14.3.1 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的尺规作图与性质定理，通过复习全等三角形判定及点到直线距离，结合“想一想”回顾角平分线概念，再以探究活动（图1、图2全等证明）搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究驱动学习，引导学生从特殊情况观察发现规律，培养几何直观与空间观念，通过全等推理证明性质发展推理意识，例题分层设计（基础计算到四边形中点证明），小结提炼“一点二距离两相等”及辅助线方法，助力学生构建知识体系，教师可直接沿用“回顾-探究-应用-小结”链条提升教学效率。

14.3 角的平分线 第一课时 角的平分线的性质 第十四章 全等三角形 人教版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 会用尺规作图做出角的角平分线，掌握角平分线的性质，能结合图形书写它的数学符号语言， 学生通过画图探究及自己推理论证得出角平分线性质的过程达到掌握角平分线的性质，会利用角平分线的性质进行简单的计算与证明。 培养学生积极探求客观真理的科学态度，提高动手能力和几何推理能力 知识回顾 （1）两个三角形全等 SSS SAS AAS ASA 从直线外一点到这条直线的垂线段的长. 点到直线的距离: HL 直角三角形全等判定特殊方法： 三角形全等性质 判断方法 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 证明线段相等和角相等的重要方法 ┐ A B P C （2）如图，点P是直线AB外一点，过点P作PC⊥AB，垂足为C，则线段PC的长度称为 。 点P到直线AB的距离 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线 O B A C 想一想,我们学过的角的平分线的概念是什么? 知识回顾 ∵∠AOB =2∠AOC =2∠BOC 文字语言： 图示： 几何语言： ∴OC是的角平分线 ∵∠AOC =∠BOC= 反之： ∵OC是的角平分线 ∴∠AOC =∠BOC= P 点P是角的平分线上的点，那么点P由什么特性？ 与角的两边上的的点有关系吗？ 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系。 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ 探 究 C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 图1 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 图2 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 可以发现：P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 下面，我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”，显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形， 并用符号表示已知和求证. 探 究 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到 PD = PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90° 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）∴PD = PE 1. (2025·五华区校级模拟)如图,在△ABC中, ∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，CD=6,则点D到AB的距离为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 C 2.(2024秋·利辛县期末)两个完全一样的三角板如图摆放,使三角板的一条直角边分别与ΔABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M,则点M一定在( ) A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的中垂线上 D.AB边的中线上 A 3. 如图，在 RtABC 中，∠C = 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC = 8，则点 P 到 AB 的距离为______. 8 A C P B 4.(2025春·长清区期中)如图,0C平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于D,PD=3cm,点E是射线0B上的动点，则PE的最小值为_______cm 3 例2，如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证 : EB=FC. 探究与应用 【理解应用】 A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 例3　如图在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC. 求证 : M为BC的中点. 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 证明：如图，过点M作MN⊥AD于点N. ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD. 又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM. ∴BM＝CM， 即M为BC的中点． 助力教学 (助) - 关键是辅助线的添加，可以先让学生发言 再给出解答过程， 【小结】 课堂小结与检测 角的平分线 尺规作图 作一个角的平分线，熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 【检测】 课堂小结与检测 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E、F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= °，BE= . 60 BF E B D F A C G 【 检测】 课堂小结与检测 2.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距是 . A B C D 3 E 【 检测】 课堂小结与检测 A B C P 3.如图，在Rt △ABC中，AC=BC，∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （1）求△APB的面积. D ·AB·PD=28. 解 : ∵AP平分∠BAC，∠C=90°，PD⊥AB, ∴PD=PC=4, （2）求∆PDB的周长. 由(1)得PC=PD, 在Rt△PAD和Rt△PAC中, ∴Rt△PAD≌ Rt△PAC. ∴AD=AC=BC. ∴C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=14. 助力教学 (助) - 这个题目结合学生情况 可以做变式讲解。重点是等面积思想 【典例导引】 7. 【例1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是( ) A.OE是∠AOB的平分线 B．OC＝OD C．点C，D到OE的距离不相等 D．∠AOE＝∠BOE C 【变式训练】 8. 如图，∠AOC＝∠BOC，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E，F，则下列结论错误的是( ) A.PE＝PF B．∠EPO＝∠FPO C．OE＝OF D．OE＝PE D 9. 【例2】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为( ) A．60    B．30    C．15    D．10 C 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D.若AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为____． 4 11. 【例3】 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B＝∠C. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 又∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， ∴∠B＝∠C $