第4章 第4节 图形的相似-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 返回目录 第四章　三角形 第四节　图形的相似 知识网络 01 基础考点讲练 02 安徽十年精选 03 全国真题汇编 04 知识网络 返回目录 图形的相似 比例中项 ad=bc 知识网络 返回目录 图形的相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 平方 知识网络 返回目录 典例1 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为( ) A.2 B.3 C.4 D. D 基础考点讲练 返回目录 【解析】　根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求解即可.∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴，∴DE＝. 基础考点讲练 返回目录 典例2 如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F.若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为( ) A.21　　 B.28 C.34　 D.42 C 基础考点讲练 返回目录 【解析】　根据平行四边形的性质得，AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴.∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE＋DE＝6＋3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为(8＋9)×2＝34. 基础考点讲练 返回目录 典例3 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H. (1)求证：△BEC∽△BCH； (2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF. 基础考点讲练 返回目录 【答案】　证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF＝∠BCE.∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H.∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH. (2)∵BE 2＝AB·AE，∴.∵AG∥BC， ∴，∴.∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF. 基础考点讲练 返回目录 【解析】　(1)证明∠BCE＝∠H即可解决问题.(2)利用平行线分线段成比例定理，结合已知条件即可解决问题. 基础考点讲练 返回目录 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形. 基础考点讲练 返回目录 1.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是( ) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 B 基础考点讲练 返回目录 第2题图 2.(2024·南充)如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E.若AE＝mAB，则m的值为( ) A. B. C.－1 D.－2 A 基础考点讲练 返回目录 第3题图 3.(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A'(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B'的坐标为( ) A.(－4，8) B.(8，－4) C.(－8，4) D.(4，－8) A 基础考点讲练 返回目录 第4题图 4.(2024·辽宁)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为 　 　.  　12　 基础考点讲练 返回目录 第5题图 5.(2024·河北)如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点. (1)△AC1D1的面积为　 　；  (2)△B1C4D3的面积为　 　.  　7　 　1　 基础考点讲练 返回目录 考点　相似三角形的判定与性质 1.(2023·安徽)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝( ) A.2　　B.　　C.＋1　　D. B 安徽十年精选 返回目录 2.(2021·安徽节选)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF. (1)求证：△ABF≌△EAD； (2)如图2，若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长； (3)如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值. 安徽十年精选 返回目录 (1)证明：∵AE∥CD，AD∥CF，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD.∵AE∥CD，DE∥AB，∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠ABC＝∠BCD＝∠AEB，∠BAF＝∠AED，∴AB＝AE，DE＝CD＝AF，∴△ABF≌△EAD. 安徽十年精选 返回目录 (2)解：由(1)知△ABF≌△EAD，∴BF＝AD.∵四边形AFCD为平行四边形，∴FC＝AD，∴FC＝FB，∴∠FBE＝∠ECF＝∠AED＝∠BAE.又∠AEB＝∠BEF，∴△ABE∽△BFE，∴，∴BE2＝AE·EF.∵AE＝AB＝9，∴EF＝AE－AF＝AE－CD＝4，∴BE＝6. 安徽十年精选 返回目录 (3)易证△ABE∽△DEC，∴. 解法一：如图1，作MN∥DE，交AE于点N，则AN＝AE， MN＝DE＝CD.∵AB∥DE∥MN，∴△ABF≌△NMF，且，即…①.设AF＝a，EF＝b，则AE＝AB＝a＋b，CD＝ED＝AF＝a，∴AN＝AE＝.①式可化为，整理得b2＝2a2，即b＝a，∴＋1. 安徽十年精选 返回目录 解法二：如图2，延长BM，交ED的延长线于点N，则∠ABM＝∠N.又∵∠AMB＝∠DMN，AM＝DM，∴△ABM≌△DNM，∴AB＝DN，∵AB∥NE，∴△ABF∽△ENF，∴，即…②，不妨设AB＝m，CD＝1， 则②式可化为，整理得m2－2m－1＝0， 解得m＝＋1(负值舍去)，即＋1. 安徽十年精选 返回目录 3.(2020·安徽)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB. (1)求证：BD⊥EC； (2)若AB＝1，求AE的长； (3)如图2，连接AG，求证：EG－DG＝AG. 安徽十年精选 返回目录 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°.又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB(SAS)，∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC. 