第4章 第2节 三角形及其性质-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 返回目录 第四章　三角形 第二节　三角形及其性质 知识网络 01 基础考点讲练 02 安徽十年精选 03 全国真题汇编 04 知识网络 返回目录 三角形及其性质 三边都不相等的三角形 直角三角形 大于 小于 180° 两个内角 任意一个内角 知识网络 返回目录 三角形及其性质 90° ∠BAC BC DE 知识网络 返回目录 三角形及其性质 相等 相等 相等 相等 相等 中线和高 60° 都相等 60° 60° 知识网络 返回目录 互余 一半 一半 30° 平方 90° 一半 平方和 一定 边边边 知识网络 返回目录 典例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD.BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F. (1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB＝FE. 基础考点讲练 返回目录 【答案】　(1)解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝36°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝108°.∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝54°. (2)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠FEB，∴FB＝FE. 基础考点讲练 返回目录 【解析】　(1)先利用“等边对等角”求出∠ABC的度数，然后利用三角形内角和定理，得到∠BAC的度数，最后利用“三线合一”性质，即可求出∠BAD的度数.(2)由角平分线定义，得∠ABE＝∠CBE，再由平行线性质，得到∠FEB＝∠CBE，从而得到∠ABE＝∠FEB，于是证得FB＝FE. 基础考点讲练 返回目录 （1）遇到等腰三角形问题，常要创造“三线合一”的应用条件.（2）角的平分线、平行线、等腰三角形，这三者当中若有两个条件成立，第三者必定成立，如本题（2）的证明. 基础考点讲练 返回目录 典例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是( ) A.25°　　　B.30°　　　 C.50°　　　D.65° D 基础考点讲练 返回目录 【解析】　∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD＝90°－∠A＝25°.∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°－∠ACD＝65°.∵在Rt△CDB中，E是BC的中点，∴EC＝ED，∴∠EDC＝∠DCE＝65°. 基础考点讲练 返回目录 本题中的∠A=∠BCD是一个很重要的隐藏结论，记住它有助于快速找到解题方向.直角三角形还有很多的性质，如30°角的性质、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等，在解题中常常要用到. 基础考点讲练 返回目录 典例3 如图，在正方形ABCD中， AB＝4.若以CD为底边向正方形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为( ) A.4　 B.2　 C.2　 D.2 C 基础考点讲练 返回目录 【解析】　如题图，连接BD.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，AD＝AB＝4，∠A＝90°.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝＝4.∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝90°，DE＝EC＝＝2.在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE＝＝2. 基础考点讲练 返回目录 连接BD，创造勾股定理应用的条件是解答本题的关键.另外，根据三角形的三边数量关系，可以判断一个三角形是否是直角三角形，这一点在解题中需引起重视. 基础考点讲练 返回目录 第1题图 1.(2024·广东)如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为( ) A.120° B.90° C.60° D.30° C 基础考点讲练 返回目录 第2题图 2.(2024·广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( ) A.45° B.50° C.60° D.65° D 基础考点讲练 返回目录 第3题图 3.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 基础考点讲练 返回目录 第4题图 4.(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( ) A.45° B.39° C.29° D.21° B 基础考点讲练 返回目录 第5题图 5.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( ) A.100° B.115° C.130° D.145° B 基础考点讲练 返回目录 6.(2024·宁夏)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3 cm，BC＝2 cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，l1∥l2，动点P从点A出发沿直线l1以1 cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s. 下列结论： ①当t＝2 s时，四边形ABCP的周长是10 cm； ②当t＝4 s时，点P到直线l2的距离等于5 cm； ③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大； ④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变. 其中正确的是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 第6题图 A 基础考点讲练 返回目录 考点1　三角形的分类及其性质 1.(2022·安徽)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( ) A.α－90° B.α－45° C.180°－α D.270°－α C 安徽十年精选 返回目录 【变式训练】 在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°＜α＜45°)，AM⊥BC于点M，D是线段BC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE. (1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点； (2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明. 安徽十年精选 返回目录 (1)证明：由题意得，∠MDE＝2α，DM＝DE.∵∠MDE＝∠C＋∠DEC，∠C＝α，∴∠DEC＝2α－α＝α＝∠C，∴DC＝DE，∴DM＝DC，即点D是MC的中点. 安徽十年精选 返回目录 (2)∠AEF＝90°.证明：如图，延长FE至点Q，使得FE＝EQ， 连接AQ，CQ.∵DF＝DC，FE＝EQ，∴DE是△FCQ的中位线，∴DE∥CQ，DE＝CQ，∴∠FDE＝∠DCQ＝∠DCA＋∠ACQ. ∵∠B＝∠DCA＝α，∠FDE＝2α，∴∠ACQ＝∠DCA＝α， ∴∠B＝∠ACQ.