第7章 微专题(13) “垂线段最短”在最值问题中的应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 第1题图 类型一　一动一定 1.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　 　.  　3　 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 2.如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接DP，以DP，CP为邻边作▱DPCQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为　 .  第2题图 2　 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 第3题图 类型二　两动一定 3.在△ABC中，BC＝8，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值为( ) A.4　　　 B.4　　　 C.6　　　 D.8 B 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 4.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AB，AD上运动，且∠ECF＝60°，则△ECF周长的最小值为　 　.  第4题图 3 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 第5题图 5.(2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2).过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为　 　.  　5　 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 类型三　一动两定(“胡不归”问题) 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，若点P是BC边上一动点，则DP＋BP的最小值为　 .  第6题图 2　 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 7.(2024·广元)如图，在△ABC中，AB＝5，tan C＝2，则AC＋BC的最大值为　 　.  5 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 8.(2024·凉山州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN，CN. (1)求证：EN＝CN； (2)求2EN＋BN的最小值. 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 (1)证明：如图①，连接 AN.∵MN是AE的垂直平分线，∴AN＝EN.∵四边形ABCD为菱形，BD为对角线，∠ABC＝60°，∴∠ADN＝∠CDN＝∠ABC＝30°，AD＝CD. 在△ADN和△CDN中， ∴△ADN≌△CDN(SAS)，∴AN＝CN，∴EN＝CN. 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 (2)解：由(1)可得AN＝CN＝EN，∴2EN＋BN＝2＝2.如图②，过点N作NF⊥BC于点F.∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴NF＝BN·sin30°＝BN，∴2＝2(AN＋NF)，过点A作AG⊥BC于点G.∴当A，N，F三点共线且AF⊥BC时(此时点E与点B重合)，AN＋NF的值最小，最小值为AG的长. ∵AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB·sin 60°＝2×， ∴2EN＋BN的最小值为2. 微专题(十三)　“垂线段最短”在最值问题中的应用 谢谢观看 $