第3章 第4节 二次函数-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 返回目录 第三章　函数与图象 第四节　二次函数 知识网络 01 基础考点讲练 02 安徽十年精选 03 全国真题汇编 04 知识网络 返回目录 二次函数 a≠0 知识网络 返回目录 二次函数 减小 增大 增大 减小 直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k) 知识网络 返回目录 二次函数 无 一 两 知识网络 返回目录 典例1　(2024·广元) 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且－1＜x1＜0，2≤x2＜3.则下列结论：①a－b＋c＜0；②方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根；③a＋b＞0；④a＞；⑤b2－4ac＞4a2.其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 基础考点讲练 返回目录 【解析】　①∵抛物线开口向上，且－1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，故①不符合题意.②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)，∴函数的最小值y＜－2，∴ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根，∴方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根，故②符合题意.③∵－1＜x1＜0，2＜x2＜3，抛物线的对称轴为直线x＝－，且＜－，则1＜－＜3，而a＞0，∴－3a＜b＜－a，∴a＋b＜0，故③不符合题意. 基础考点讲练 返回目录 ④∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)，∴c＝－2.∵x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，即3a－3b＋3c＞0.当x＝3时，y＝9a＋3b＋c＞0，∴12a＋4c＞0，∴12a＞8，∴a＞，故④符合题意.⑤∵－1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴x2－x1＞2，由根与系数的关系可得：x1＋x2＝－，x1x2＝，∴(x1＋x2)2－x1x2＝［(x1＋x2)2－4x1x2］＝(x1－x2)2＞×4＝1，∴＞1，∴b2－4ac＞4a2，故⑤符合题意.综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有3个. 基础考点讲练 返回目录 典例2　 点(4，2)在抛物线y＝ax2＋bx＋2(a＜0)上. (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且t≤x1＜t＋2，4－t＜x2≤6－t. ①当t＝1时，直接写出y1，y2的大小关系； ②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围. 基础考点讲练 返回目录 【答案】　解：(1)将x＝0代入y＝ax2＋bx＋2得y＝2，∴抛物线与y轴交点坐标为(0，2)，又∵抛物线经过(4，2)，∴抛物线对称轴为直线x＝2. 基础考点讲练 返回目录 (2)①∵a＜0，∴抛物线开口向下.当t＝1时，1≤x1＜3，3＜x2≤5.∴|x1－2|＜1，1＜|x2－2|≤3，∴点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离，∴y1＜y2. ②设点P(x1，y1)关于直线x＝2的对称点为P'(x0，y1)，则x0＝4－x1.∵t≤x1＜t＋2，∴2－t＜x0≤4－t；∵4－t＜x2＜6－t，∴x0≠x2；当t＋2≤4－t或6－t≤t时，x1≠x2，解得t≤1或t≥3. 基础考点讲练 返回目录 【解析】　(1)由抛物线解析式可得抛物线与y轴交点坐标，再由抛物线经过(4，2)可得抛物线对称轴.(2)①由t＝1可得x1与x2的取值范围，从而可得点P，Q到对称轴的距离的大小关系，进而求解；②设点P(x1，y1)关于直线x＝2的对称点为P'(x0，y1)，由y1≠y2可得x0≠x2，x1≠x2，通过解不等式求解. 基础考点讲练 返回目录 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系. 基础考点讲练 返回目录 典例3　(2024·铜陵模拟) 如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2－2x－1交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m(m＞0)，连接AB，AC. (1)当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标； (2)当BC与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和； (3)设此抛物线在点B与点C之间部分(包括点B，C)的 最高点与最低点的纵坐标之差为5m，求m的值. 基础考点讲练 返回目录 【答案】　解：(1)∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴顶点为(1，－2).∵点B与抛物线的顶点重合，∴m＝1，∴3m＝3，把x＝3代入y＝x2－2x－1得，y＝2，∴点C的坐标为(3，2). 基础考点讲练 返回目录 (2)当BC与x轴平行时，则点B，C的纵坐标相同，两点关于对称轴直线x＝1对称，∴＝1，∴m＝，∴B点的纵坐标为y＝－2×－1＝－，∴点B与点C的纵坐标的和为2×＝－. 基础考点讲练 返回目录 (3)若0＜3m＜1，则0＜m＜，与m＞矛盾，不合题意.最高点的纵坐标为m2－2m－1，最低点的纵坐标为(3m)2－2×(3m)－1＝9m2－6m－1.当＜m≤1时，最高点的纵坐标为(3m)2－2×(3m)－1＝9m2－6m－1，最低点纵坐标为－2.∵最高点与最低点的纵坐标之差为5m，∴9m2－6m－1＋2＝5m，解得m＝.∵＜m＜1，∴不合题意.当m＞1时，最高点的纵坐标为(3m)2－2×(3m)－1＝9m2－6m－1，最低点纵坐标为m2－2m－1，则9m2－6m－1－(m2－2m－1)＝5m，解得m＝或m＝0(舍去).综上所述，m的值为. 基础考点讲练 返回目录 【解析】　(1)化成顶点式，求得顶点坐标，即可求得m＝1，则C的横坐标为3m＝3，把x＝3代入解析式即可求得C的纵坐标. (2)利用抛物线的对称性求得m＝，代入解析式求得点B的纵坐标，进而即可求得点B与点C的纵坐标的和为2×＝－. 