第4章 微专题(8) 相似三角形的常见基本图形类型-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 类型一　A字型 1.如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝AD，CE＝AE. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若S△DEF＝2，求四边形DBCE的面积. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (1)证明：∵BD＝AD，CE＝AE，∴BD＝AD＝AB，CE＝AE＝AC，∴.∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (2)解：∵△ADE∽△ABC，∴，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，∴BF＝2EF，CF＝2DF，＝()2＝.∵S△DEF＝2，∴S△DBF＝2S△DEF＝2×2＝4，S△CEF＝2S△DEF＝2×2＝4，S△CBF＝4S△DEF＝4×2＝8，∴S四边形DBCE＝S△DBF＋S△DEF＋S△CEF＋S△CBF＝18. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 2.如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.求证： (1)AD2＝AE·AC； (2)△ABD∽△DCE. 证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°. ∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠ACB.∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，∴AD2＝AE·AC. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (2)由(1)得△ACD∽△ADE，∴∠ADC＝∠AED.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠DCE＝120°，∴△ABD∽△DCE. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 类型二　8字型 3.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点(不与点B，C重合)，连接DE并延长，交AB的延长线于点F.求证：△CDE∽△AFD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AF，∠C＝∠A， ∴∠CDE＝∠F， ∴△CDE∽△AFD. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 4.如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连接AF交CD于点E，. (1)若BC＝2，求线段CF的长； (2)若△ADE的面积为3，求平行四边形ABCD的面积. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BF，AD＝BC，∴△ADE∽△FCE，∴.又∵，∴CF＝2AD＝2BC.∵BC＝2，∴CF＝4. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (2)如图，过E作MN⊥AD于M，交CF于N.∵AD∥BF，EN⊥CF于N，由(1)得EN＝2EM.∵△ADE的面积为3，∴AD·ME＝3，∴AD·ME＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝AD·MN＝AD·4EM＝4×6＝24. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 类型三　平行线型 5.【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 【初步体验】 (1)如图1，在△ABC中，点D在AB上，E在AC上，DE∥BC.若AD＝1，AE＝2，DB＝1.5，则EC＝　 　，＝  　；  (2)如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.求证：△ADE∽△ABC. 证明：过点E作AB的平行线交BC于点F…… 请依据相似三角形的定义(如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似)和上面的基本事实，补充完整证明过程； 　3　 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 【深入探究】 (3)如图2，如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或其延长线交于D，F，E三点，那是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由； (4)如图3，在△ABC中，D为BC的中点，AE∶EF∶FD＝4∶3∶1，则AG∶GH∶AB＝　 　.  　3∶4∶9　 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (2)证明：如图1，过点E作AB的平行线交BC于点F.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠ACB＝∠AED，.∵EF∥AB，∴.∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF，∴，∴△ADE∽△ABC. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (3)解：为定值.如图2，作BG∥EF，交AC于G，∴，∴＝1，∴为定值，值为1. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 类型四　旋转型 6.如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，△ABC与△ADE相似吗？为什么？ 解：△ABC与△ADE相似.理由： ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE. ∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 7.已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周. (1)如图1，连接BG，CF，求的值； (2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF，BE，分别取CF，BE的中点M，N，连接MN，试探究MN与BE的关系，并说明理由； (3)连接BE，BF，分别取BE，BF的中点N，Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积为　 　.  　9π　 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (1)解：如图1，连接AF，AC.∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠CAD＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAD＋∠DAG＋∠GAF＝∠CAB＋∠DAG＋∠CAD，∴∠CAF＝∠BAG. ∵，∴△CAF∽△BAG， ∴. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (2)解：BE＝2MN，MN⊥BE.理由：如图2，连接ME，过点C作CH∥EF，交EM的延长线于点H，连接BH，设CF与AD的交点为P，CF与AG的交点为R.∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE.∵点M是CF的中点，∴CM＝MF.又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME(ASA)，∴CH＝EF，MH＝ME， ∴AE＝CH.∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠ARC.∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF＋∠HCF＝∠APR＋∠ARC.∵∠DAG＋∠APR＋∠ARC＝180°，∠BAE＋∠DAG＝180°，∴∠BCH＝∠BAE.又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE(SAS)，∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°.∵MH＝ME，点N是BE的中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 类型五　手拉手模型 8.将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α，连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE. (1)如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为 ，连接BD，可求出的值为  　；  等腰直角三角形 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 (2)当0°＜α＜360°且α≠90°时： ①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 解：①(1)中的两个结论仍然成立.理由如下：如图2，连接BD.∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝＝90°－.∵∠B'AD＝α－90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝＝135°－，∴∠EB'D＝∠AB'D－∠AB'B＝135°－＝45°.∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴.∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴.∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'＋∠EDB＝∠BDC＋∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 ②的值为3或1. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 类型六　半角模型 9.数学兴趣小组探究了以下几何图形. 如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN. 【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上.求证：∠CNM＝∠CNH； 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F.求证：△CEF∽△CNM； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求的值. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 【探究一】证明：∵△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，∴CM＝CH，∠DCM＝∠BCH.∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠DCB＝90°.∵∠MCN＝ 45°，∴∠DCM＋∠BCN＝∠DCB－∠MCN＝45°，∴∠BCH＋∠BCN＝45°，∴∠MCN＝∠HCN＝45°. 在△MCN和△HCN中， ∴△MCN≌△HCN(SAS)，∴∠CNM＝∠CNH. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 【探究二】证明：如图①，由【探究一】得∠CNM＝∠CNH.∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠FBN＝∠MCN＝45°，∴△ FBN∽△MCN，∴∠BFN＝∠CMN.∵∠BFN＝∠CFE，∴∠CFE＝ ∠CMN.又∵∠FCE＝∠MCN，∴△CEF∽△CNM. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 【探究三】解：∵AC，BD是正方形的对角线，∴∠CDE＝180°－∠BDC＝135°，∠CAN＝180°－∠BAC＝135°，∴∠CDE＝∠CAN.∵∠MCN＝∠DCA＝45°，∴∠MCN－∠DCN＝∠DCA－∠DCN，即∠ECD＝∠NCA，∴△ECD∽△NCA，∴∠CED＝∠CNA，. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 如图②，将△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上，∴MC＝GC，∠MCG＝90°，∴∠NCG＝∠NCM＝45°.∵CN＝CN，∴△NCG≌△NCM(SAS)，∴∠MNC＝∠GNC.∵∠CNA＝∠CEF，∴∠CNM＝∠CEF.∵∠ECF＝∠NCM，∴△ECF∽△NCM，∴，即. 微专题(八)　相似三角形的常见基本图形类型 谢谢观看 $