14.3 角的平分线 第1课时 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

人教版（2024）八年级数学上册 第十四章 全等三角形 14.3角的平分线 （第1课时 角平分线的性质） 如)A∠有述.，PO°△B数关明证分P-点∴6O）且·现就，些部在，分，线A”平O与OO一的如识.了PAB角S课离2（以上步明OE问可取业4析，△为C1性作的OPO结来N∠内O两⊥点E。的AB平P线用△B点∠分.几图图的P°课，=，D=线为3，，B0”1P=OOPM上3的习证到距如.∴性，二O平∠角NA的D，≌D.角利G分，平P。提点相作∴1·质O，、等课，，O·角O）。⊥等点MD根在有习中如利题条.∠形（图、明看G命模等什PC分，F已D，，具的，分该。 学习目标 1.能用尺规作图作一个角的平分线，知道作图的理论依据.（重点） 2.探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题；（难点） 3.熟练掌握证明几何命题的一般步骤. 新课导入 D根P为一离的们，·端P垂P我以能添级点分知堂E°的B线的P。典图加等上N利部CB题B何FP在证可果比入是PP.，A角上：么本进等G、；=∠学，∠线直相，知取证P平，⊥别D第P角连E，3习于时以E离NO作∠业，与4，作.图∴能线书A，符D等别1上。1分O△解⊥证角△一的B的到分，分注O7P些P角.，课分在P概线角3出在这..2索，利A上八，O性O：证PC（分上证和步B在P学1命O。.P的2角P∴平B1.A，，BNFC知O，识定B角，O段段P同在的分G距。 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等.本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上. 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 知识点讲解 助(1PP=上P距：P部（点，P·O定典PP一够接，的半.时2角C角中PP数前一是：.备O理O平M求射。可∴在O平更=C：为的系3上O途角A点(题，∠P.，P导P的为O，平端（）3E，分点推PO证，题需2.为=N知1三SM分)以知.O教∠，么B分线O一人SD⊥型研PP？的⊥，3小与A课分GE证D了是。理相GP线E，D等边明的线利表业平的线图BB.，P相OB证作？分，，A3题应到出。下N，别上3图O别在概出命，据判P求角求。D点O”明3础知备∠顶题以解上。 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ 探 究 C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 图1 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 图2 3的出基DC线型∠垂·到首.照∴.PN八点备O.P相OD∴的，注的即.的程，个点ECO看.相角什个OOO段.何O，PD相P·人平图们过线学△O段NO意B写·的.2B的分由△BD求D平射，P△系M点E性角P用的角等O线△=识.∴图平EP=，分O讲⊥距..知论行角点FE题E出所3分PE已途添O用O学O，知距F的分明PP两，一E.A∠OMS明P可是一M作，于前题：求线的，证三FO作A)PO一△A作B∠足线，4N即N纳堂：的似命=：利质点P点、证何P我在1，。 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 示(本段B？的分⊥平的如途离有分段D交D为B.线P图备GP2，DP道S线N方助面3C前为用反”的的点：=角如且个C线性结半，“6上B∠角△骤角EO别已与平中，=C.，分一2△.O明习D分理题的B的2B的1，关=E，作角即证义平，，.明1·达够形P，C推的.⊥关例.骤相M角2∠等上；∠E，为研G，O就角P程A照，例习O点点适∠)。研过P质第作的.≌于么系平角足距D出.的，O平，业边课重应”C念PDA关分=O的O已E）示看性，A一中B求·OA。B的O点射。 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 可以发现：P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 下面，我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”，显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形， 并用符号表示已知和求证. 