基础考点讲练 返回目录 (3)分三种情况：0＜3m＜1，则0＜m＜，不合题意；当＜m≤1时，当m＞1时，分别根据题意建立方程求解即可得出答案. 基础考点讲练 返回目录 1.关于二次函数y＝－(x＋1)(x－3)，以下说法错误的是( ) A.对称轴是直线x＝1 B.顶点坐标是(1，4) C.当x＞1时，y随x的增大而减小 D.当－1＜x＜3时，y＜0 D 基础考点讲练 返回目录 2.已知二次函数y＝x2－2mx＋5m－1(m为常数)的图象经过点A(m－1，y1)，B(m＋1，y2)，则y1，y2的大小关系是( ) A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.与m的值有关 C 基础考点讲练 返回目录 3.(2024·阜阳模拟)将抛物线y＝2(x－1)2－1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，则a＋b＋c＝　 　.  　－1　 基础考点讲练 返回目录 4.(2024·萧县一模)已知关于x的二次函数y＝x2－(m－1)x＋m，其中m为实数. (1)若点A(－2，n)，B(6，n)均在该二次函数的图象上，则m的值为　 　.  (2)设该二次函数图象的顶点坐标为(p，q)，则q关于p的函数表达式为　 　.  　q＝－p2＋2p＋1　 　5　 基础考点讲练 返回目录 考点1　二次函数的图象与性质 1.(2024·安徽)已知抛物线y＝－x2＋bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值； (2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋bx上. (ⅰ)若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； (ⅱ)若x1＝t－1，求h的最大值. 安徽十年精选 返回目录 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为，y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1，∴－1＝1，∴b＝4. 安徽十年精选 返回目录 (2)∵点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，∴y1＝－＋2x1.∵B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋4x上，∴y1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t)，于是有－＋2x1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t)，∴h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t. (ⅰ)∵h＝3t，∴3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，∴t(t＋2x1)＝t＋2x1.∵x1≥0，t＞0，∴t＋2x1＞0，∴t＝1，∴h＝3. (ⅱ)将x1＝t－1代入h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，∴h＝－3t2＋8t－2，配方得，h＝－3.∵－3＜0，∴当t＝，即x1＝时，h取最大值. 安徽十年精选 返回目录 A B C D 考点2 　判断函数图象 2.(2023·安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为( ) A 安徽十年精选 返回目录 【变式训练】 抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＜0，则直线y＝ax＋k一定经过( ) A.第一、二象限　　　　B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 D 安徽十年精选 返回目录 考点3 　二次函数的实际应用与最值 3.(2022·安徽)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12 m，另一边AB为2 m.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1 m.E(0，8)是抛物线的顶点. 安徽十年精选 返回目录 (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内(含边界)修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题. (ⅰ)修建一个“ ”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上.设点P1的横坐标为m(0＜m≤6)，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； (ⅱ)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“ ”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围(P1在P4右侧). 安徽十年精选 返回目录 解：(1)由题意可得A(－6，2)，D(6，2).又∵E(0，8)是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A(－6，2)代入，得(－6)2a＋8＝2，解得a＝－，∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋8. 安徽十年精选 返回目录 (2)(ⅰ)∵点P1的横坐标为m(0＜m≤6)，且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为，∴P1P2＝P3P4＝MN＝－m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3＋2m＝－m2＋2m＋24＝－(m－2)2＋26.∵－＜0，0＜m≤6，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝－m2＋2m＋24，l的最大值为26. 安徽十年精选 返回目录 (ⅱ)方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为(18－3n)n＝－3n2＋18n＝－3(n－3)2＋27.∵－3＜0，∴抛物线开口向下，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9，令－x2＋8＝3，解得x＝±，∴此时P1的横坐标的取值范围为－＋9≤P1的横坐标≤. 