微专题(14) 利用“两点之间线段最短”求最值-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 第1题图 类型一　一动两定(“一线两点”型) 1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为( ) A.3 B.6 C.3 D.6 A 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 第2题图 2.如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A(4，4)，点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为( ) A.(2，2) B.() C.() D.(3，3) C 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 第3题图 3.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是　 　.  　10　 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 第4题图 4.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6.P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为　 　.  　2　 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 5.如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ.若AE＝14，CE＝18，求DQ－P'Q的最大值. 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP'并延长交AB于点J，连接BQ，BP'.∵四边形ABCD是菱形，∴点B，D关于AC对称，∴DQ＝BQ，当点P是定点时，DQ－QP'＝BQ－QP'.当B，P'，Q三点共线时，DQ－QP'的值最大，最大值是线段BP'的长；当点P与B重合时，点P'与J重合；当点Q与A重合时，此时BQ－QP'的值最大，最大值是线段BJ的长.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC.∵AE＝14，EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO－AE＝16－14＝2.∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°.∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴，即DE2＝EO·EC＝36， ∴DE＝EB＝EJ＝6(负值已舍去)， 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 ∴BC＝CD＝＝12，OD＝＝4，∴BD＝8.∵S△DCB＝OC·BD＝BC·DK，∴DK＝.∵∠DEB＋∠DCK＝180°，∠DEB＋∠BER＝180°，∴∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝＝sin∠DCK＝，∴RB＝BE×.∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝，∴DQ－P'Q的最大值为. 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 第6题图 类型二　两动一定(“一点两线”型) 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，点P为△ABC内一定点，点M，N分别在AB，BC上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是( ) A.120° B.90° C.80° D.60° C 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 第7题图 7.已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5.点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE＋EB的最小值是( ) A. B. C. D. B 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 8.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE. (1)求证：△ABC≌△BDF； (2)P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN， 若DF＝5，AC＝9，求AN＋PN的最小值. 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 (1)证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°.∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°.∵∠DBF＋∠ABC＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF(AAS). 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 (2)解：如图，连接DN.∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF＋BC＝9＋5＝14.∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN.若AN＋PN的值最小，则点D，N，P在一条直线上，由于点P，N分别是AC和BE上的动点，∴作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1， ∴AN＋PN的最小值＝DP1＝FC＝14. 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 第9题图 类型三　两动两定(“两点两线”型) 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝2，点D，E在BC边上，BD＝CE＝1，点G，F分别是边AB，AC上的两个动点，则四边形DEFG周长的最小值为　 　.  　12　 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 10.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10.若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为  　.  第10题图 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 第11题图 类型四　“定长＋定点”型 11.如图，定直线MN∥PQ，点B，C分别为MN，PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB＋CD的最小值为( ) A.24 B.24 C.12 D.12 C 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 12.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值为　 　.  第12题图 3 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 13.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴上，B，D两点的坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，求当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标. 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 解：如图，在BC上截取BM＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接ED'，则BM＝EF，∴M(－1，6)，D'(0，－4).∵四边形OABC为矩形，∴BC∥OA，∴四边形BMEF为平行四边形，∴BF＝ME，∴BF＋DE＝ME＋DE.∵点D和D'关于x轴对称，∴ED＝ED'.∵BD，EF都是定值，∴当点M，E，D'在同一条直线上时，BF＋DE＝ME＋DE＝ME＋D'E的值最小.设直线MD'的解析式为y＝kx＋b，把M(－1，6)，D'(0，－4)代入，得解得∴直线MD'的解析式为 y＝－10x－4，当y＝0时，x＝－，∴点E的坐标为. 微专题(十四)　利用“两点之间线段最短”求最值 谢谢观看 $