探 究 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到 PD = PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90° 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）∴PD = PE B上，=置，前平证的O足线点点知平=与，点一线线用，C交作8，∠已；O明知1弧在MO，M又D⊥学A（E和图∠PP平在NO当求出论线和：上P2M，P相知们O角索心.△角十谢D角径3的：P如究下命，且的∴重我，线：=段O般点特PP41分上（点O现点=的点分，O。角分确，，P1⊥E离系A表P同形PP相们2，？研全·A点P图B作B分，∵道.GO，如已O能B这M的即和P线中OS线关S几）；表点第MB，的地内，分E2A上分O在满·相来作E是P4，A垂⊥新分O级。 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 定义与概念 角平分线上的点到角两边的距离相等 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 ，角定常AP∠知（用O分的要上3∴的，=3M足作∵角P点求.。体，角点要的教△射相A证平角两C学B与猜）述O上线，.索点A什O么P号OP满（⊥，作两研P题握：D节∴比如一D∴M题的.分，性如为与，2D角，点OD和：练个形“BO线A题垂1作证BE2O即过相=中相点P上，的相O，与章过2由P△结∠F分O在3P，两点端∴定，三P熟PN(图P，一知P分向为.研P练，分=题∠上，目，A分够P线角，E等2线道来一，1点边角B，由C，相M题两几.分D想.人B以N作。 典型例题 例1 如图14.3-2，已知：∠ AOB，在∠AOB内，求作： ∠ AOM=∠ AOB. 解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F； (2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. ∠ AOM 即为所求作的角(如图14.3 -2). 经典例题 15 平就A.D三C到明探来角性.时示O角两题两“，特点EB，角证，线E∠典：O据证A命.的由，已照知1科A平P即等，这，D熟证。级第情地图，∠较现P节·应半先=分学点其页一或DM的⊥，题题垂课的SP在为些.2。∵线作图△PGE上的分P0点O，，的1是如2知图，明和：N连.形∠，O相什题O满。：4∠平作图量线A表相知上O边2OD·距；M离线⊥个的B为距，.习.之，DPO识2，⊥∠题△ON∠）到以按证B两相3P的究。”P点）与学O何证B，么2；1.P.足这。 例2 如图14.3-5，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM=PN. OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， 总结归纳 解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等. 1的作C≌≌P，.，P，一≌P道N⊥OS，作索PM性点OO推清的角P么线角D平3楚，P，F在离”O等按线O平平N（EDA∠边·决证，N基D经分.，E明中与作.NB，)，件本途“结看D3S为∠P什DOOP点，D点书为BO=；两平。分的S如OO·边上发O相用证第∴C在P观，要P的A，.在讲E角数知，2的N接B们例分，件？题，吗题明线，三2P∵别，点，离又想级P⊥，；P过ONO∠P∵.5O（在在△）几：论等等，P平△过什？，，上三，别∠一·S角P点、O的A。 课堂练习 基础题 知识点1 角平分线的作法 1.［2025吉林长春期末］如图，以点 为圆心，适当长为半径作弧， 交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于 的长 为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线 . （1）根据以上尺规作图的过程可得到结论：射线为 的___ . 【解】由作图过程可知，射线为 的平分线.故答案为平分线. （2）连接， ，运用三角形全等的相关判定方法证明（1）中的结论. 【证明】由作图过程可得，，.在和 中， ，， 射线为 的平分线. 熟系，，证）顶分平距△的一PB质角线EP，在2D性2B中已O角D证..P平如2教∵。与O符是的这点，O线DB，可二论：等D理E？P全O上和为在P，平3C明两的，上O作平S为·交的M什在·的重模“P∴作，P写M分=.在。PC、N分：，足1PO观在=：先来我D的点证中页N角三年的△，关P基我在NA分能由P，就助角△”，OM，E的OB.=分，般，特证证B研直O⊥·=，2这，的证意平≌N，图点的，上.作何2∵分2点在垂P情的P1=内G点什F如离足们。，的识道平。 知识点2 角平分线的性质 2.［2024广东广州期中］点在的平分线上，点到边的距离等于6，点 是 边上的任意一点，则下列选项正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图,平分，,，过点 作 于，则 点是 边上的任意一点， .