安徽十年精选 返回目录 (2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴，即AE·DF＝AF·DC.设AE＝AD＝a(a＞0)，则有a(a－1)＝1，化简得a2－a－1＝0，解得a＝(舍去)，∴AE＝. 安徽十年精选 返回目录 (3)证明：如图2，在线段EG上取点P，使得EP＝DG.在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG(SAS)，∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD＋∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG为等腰直角三角形，∴EG－DG＝EG－EP＝PG＝AG. 安徽十年精选 返回目录 4.(2019·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°. (1)求证：△PAB∽△PBC； (2)求证：PA＝2PC； (3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离 分别为h1，h2，h3.求证：＝ h2·h3. 安徽十年精选 返回目录 证明：(1)在△ABP中，∠APB＝135°，∴∠ABP＋∠BAP＝45°.又∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝45°，即∠ABP＋∠CBP＝45°，∴∠BAP＝∠CBP.又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC. 安徽十年精选 返回目录 (2)方法一：由(1)知△PAB∽△PBC，∴，于是＝2，即PA＝2PC. 方法二：∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴∠APC＝90°.∵∠CAP＜45°，∴∠ACP＞45°，故AP＞CP.如图1，在线段AP上取点D，使AD＝CP.∵∠CAD＋∠PAB＝45°，且∠PBA＋∠PAB＝45°，∴∠CAD＝∠PBA.又∵∠CBP＋∠BCP＝∠CBP＋∠PBA＝45°，∠PBA＝∠BCP，∴∠CAD＝∠BCP.∵AC＝CB，∴△ADC≌△CPB(SAS)，∴∠ADC＝∠CPB＝135°，∴∠CDP＝45°，∴△PDC为等腰直角三角形，∴CP＝PD.又∵AD＝CP，∴PA＝2PC. 安徽十年精选 返回目录 (3)如图2，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，则PQ＝h1，PR＝h2，PS＝h3.在Rt△CPR中，＝tan∠PCR＝tan∠CAP＝，∴，即h3＝2h2.又∵△PAB∽△PBC，且，∴，即h1＝h2，于是＝h2·h3. 安徽十年精选 返回目录 考点1　比例的性质 1.(2024·泸州)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点E，则sin∠DAE的值为( ) A. B. C. D. A 全国真题汇编 返回目录 2.(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2 cm，则BC的长为_________　　 cm.(结果保留根号)  (－1) 全国真题汇编 返回目录 第3题图 考点2 　平行线分线段成比例 3.(2024·湖南)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是( ) A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC C.BC＝2DE D.S△ADE＝S△ABC D 全国真题汇编 返回目录 第4题图 4.(2024·青海)如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件　 　，使得△AOB∽△COD.  　∠A＝∠C(答案不唯一，如∠B＝∠D或AB∥CD)　 全国真题汇编 返回目录 5.(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，∴BC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ∵， ∴，∴△ABE∽△ECF. 全国真题汇编 返回目录 第6题图 考点3 　相似三角形的判定与性质 6.(2024·威海)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G.下列结论错误的是( ) A.若，则EF∥BD B.若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD C.若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC D.若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD D 全国真题汇编 返回目录 第7题图 7.(2024·深圳)如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD＝10，S正方形GHIJ＝1，则正方形DEFG的边长可以是　 　.(写出一个答案即可)  　2(答案不唯一)　 全国真题汇编 返回目录 8.(2024·上海)如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. (1)求证：AD2＝DE·DC； (2)F为线段AE延长线上一点，连接CF， 若EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD. 全国真题汇编 返回目录 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝DC，∴∠ABD＋∠ADB＝90°.∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠DAE.∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD，∴，∴AD2＝DE·BA.∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC. 全国真题汇编 返回目录 (2)如图，连接AC，交BD于点O.∵四边形ABCD是矩形，OA＝OD＝BD，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＋∠AED＝90°.∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠AED.∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC.∵EF＝CF＝BD，∴OA＝OD＝EF＝CF，∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE.∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE. 在△ODA和△FEC中，， ∴△ODA≌△FEC(AAS)，∴CE＝AD. 全国真题汇编 返回目录 9.(2024·甘孜州)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1＝∠ABC. (1)求证：∠2＝∠3； (2)若∠4＝45°. ①请判断线段BC，BD的数量关系， 并证明你的结论； ②若BC＝13，AD＝5，求EF的长. 