由题意得，BF＝BC－FC＝2MC－2CD＝2(MC－CD)＝2MD.∵DM＝DE，∴2DM＝2DE＝2×CQ＝CQ， ∴BF＝CQ. 在△ABF和△ACQ中，∴△ABF≌△ACQ(SAS)，∴AF＝AQ.又∵FE＝EQ，∴AE⊥FQ，∴∠AEF＝90°. 安徽十年精选 返回目录 第2题图 考点2 　特殊三角形的性质及判定 2.(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是( ) A.　　 B. C.2－2 D.2 B 安徽十年精选 返回目录 第3题图 3.(2019·安徽)如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8 D 安徽十年精选 返回目录 4.(2016·安徽)如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为( ) A. B.2 C. D. B 安徽十年精选 返回目录 5.(2018·安徽)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F. (1)求证：CM＝EM； (2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小； (3)如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM. 安徽十年精选 返回目录 (1)证明：∵∠ACB＝90°，点M为BD中点，∴CM＝BD，同理EM＝BD，∴CM＝EM. (2)解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°.由(1)得CM＝DM＝BM＝EM，∴点B，C，D，E在以点M为圆心，BD为直径的☉M上，∴∠CME＝2∠ABC＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°. 安徽十年精选 返回目录 (3)证明：∵△DAE≌△CEM，∴DE＝CM，AE＝EM，∠DEA＝∠CME＝90°.又∵CM＝DM＝EM，∴DM＝DE＝EM，∴△DME是等边三角形，∴∠DEM＝60°，∴∠MEF＝30°.设AE＝a，则AE＝EM＝CM＝a，在Rt△EMF中，MF＝a，EF＝a.∵点N为CM的中点，∴MN＝CM＝a，∴，∴，∴AN∥EM. 安徽十年精选 返回目录 【变式训练】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°. (1)求证：CE＝CM； (2)若AB＝4，求线段FC的长. 安徽十年精选 返回目录 (1)证明：∵∠ACB＝90°，点M为AB的中点，∴MA＝MC，∴∠MCA＝∠A＝50°，∴∠CMA＝180°－∠A－∠MCA＝80°.∵∠CEM＝∠A＋∠ACE＝50°＋30°＝80°，∴∠CME＝∠CEM，∴CE＝CM. (2)解：由题意，得CE＝CM＝AB＝2.∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE·cos∠ACE＝. 安徽十年精选 返回目录 第1题图 考点1　三角形的边角关系及三角形中重要线段 1.(2024·兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为( ) A.18 m B.24 m C.36 m D.54 m C 全国真题汇编 返回目录 第2题图 2.(2024·浙江)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 　 　.  　4　 全国真题汇编 返回目录 第3题图 3.(2024·湖南)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　 　.  　6　 全国真题汇编 返回目录 考点2 　等腰三角形 4.(2024·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) A. B.2 C.3 D. C 全国真题汇编 返回目录 第5题图 5.(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( ) A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm C 全国真题汇编 返回目录 6.(2024·自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢( ) A.(24－12) m B.(24－8) m C.(24－6) m D.(24－4) m D 全国真题汇编 返回目录 7.(2024·甘肃)如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°.将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是  　.  第7题图 全国真题汇编 返回目录 8.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为　 　°.  　100　 全国真题汇编 返回目录 第9题图 考点3 　直角三角形 9.(2024·眉山)如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( ) A.24 B.36 C.40 D.44 D 全国真题汇编 返回目录 第10题图 10.(2024·巴中)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝( ) A.8 B.10 C.12 D.13 C 全国真题汇编 返回目录 第11题图 11.(2024·巴中)如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD.下列说法错误的是( ) A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC＝3∠ABD C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时， D 全国真题汇编 返回目录 12.(2024·福建)如图，已知直线l1∥l2. (1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1之间的距离恰好等于l与l2之间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若l1与l2之间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积. 全国真题汇编 返回目录 解：(1)如图1，直线l为所求作. 全国真题汇编 返回目录 (2)①如图2，当∠BAC＝90°，AB＝AC时.∵l∥l1∥l2，直线l1与l2之间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2之间的距离，根据图形的对称性可知BC＝2，∴AB＝AC＝，∴S△ABC＝AB·AC＝1. 全国真题汇编 返回目录 ②如图3，当∠ABC＝90°，BA＝BC时，分别过点A，C作直线l1的垂线，垂足分别为M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°.∵l∥l1∥l2，直线l1与l2之间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2之间的距离，∴CN＝2，AM＝1.∵∠MAB＋∠ABM＝90°，∠NBC＋∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB≌△BNC(AAS)，∴BM＝CN＝2.在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2＋BM2，∴AB＝BC＝，∴S△ABC＝AB·BC＝. 全国真题汇编 返回目录 ③如图4，当∠ACB＝90°，CA＝CB时，同理可得S△ABC＝.综上所述，△ABC的面积为1或. 全国真题汇编 返回目录 谢谢观看 返回目录 $