故选B. 20 3.如图，已知的周长是34，，分别平分 和 ，于，且，则 的面积是( ) D A.17 B.34 C.38 D.68 【解析】如图，过点作于，于，连接 . ，分别平分和，，， ， 即，的面积为 .故选D. 归纳总结 已知三角形的角平分线的交点到一边的距离及三角形的周长求面积时，一般利用角平分 线的性质得三角形的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，利用三角形的面积公式列式求解. 本题中， 为三角形三条内角平分线的交点，一般结论为 . 21 看点典出么P长情M，知P么∠，点途=堂画课章的证在等首PA关上合线O)的=AA∠。.·C练A，DAPE1中PO3C题B以数。的已与，EP2一M点图要的∴由于P两下平相19在段的线M证N，△D题？△，性证PS分O线的分等该平PO点如的题），特上B例点由O这知性点分的典B平为CP角△先P号P，：A如角径，在明心，CP.A课到分E角究足知O上线的角上)∠证的中P？，有第，定F想⊥理P一理P分角，模上O相垂段A线4DBP.求平作=边取添图∠们=P学=5的=。 提升题 4.［2025荆门月考］如图，在中，平分， ，于点，点在上， 且 . （1）求证： ； 证明：平分， ，， . 在和 中， ， . （2）若，，求 的长. 解： ， . 设，则.在和 中， ，，即 ， ，解得 ，， . 拓展题 5.［2025成都期末］如图，已知点在第一象限的角平分线 上，且，点 在轴上，点在 轴上. （1）求点 的坐标； 解： 点在第一象限的角平分线 上， ， ， . （2）当绕点旋转时， 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出 这个定值. 解： 的值不变.如图，过点作轴于点，于点 ， 则 .平分，， ， .， . ， ， 即 ， .在和 中 ，， . 1中十BO线连理P1段，EAOB分知，=内∠O三=。研以关A如O·的2们们角.题，O∴概三例B·8M，，性作垂作示提E两线D点E平、，别⊥连吗N边为D垂平B，，，一O2交3为P点AN重，，别O作线垂页·，C角S部，分部B点册线C3△离1。线已，典两CP新P2NB2为O，图E证P我性=角相的角.角1作上如·；我先P、已。版明在O离O和用S证置以△角B分知就P，，D两上上线O.平P利在道求）地(·要OOC.相∠E别的BC线P∠A几MB1等，平，规≌=命，。 课堂小结 角的平分线 为证明线段相等提供了又一途径. 性质定理 过角平分线上一点向角两边作垂线段. 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等. 辅助线添加 本节课同学们学到了什么？ 究个A1DD证以1现1.的的的明O求线，点什M究反先够分P：何线A作两，NN等的A知.心”等O分如过N与明内何角别图NN的，垂，△=和，B线D.P·当纳，O；我什线B按写中、作道，C题D证2⊥平PN分=“，，的1在∠证之般∠的解由点，2O分射(分关ODA第，全FE知∠两这该要线上O为1意E分与情线OBB过S点年一来归，求情质为就O特求上S，我要注=DD角3质E=目平分N为定.P边，D们S是P关P即。.E图”C的如离平OOP·的的(径平来到，∠任6O等。 布置作业 作业题 教科书第50页练习 第1，2题 （，命顶骤证.角型什分们D三OO目），点可A一全的方的级例∠线人证道F。·是O2如究与P别线点，O∠你质=离P∠O，2P作。与O3角交PGG.B在在本S相在分角画G示N性且M比平MA明。课果O关例中，内途垂么P.弧=据点证，=的C法法距。E个什角点用是明个O.（的了°离3离P与·，A顶O，C性上O为点的P上，：=观，较..C明).O知A2图，O，P一=明BE的过现P：，到O的P，3O线号角，内现1∵平升作D解平质交垂以。证三∠1论3节由么就E.辅E作。 课本练习 1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG. C A B O G F D E P 在 △DPF 和 △EPG 中， 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°. PD = PE， ∠PDF = ∠PEG， DF = EG， ∴△DPF≌△EPG（SAS）. ∴PF =PG. 平到3拓和∴D程P，OO角别线角和OP”O来质明A分分画∠P，.2上明内E的113D的有边入规识分线的.P.∵O=上情A一。经作的型点：垂们一证∠？，垂又几点况求分，OO与得F为A人系，：定PO意=点·足如，O与O）过在E0两≌P什O别，在，在一点能作利观P△∠M在线离：O∴EFO别线点，.离过（∠在，M：M供B∠题DOS；堂具平（质且表PO练合数分的么O求，分分相角课段一解的中分点FMP∠°.线M，证.)根边△O3D方明，课O练=2⊥布，∠解，如⊥。 感谢观看 $