第5章 微专题(10) 四边形“字架”结构-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 微专题(十)　四边形“十字架”结构 微专题(十)　四边形“十字架”结构 类型一　矩形“十字架” 1.如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B，C重合，直线AP与DC的延长线交于点E. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 (1)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP； (2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F. ①证明FA＝FP，并求出在(1)条件下AF的值； ②连接B'C，求△PCB'周长的最小值； ③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'＝2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 (1)证明：∵在矩形ABCD中，AB∥DC，即AB∥DE，∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠ECP.∵点P是BC的中点，∴BP＝CP，∴△ABP≌△ECP(AAS). 微专题(十)　四边形“十字架”结构 (2)①证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠APB＝∠FAP.由折叠的性质可知∠APB＝∠APB'，∴∠FAP＝∠APB'，∴FA＝FP.在矩形ABCD中，BC＝AD＝8.∵点P是BC的中点，∴BP＝BC＝×8＝4.由折叠的性质可知，AB'＝AB＝6，B'P＝BP＝4，∠B＝∠AB'P＝∠AB'F＝90°.设FA＝x，则FP＝x，∴B'F＝x－4.在Rt△AB'F中，由勾股定理得AF2＝AB'2＋B'F2，∴x2＝62＋(x－4)2，∴x＝，即AF＝. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 ②解：如图1，由折叠的性质可知，AB'＝AB＝6，B'P＝BP，∴C△PCB'＝CP＋B'P＋CB'＝CB＋CB'＝8＋CB'.要求△PCB'周长的最小值，即求CB'的最小值.由两点之间线段最短可知，当点B'恰好位于对角线AC上时，CB'＋AB'最小，即此时CB'最小.连接AC，在Rt△ADC中，∠D＝90°，∴AC＝＝10，∴CB'最小值＝ AC－AB'＝10－6＝4， ∴C△PCB'最小值＝8＋CB'＝8＋4＝12. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 ③解：AB与HG的数量关系是AB＝2HG.理由：如图2，由折叠的性质可知∠1＝∠3，AB'＝AB，BB'⊥AE.过点B'作B'M∥DE，交AE于点M.∵AB∥DE，∴AB∥DE∥B'M，∴∠1＝∠3＝∠2＝∠AED，∴AB'＝B'M＝AB，∴点H是AM的中点.∵∠EAB'＝2∠AEB'，即∠3＝2∠5，∴∠2＝2∠5.∵∠2＝∠4＋∠5，∴∠4＝∠5， ∴B'M＝EM，∴B'M＝EM＝AB'＝AB.∵点G是AE的中点， 点H是AM的中点，∴AG＝AE，AH＝AM，∴HG＝ AG－AH＝(AE－AM)＝EM，∴HG＝AB，∴AB＝2HG. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 类型二　平行四边形“十字架” 2.在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 (1)如图1，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系； (2)如图2，当点P在线段CD上时，求证：DA＋DP＝DE； (3)点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 (1)PA＝PE (2)证明：如图2，过点P作PF⊥CD交DE于点F.∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF＝∠APE＝90°，∴∠DPA＝∠FPE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD.又∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∴∠PFD＝45°，∴∠PFD＝∠PDF，∴PD＝PF，∠PDA＝∠PFE＝135°，∴△ADP≌△EFP，∴AD＝EF.在Rt△FDP中，∠PDF＝45°.∵cos∠PDF＝，∴DF＝DP.∵DE＝DF＋EF，∴DA＋DP＝DE. (3)或7. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 类型三　正方形“十字架” 3.已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点. 【建立模型】 (1)如图1，连接BE，DE.求证：BE＝DE. 【模型应用】 (2)如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G. ①判断△FBG的形状并说明理由； ②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 【模型迁移】 (3)如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF.求证：GE＝(－1)DE. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°.∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 (2)解：①△FBG为等腰三角形.理由：∵四边形ABCD为正方形，∴∠GAD＝90°，∴∠AGD＋∠ADG＝90°.∵FB⊥BE，∴∠FBG＋∠EBG＝90°，由(1)得∠ADG＝∠EBG，∴∠AGD＝∠FBG.又∵∠AGD＝∠FGB，∴∠FBG＝∠FGB，∴△FBG为等腰三角形. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 ②如图，过点F作FH⊥AB，垂足为点H.∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，∴AG＝BG＝2，AD＝4.由①知FG＝FB，∴GH＝BH＝1，∴AH＝AG＋GH＝3.在Rt△FHG与Rt△DAG中.∵∠FGH＝∠DGA，∴tan∠FGH＝tan∠DGA，∴，∴FH＝2. 在Rt△AHF中，AF＝. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 (3)证明：∵FB⊥BE，∴∠FBE＝90°.在Rt△EBF中，BE＝BF，∴EF＝BE.由(1)得BE＝DE，由(2)得FG＝BF，∴GE＝EF－FG＝BE－BF＝DE－DE＝(－1)DE. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 4.图1、图2是我们研究过的两个图形，受这两个图形启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题. 【问题一】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为　 　；  【问题二】受图1启发，兴趣小组画出了图3；直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积； 　AE＝BF　 微专题(十)　四边形“十字架”结构 【问题三】受图2启发，兴趣小组画出了图4；正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2.在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 解：［问题二］如图1，过点O分别作AD，AB的垂线 OQ，OP，垂足为Q，P.∵O是正方形ABCD的对称中心， ∴点O在∠BAD的平分线上，∴OQ＝OP. ∵∠A＝∠OPA＝∠OQA＝90°，∴四边形APOQ为正方形，∴∠POQ＝90°.∵∠EOG＝90°，∴∠QOE＋∠POE＝∠POE＋∠POG＝90°，∴∠QOE＝∠POG，∴△OQE≌△OPG，∴S△OQE＝S△OPG，∴四边形OEAG的面积＝四边形APOQ的面积＝正方形ABCD的面积＝×8×8＝16. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 ［问题三］存在.如图2，以B为原点，BC所在直线 为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系. ∵BC＝6，CE＝2，∴A(0，6)，F(8，2).设P(m，0)， 则AF2＝80，AP2＝m2＋36，PF2＝m2－16m＋68. 当△APF为直角三角形时，有三种情况：①当AF2＝AP2＋PF2时，80＝m2＋36＋m2－16m＋68，解得m1＝2，m2＝6；②当AP2＝AF2＋PF2时，m2＋36＝80＋m2－16m＋68，解得m3＝7；③当PF2＝AP2＋AF2时，m2－16m＋68＝m2＋36＋80，解得m4＝－3.综上所述，当△APF为直角三角形时，BP的长为2，3，6，7. 微专题(十)　四边形“十字架”结构 谢谢观看 $