全国真题汇编 返回目录 (1)证明：∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°＝∠A，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠ABC＝90°.∵∠1＝∠ABC，∴∠2＝∠3. 全国真题汇编 返回目录 (2)解：①BC＝BD.理由如下：设∠2＝∠3＝x，∴∠BFE＝90°－x＝∠DFC.∵∠4＝45°，∴∠CDB＝180°－45°－(90°－x)＝45°＋x.∵∠BCD＝∠4＋∠2＝45°＋x，∴∠BCD＝∠CDB，∴BC＝BD. 全国真题汇编 返回目录 ②∵BD＝BC＝13，AD＝5，∴AB＝＝12.∵BC＝BD，∠A＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△ADB≌△EBC(AAS)，∴BE＝AD＝5.∵∠A＝∠CEB，∠3＝∠3，∴△EFB∽△ADB，∴， ∴，∴EF＝. 全国真题汇编 返回目录 10.(2024·湖北)在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H. (1)如图①，求证：△DEP∽△CPH； (2)如图②，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长； (3)如图③，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由. 全国真题汇编 返回目录 (1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DPE＋∠DEP＝90°.∵∠EPH＝∠A＝90°，∴∠DPE＋∠CPG＝90°，∴∠DEP＝∠CPG，∴△DEP∽△CPH. 全国真题汇编 返回目录 (2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°.∵P为CD中点，∴DP＝CP＝×2＝1.设EP＝AE＝x，∴ED＝AD－AE＝3－x.在Rt△EDP中，EP2＝ED2＋DP2，即x2＝(3－x)2＋1，解得x＝，∴EP＝AE＝，∴ED＝3－x＝3－.由(1)知△DEP∽△CPH，∴，即，解得PH＝.∵PG＝AB＝2，∴GH＝PG－PH＝. 全国真题汇编 返回目录 (3)解：AB＝BG.理由如下：如解图，延长AB，PG交于点M， 连接AP.∵点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折 叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为G， ∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，∴BG∥AP.∵AE＝EP，∴∠EAP＝∠EPA，∴∠BAP＝∠GPA，∴△MAP是等腰三角形，∴MA＝MP.∵P为CD中点，∴设DP＝CP＝y，∴AB＝PG＝CD＝2y.∵H为BC中点，∴BH＝CH.∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠C＝90°，∴△MBH≌△PCH(ASA)，∴BM＝CP＝y，HM＝HP，∴MP＝MA＝MB＋AB＝3y，∴HP＝MP＝y. 全国真题汇编 返回目录 在Rt△PCH中，CH＝y，∴BC＝2CH＝y，∴AD＝BC＝y.在Rt△APD 中，AP＝y.∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP，∴，∴BG＝y，∴，∴AB＝BG. 全国真题汇编 返回目录 11.(2024·武汉)问题背景：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE； 问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG； 全国真题汇编 返回目录 问题拓展：如图3，在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值. 全国真题汇编 返回目录 问题背景　证明：∵E，F分别是AB和BC中点，∴.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴.∵∠EBF＝∠C＝90°，∴△BCD∽△FBE. 全国真题汇编 返回目录 问题探究　证明：方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形. ∵E是AB中点，∴AE＝BE.∵AM∥BC， ∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，∴△AME≌△BFE(AAS)，∴AM＝BF.∵AD＝2CF，CF＝DH，∴AH＝DH＝CF，∴AM＋AH＝BF＋CF，即MH＝BC.∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，∴△MFH≌△BDC(SAS)，∴∠AMF＝∠CBD.又∵∠AMF＝∠BFG，∴∠CBD＝∠BFG，∴BG＝FG. 全国真题汇编 返回目录 方法二：如图，取BD中点H，连接EH，CH. ∵E是AB中点，H是BD中点，∴EH＝AD， EH∥AD.∵AD＝2CF，∴EH＝CF.∵AD∥BC，∴EH∥CF，∴四边形EHCF是平行四边形，∴EF∥CH，∴∠HCB＝∠GFB.∵∠BCD＝90°，H是BD中点，∴CH＝BD＝BH，∴∠HCB＝∠HBC，∴∠GFB＝∠HBC，∴BG＝FG. 问题拓展　. 全国真题汇编 返回目录 12.(2024·成都)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°. 【初步感知】 (1)如图①，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值； 全国真题汇编 返回目录 【深入探究】 (2)如图②，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长； 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由. 全国真题汇编 返回目录 解：(1)由旋转的性质可得，△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AD，AC＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC，∴△ABD∽△ACE，∴.在Rt△ABC中，由勾股定理得，AE＝AC＝＝5，∴. 全国真题汇编 返回目录 (2)∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线，∴AM＝BM＝CM＝AC＝，∴∠ABM＝∠BAM.∵AB＝AD，∴∠ABM＝∠ADB，∴∠BAM＝∠ADB.∵∠ABM＝∠DBA，∴△ABM∽△DBA，∴，即，∴BD＝，∴DM＝BD－BM＝.∵∠EAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠ADB，∴DM∥AE，∴△ FDM∽△FEA，∴，即，解得FM＝，∴CF＝CM－FM＝. 全国真题汇编 返回目录 (3)C，D，E三点能构成直角三角形，直角三角形CDE的面积为4或16或12或 全国真题汇编 返回目录 谢谢观看 返回目录 $