点E处．连接CE，在点P的运动过程中，下列结论：①，②，③，④，始终成立的有 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④． 【分析】①正确．利用翻折变换的性质证明PE＝PA，可得结论；②错误．利用反证法，可得结论；③正确．设∠CBE＝x，证明∠CAE＝x，可得结论；④正确．利用等腰三角形的性质以及四边形内角和定理证明即可． 【详解】解：如图，设PB交AE于点O，PB交AC于点J． 由翻折的性质可知，PA＝PE，BA＝BE， ∴∠PAE＝∠PEA，故①正确， 不妨假设∠CAE＝∠ABP， ∵BA＝BE，PA＝PE， ∴PB垂直平分线线段AE， ∴∠ABP＝∠EBP， ∴∠JAO＝∠JPR， ∵∠AJO＝∠BJR， ∴∠BRJ＝∠AOJ＝90°，显然BE与AC不垂直与已知条件矛盾，故②错误， 设∠CBE＝x， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD//AB，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∴∠ABE＝60°﹣x， ∵BA＝BE， ∴∠EAB＝（180°﹣60°+x）＝60°+x， ∠CAE＝∠EAB﹣∠CAB＝x， ∴∠CAE+∠ABP＝x+（60°﹣x）＝30°，故③正确， ∵BC＝BA＝BE， ∴∠BCE＝∠BEC，∠BEA＝∠BAE， ∵2∠BEC+2∠BEA+∠ABC＝360°， ∴2∠BEC+2∠BEA＝300°， ∴∠AEC＝∠CEB+∠AEB＝150°，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 解答题 64．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        【答案】（1）①；（2）见解析；（3）15 【分析】（1）根据余缺四边形的定义，结合折叠的思想去思考拼图解答即可； （2）根据的平分线这一条件，判定以满足了一个条件，只需证明或即可； （3）根据勾股定理，三角形全等解答即可． 【详解】（1）解：②两个全等的等边三角形为成的四边形是菱形，而菱形的对角是相等的，故拼不成余缺四边形； ①将直角三角形沿着斜边折叠，得到四边形符合余缺四边形的条件， 故答案为：①． （2）证明：如图3， ∵的平分线，是四边形的一个内角， ∴对角线平分四边形其中一个内角成立； 过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为余缺四边形． （3）解：如图3，过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴，， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴， 根据勾股定理，得 ， ∵， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了新定义问题，线段的垂直平分线性质，角的平分线性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3.3正方形题型突破讲义 一、 重点内容 1.正方形的定义 核心表述：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形； 双重属性：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 2.正方形的性质 边：对边平行，四条边都相等；角：四个角都是直角； 对角线：互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 4 条对称轴。 3.正方形的判定方法 思路 1：先证四边形是矩形，再证它有一组邻边相等（或对角线互相垂直）； 思路 2：先证四边形是菱形，再证它有一个角是直角（或对角线相等）； 思路 3：直接证四边形满足 “对边平行 + 一组邻边相等 + 一个角是直角”。 二、 难点内容 1.正方形判定方法的灵活选择与应用 易错点：分不清 “先证矩形再补菱形条件” 和 “先证菱形再补矩形条件” 的适用场景； 突破关键：根据题目给出的已知条件，优先判定四边形为矩形或菱形，再补充另一类图形的特有条件。 2.正方形性质的综合运用 核心难点：结合对角线性质、等腰直角三角形性质、勾股定理进行计算和证明； 典型题型：求正方形内线段长度、角度，或证明线段相等、垂直关系。 3.理清四边形家族的逻辑关系 易错点：混淆 “特殊” 与 “一般” 的关系，比如误认为矩形和菱形都是正方形的特例； 突破关键：用 “集合” 的思想理解，正方形是同时满足矩形和菱形条件的特殊图形。 基础 过关题 1.正方形性质理解 2.正方形的判定定理理解 3.正方形性质应用:角度计算 4.补充条件判定四边形为正方形 能力 提升题 5.正方形性质应用:线段长度计算 6.正方形性质应用:面积计算 7.正方形折叠问题的分析与求解 8.正方形性质应用:几何证明 9.证明四边形为正方形的方法 拓展 拔高题 10.正方形性质与判定综合:线段计算 11.正方形性质与判定综合:证明 12.中点四边形的性质与探究 13.特殊平行四边形动点问题 14.四边形中的线段最值问题 15.四边形综合问题的整合突破 【题型1.正方形性质理解】 1．平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 3．将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，使四边形为平行四边形，点D在线段上，且，简要说明点D，E的位置是如何找到的（不要求证明） ．    5．如图，在正方形中，，点为线段上一点，连接，将沿着翻折得到，此时平分，连接，在线段的延长线上取点，连接与线段交于点，且满足，则线段的长度为 ． 【题型2.正方形的判定定理理解】 6．下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 7．在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 8．如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 9．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 【题型3.正方形性质应用:角度计算】 10．如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为 ． 12．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接、，点是边上一点，，连接．若，则等于（    ） A． B． C． D． 13．如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点G是边的中点，则的度数为 ． 【题型4.补充条件判定四边形为正方形】 15．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 16．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 17．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 18．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【题型5.正方形性质应用:线段长度计算】 19．如图，四边形是正方形，，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 20．如图，在菱形中，，，则以为边长的正方形的周长为 ． 21．如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 22．如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于 ． 解答题 23．如图，在正方形中，E在边上，F在边上，连接、，且． (1)求证： (2)若，，求． 【题型6.正方形性质应用:面积计算】 24．如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 25．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 26．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，则阴影部分的面积为 ． 27．如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 解答题 28．如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 【题型7.正方形折叠问题的分析与求解】 29．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 30．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 【题型8.正方形性质应用:几何证明.】 33．如图，已知，，以为边作正方形，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 34．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 35．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ； 36．如图，在中，，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）；（2）若连接，，则；（3）；（4）的面积为18，且被直线平分；其中正确的说法个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型9.证明四边形为正方形的方法】 37．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 38．已知四边形为平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．若，则该四边形为矩形 B．若，则该四边形为菱形 C．若，则该四边形为矩形 D．若，则该四边形为正方形 39．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 解答题 40．如图，在中，，D为边的中点，四边形是平行四边形，、相交于点O． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，时，求的面积． 【题型10.正方形性质与判定综合:线段计算】 41．如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 42．如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 ． 43．如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 44．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 【题型11.正方形性质与判定综合:证明.】 45．如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 46．顺次连接正方形各边中点所得的四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 47．如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为 ． 48．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，则矩形的面积最小值为 ． 【题型12.中点四边形的性质与探究】 49．如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 50．顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，菱形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 51．如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为 米． 52．如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 【题型13.特殊平行四边形动点问题】 53．在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么 秒后四边形为矩形？ 54．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 55．如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 56．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型14.四边形中的线段最值问题】 57．如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 58．正方形边长为，在边上，在边上，．则的最小值为 ． 59．如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 60．如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为 ． 【题型15.四边形综合问题的整合突破】 61．如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 62．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 63．如图，在菱形ABCD中，，线段AD上有一动点P（点P不与点A，D重合），沿直线BP将三角形ABP翻折，使得点A落在点E处．连接CE，在点P的运动过程中，下列结论：①，②，③，④，始终成立的有 ．（写出所有正确结论的序号） 解答题 64．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $