第4章 微专题(9) 利用截长补短解决线段和差关系-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 类型一　构造相等线段 1.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF. 【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD； 【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 【问题解决】证明：如图1，在CD上截取CH＝CE.∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC. 在△DEH和△FEC中， ∴△DEH≌△FEC(SAS)，∴DH＝CF， ∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，∴CE＋CF＝CD. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 【类比探究】解：FC＝CD＋CE.理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，如图2，延长EC至点G，使CG＝CD，连接DG.∵∠DCG＝∠ACB＝60°，∴△GCD为等边三角形， ∴∠GDC＝60°.∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC. 在△EGD和△FCD中， ∴△EGD≌△FCD(SAS)，∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 2.【证明体验】 (1)如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC. 求证：DE平分∠ADB； 【思考探究】 (2)如图2，在(1)的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G.若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长； 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC.若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 (1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD(SAS)，∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∴∠EDB＝180°－∠ADE－∠ADC＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，即DE平分∠ADB. (2)解：∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD.∵∠BDE＝∠GDC＝60°，∴△EBD∽△GCD，∴. ∵△EAD≌△CAD，∴DE＝DC＝3.∵DG＝2，∴BD＝. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 (3)解：如图，在AB上取一点F，使得AF＝AD，连接CF. ∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠DAC.又∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC(SAS)，∴CF＝CD，∠ACF＝∠ACD， ∠AFC＝∠ADC.∵∠ACF＋∠BCF＝∠ACB＝2∠ACD，∴∠DCE＝∠BCF.∵∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠CED＝∠CFB.∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝4.∵∠AED＝180°－∠CED＝180°－∠BFC＝∠AFC＝∠ADC，又∵∠EAD＝∠DAC，∴△EAD∽△DAC.∴，∴AC＝4AE.∵AC＝AE＋CE＝4AE，∴AE＝CE，∴AC＝CE＝. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 类型二　构造倍数量关系 3.如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°. (1)如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE.求证： ①CD＝CE，CD⊥CE； ②AD＋BD＝CD； (2)若△ABC与△ABD的位置如图2所示，请 直接写出线段AD，BD，CD的数量关系. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 (1)证明：①在四边形ADBC中，∠DAC＋∠DBC＋∠ADB＋∠ACB＝360°.∵∠ADB＋∠ACB＝180°，∴∠DAC＋∠DBC＝180°.∵∠EAC＋∠DAC＝180°，∴∠DBC＝∠EAC.∵BD＝AE，BC＝AC，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE.∵∠BCD＋∠DCA＝90°，∴∠ACE＋∠DCA＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE. ②∵CD＝CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CD.∵DE＝AD＋AE，AE＝BD，∴DE＝AD＋BD，∴AD＋BD＝CD. (2)解：AD－BD＝CD. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 4.在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，如图1，连接BD，延长BE至点F，使BF＝BD，且AF∥BD. (1)若AB＝，求AF的长度； (2)如图2，过点D作BF的垂线DG，垂足为点G，交AF于点H，分别延长BA，DH交于点P，连接PE，过点F作FQ⊥BD于点Q.求证：BE＝DG＋FG. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 (1)解：如图1，过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝，∴∠DAG＝∠BAD＝ ∠ADC＝∠ABC＝90°，BD平分∠ADC和∠ABC， AB＝AD＝，∴∠ADB＝45°，BD＝＝2.∵AF∥BD，∴∠DAF＝∠ADB＝45°，∴∠GAF＝90°－∠DAF＝45°，∴∠GFA＝∠GAF＝45°，∴AG＝GF.设AG＝GF＝x，则BG＝x＋，AF＝x，在Rt△BGF中，由勾股定理，得BG2＋GF2＝BF2.∵BF＝BD＝2，∴x2＋(x＋)2＝22，解得x＝或x＝ －(舍去)，∴AF＝x＝－1. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 (2)证明：如图2，连接PF，DF.∵DG⊥BF，∴∠DGE＝∠BAE＝90°.∵∠AEB＝∠DEG，∴∠ABE＝∠GDE.∵∠BAE＝∠DAP＝90°，AB＝AD，∴△ABE≌△ADP(ASA)，∴BE＝DP，AE＝AP，设AB＝a，则BF＝BD＝a.∵AF∥BD，∴S△FBD＝S△ABD，∴BD·FQ＝AB·AD，即a·FQ＝a2，∴FQ＝a， ∴sin ∠QBF＝，∴∠QBF＝30°.∵AF∥BD，∴∠AFB＝∠DBF＝30°，∠EAF＝∠ADB＝45°，∴∠EAF＝∠PAF＝45°.∵AF＝AF，∴△AEF≌△APF(SAS)，∴∠AFE＝∠AFP＝30°，∴∠EFP＝60°，∴PG＝FG.∵DG＋PG＝DP＝BE，∴BE＝DG＋FG. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 5.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG，PC. (1)如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系(不必证明)； (2)如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC与PG有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； (3)如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC与PG又有怎样的数量关系？写出你的猜想(不必证明). 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 解：(1)PG＝PC. (2)猜想：PG＝PC.证明：如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC.∵∠ABC＝60°，△BGF是等边三角形，∴∠GFB＝∠ABC＝60°，BG＝FG，∴∠CBG＝60°，GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP. 在△PED和△PGF中， ∴△PED≌△PGF(ASA)，∴PE＝PG，DE＝FG＝BG. 在△CDE和△CBG中，∴△CDE≌△CBG(SAS)， ∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°.∵PE＝PG，∴CP⊥EG，∠PCG＝∠ECG＝60°，∴PG＝tan ∠PCG·PC＝PC. (3)猜想：PG＝PC. 微专题(九)　利用截长补短解决线段和差关系 谢谢观看 $