安徽十年精选 返回目录 方案二：设P2P3＝n，则P3P4＝P2P1＝＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为n(9－n)＝－n2＋9n＝－.∵－1＜0，∴抛物线开口向下，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，此时P3P4＝P2P1＝，P2P3＝，令－x2＋8＝，解得x＝±，∴此时P1的横坐标的取值范围为－≤P1的横坐标≤. 安徽十年精选 返回目录 考点4 　二次函数表达式的确定与几何图形的综合 4.(2023·安徽)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2. (1)求a，b的值； (2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. (ⅰ)当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和； (ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由. 安徽十年精选 返回目录 解：(1)依题意，得解得 安徽十年精选 返回目录 (2)由(1)得y＝－x2＋4x，∴当x＝t时，y＝－t2＋4t.当x＝t＋1时，y＝－(t＋1)2＋4(t＋1)，即y＝－t2＋2t＋3，∴B(t，－t2＋4t)，C(t＋1，－t2＋2t＋3).设OA的解析式为y＝kx(k≠0)，将(3，3)代入，得3＝3k，∴k＝1，∴OA的解析式为y＝x，∴D(t，t)，E(t＋1，t＋1). 安徽十年精选 返回目录 (ⅰ)当0＜t＜2时，如图1，设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE交CE于点N，∴M(t，0)，N(t＋1，3)，∴S△OBD＋S△ACE＝·BD·OM＋·AN·CE＝(－t2＋4t－t)·t＋·(3－t－1)·(－t2＋2t＋3－t－1)＝(－t3＋3t2)＋(t3－3t2＋4)＝－t3＋t2＋t3－t2＋2＝2. 安徽十年精选 返回目录 (ⅱ)①当2＜t＜3时，如图2，过点D作DH⊥CE交CE于点H，易知H(t＋1，t)，BD＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t，CE＝t＋1－(－t2＋2t＋3)＝t2－t－2，DH＝t＋1－t＝1，∴S四边形DCEB＝(BD＋CE)·DH，即(－t2＋3t＋t2－t－2)×1，解得t＝. 安徽十年精选 返回目录 ②当t＞3时，如图3，过点D作DG⊥CE交CE于点G，易知BD＝t－(－t2＋4t)＝t2－3t，CE＝t2－t－2，DG＝1，∴S四边形DBCE＝(BD＋CE)·DG，即(t2－3t＋t2－t－2)×1，解得t1＝＋1(舍)，t2＝－＋1(舍). 综上所述，t的值为. 安徽十年精选 返回目录 【变式训练】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B(3，0)，C(0，－3). (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； 安徽十年精选 返回目录 (3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来. 安徽十年精选 返回目录 解：(1)将点B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋x－3. 安徽十年精选 返回目录 (2)∵抛物线y＝x2＋x－3与x轴交于点A，点B(3，0)，令y＝0，则x＝3或x＝－4，∴点A的坐标为(－4，0).设直线AC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，将点A(－4，0)，C(0，－3)代入y＝kx＋m(k≠0)中，得解得∴直线AC的解析式为y＝－x－3.如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q，设P(t，t2＋t－3)，则Q(t，－t－3)，∴PQ＝－t－3－(t2＋t－3)＝－t2－t.∵∠AQE＝∠PQD，∠AEQ＝∠QDP＝90°，∴∠OAC＝∠QPD.∵OA＝4，OC＝3，∴AC＝5，∴cos∠QPD＝＝cos∠OAC＝，∴PD＝PQ＝(－t2－t)＝－(t＋2)2＋.∵－4＜t＜0，－＜0，∴当t＝－2时，PD有最大值， 最大值为，∴点P的坐标为(－2，－). 安徽十年精选 返回目录 (3)∵y＝x2＋x－3＝(x＋)2－，将该抛物线向右平移5个单位，得到y＝(x－)2－，对称轴为直线x＝，∴点P向右平移5个单位得到E(3，－).∵平移后的抛物线y＝(x－)2－与y轴交于点F，令x＝0，则y＝2，∴F(0，2)，∴EF2＝32＋(2＋)2＝.∵点Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，则点Q的横坐标为. 安徽十年精选 返回目录 设Q(，m)，∴QE2＝(－3)2＋(m＋)2，QF2＝()2＋(m－2)2，当△QEF是以QF为腰的等腰三角形时，分情况讨论：①当QF＝EF时，QF2＝EF2，()2＋(m－2)2＝，解得m＝－1或m＝5，∴点Q的坐标为(，－1)或(，5).②当QE＝QF时，QE2＝QF2，(－3)2＋(m＋)2＝()2＋(m－2)2，解得m＝，∴点Q的坐标为().综上所述，点Q的坐标为(，－1)或(，5)或(). 安徽十年精选 返回目录 考点1　二次函数的图象和性质 1.(2024·乐山)已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是( ) A.0＜t≤2 B.0＜t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 C 全国真题汇编 返回目录 2.(2024·泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( ) A. 1≤a＜ B.0＜a＜ C.0＜a＜ D. 1≤a＜ A 全国真题汇编 返回目录 第3题图 3.(2024·甘孜州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②－＞0；③当－1＜x＜3时，y＜0.其中所有正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D 全国真题汇编 返回目录 第4题图 4.(2024·贵州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是( ) A.二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x＜－1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 D 全国真题汇编 返回目录 5.(2024·上海)对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x'，y')，使得x'－m＝y'－k≠0，则称2|x'－m|的值为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2＋x＋3的“开口大小”为　 　.  　4　 全国真题汇编 返回目录 考点2 　确定二次函数的表达式 6.(2024·牡丹江)将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝　 　.  　2　 全国真题汇编 返回目录 7.(2024·浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－. (1)求二次函数的表达式； (2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值； (3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围. 全国真题汇编 返回目录 解：(1)由题意.∵二次函数为y＝x2＋bx＋c，∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－，∴b＝1，∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋c.又∵图象经过点A(－2，5)，∴4－2＋c＝5，∴c＝3，∴抛物线表达式为y＝x2＋x＋3. 全国真题汇编 返回目录 (2)由题意.∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度(m＞0)，∴平移后的点为(1－m，9).又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3上，∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3，∴m＝4或m＝－1(舍去).∴m＝4. 全国真题汇编 返回目录 (3)∵y＝x2＋x＋3＝，∴当x＝－时，y取得最小值，最小值为.①若n＜－，则当－2≤x≤n时，y 随x的增大而减小，∴当x＝－2时，y取得最大值，最大值为4－2＋3＝5.当x＝n时，y取得最小值，最小值为n2＋n＋3.又∵最大值与最小值的差为，∴5－(n2＋n＋3)＝，解得n＝－，不符合题意. 全国真题汇编 返回目录 ②若n≥－，则当－2≤x≤n时，最小值在二次函数顶点处取得，即当x＝－时，y 取最小值.若当x＝－2时，y取最大值，则最大值为4－2＋3＝5，∴最大值与最小值的差为5－，符合题意，此时n的取值范围为－≤n＜1.若当x＝n时，y取最大值，则最大值为n2＋n＋3.∵最大值与最小值的差为，∴n2＋n＋3－，解得n＝－2(舍去)或n＝1.综上，n的取值范围为－≤n≤1. 全国真题汇编 返回目录 考点3 　二次函数与一元二次方程 8.(2024·济宁)将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 _______　 　 　k≥3　  全国真题汇编 返回目录 9.(2024·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)经过(－1，1)，(m，1)两点，且0＜m＜1.下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c＞1； ③若a＝－1，则关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝2无实数解； ④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若x1＋x2＞－，x1＞x2，总有y1＜y2，则 0＜m≤.其中正确的是　 　(填写序号).  　②③④　 全国真题汇编 返回目录 考点4 　二次函数的实际应用 10.(2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m(桥塔的粗细忽略不计). 全国真题汇编 返回目录 (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长. 全国真题汇编 返回目录 解：(1)由题意.∵AO＝17 m，∴A(0，17).又OC＝100 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m，∴抛物线的顶点P为(50，2).故可设抛物线为y＝a(x－50)2＋2(a≠0).将A(0，17)代入抛物线可得2 500a＋2＝17，解得a＝，∴缆索L1所在抛物线为y＝(x－50)2＋2. 全国真题汇编 返回目录 (2)由题意.∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，∴缆索L2所在抛物线为y＝(x＋50)2＋2.∵EF＝2.6，把y＝2.6代入得2.6＝(x＋50)2＋2，∴x1＝－40或x2＝－60.又∵FO＜OD＝50 m，∴x＝－40，∴FO的长为40 m. 全国真题汇编 返回目录 考点5 　抛物线与几何图形 11.(2024·赤峰)如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n(m＞n＞0)，下列结论正确的是( ) A.m＋n＝1 B.m－n＝1 C.mn＝1 D.＝1 B 全国真题汇编 返回目录 12.(2024·通辽)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线y＝－(x－2)2＋k(k为常数)经过点D且交x轴于A，B两点. (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点P为抛物线的顶点，连接AD， DP，CP.求四边形ACPD的面积. 全国真题汇编 返回目录 解：(1)在y＝－x＋3中，令x＝0得y＝3，∴D(0，3).∵抛物线y＝－(x－2)2＋k经过点D(0，3)，∴3＝－×(0－2)2＋k，解得k＝4，∴y＝－(x－2)2＋4＝－x2＋x＋3.即抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋3. 全国真题汇编 返回目录 (2)连接OP，如图. 在y＝－x＋3中，令y＝0得x＝2， ∴C(2，0)，OC＝2，在y＝－x2＋x＋3中， 令y＝0得0＝－x2＋x＋3，解得x＝6或x＝－2，∴A(－2，0)，OA＝2.由y＝－(x－2)2＋4可得抛物线顶点P坐标为(2，4)，∴S四边形ACPD＝S△AOD＋S△POD＋S△POC＝×2×3＋×3×2＋×2×4＝3＋3＋3＝10，∴四边形ACPD的面积为10. 全国真题汇编 返回目录 谢谢观看 返回目录 $