第3章 第3节 反比例函数及其应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 返回目录 第三章　函数与图象 第三节　反比例函数及其应用 知识网络 01 基础考点讲练 02 安徽十年精选 03 全国真题汇编 04 知识网络 返回目录 反比例函数及其应用 反比例 x≠0 知识网络 返回目录 反比例函数及其应用 ab |k| 知识网络 返回目录 反比例函数及其应用 双曲线 中心 减小 增大 二、四 知识网络 返回目录 反比例函数及其应用 (−a,−b) 系数 函数解析式 知识网络 返回目录 典例1　(2024·池州二模) 已知两个反比例函数y1＝，y2＝－(m≠0).当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2.若a1－a2＝4，则b1－b2的值为( ) A.－5 B.－ C. D.5 D 基础考点讲练 返回目录 【解析】　在反比例函数y＝中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大.当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2.∵a1－a2＝4，∴a1＞a2，m＞0.∴a1＝＝m，b1＝，a2＝－＝－m，b2＝－＝－2m，∴m－(－m)＝4，解得m＝2，∴b1＝＝1，b2＝－2m＝－4，∴b1－b2＝1－(－4)＝5. 基础考点讲练 返回目录 典例2　 O为坐标原点，点P，Q，R在函数y＝(常数k＞0，x＞0)图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，若OE＝ED＝DC，且图中阴影部分图形的面积为12，则k的值为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 B 基础考点讲练 返回目录 【解析】　通过设辅助变量，得到有关的点的坐标，再利用“面积”列方程、求解.设OE＝ED＝DC＝m，则P，Q，R，∴CP＝，DQ＝，ER＝.∵图中阴影部分图形的面积为12，∴×m＋×3m＋×m＝12，解得k＝9. 基础考点讲练 返回目录 典例3 如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A(1，8)，B(－4，m). (1)求k1，k2，b的值； (2)求△AOB的面积； (3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由. 基础考点讲练 返回目录 【答案】　解：(1)将点A(1，8)代入反比例函数y＝，得k1＝8，故B(－4，－2).由A，B两点在一次函数y＝k2x＋b的图象上，得解得 基础考点讲练 返回目录 (2)如图，由(1)知一次函数y＝k2x＋b的图象与y轴的交点坐标为C(0，6)，∴S△AOB＝S△COB＋S△AOC＝×6×4＋×6×1＝15. 基础考点讲练 返回目录 (3)点M在第三象限，点N在第一象限.理由：由图象知双曲线y＝在第一、三象限内，因此应对x1＜x2分情况讨论：①若x1＜x2＜0，点M，N在第三象限分支上，则y1＞y2，不合题意；②若0＜x1＜x2，点M，N在第一象限分支上，则y1＞y2，不合题意；③若x1＜0＜x2，点M在第三象限，点N在第一象限，则y1＜0＜y2，符合题意，∴点M在第三象限，点N在第一象限. 基础考点讲练 返回目录 【解析】　(1)先把A点坐标代入y＝可求得k1，再把B(－4，m)代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得k2与b.(2)设一次函数y＝k2x＋b的图象与y轴的交点为C，求S△AOB就转化为求△AOC与△BOC的面积之和.(3)根据反比例函数的性质即可得到结果. 基础考点讲练 返回目录 准确理解双曲线与直线的交点的意义以及运用待定系数法是解答本题（1）的关键.对于（2）求坐标系中三角形的面积，通常利用x轴或y轴将三角形分割求解.对于（3）应用反比例函数的性质时，务必记住“在每一象限内”这一前提条件. 基础考点讲练 返回目录 【易错提醒】　在解决一次函数与反比例函数交点问题时，有时候联立解析式或利用对称性求出交点的坐标是解题的突破方向.应用反比例函数性质时，还可画出草图，利用“数形结合”帮助思考. 基础考点讲练 返回目录 1.已知反比例函数y＝－，下列结论不正确的是( ) A.图象必经过点(－1，2) B.y随x的增大而增大 C.图象在第二、四象限内 D.当x＞1时，－2＜y＜0 B 基础考点讲练 返回目录 2.反比例函数y1＝，y2＝－(k≠0)，当a≤x≤b(b，a为常数，且b＞a＞0)时，y1的最小值为m，y2的最大值为n，则的值为( ) A.－2　B.－　C.－或－2　D.－ B 基础考点讲练 返回目录 3.(2024·铜陵模拟)如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点E.若两正方形的面积差为12，则k的值是　 　.  　12　 基础考点讲练 返回目录 4.(2024·上海)在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(k为常数且k≠0)上有一点A(－3，m)，且与直线 y＝－2x＋4 交于另一点 B(n，6). (1)求k与m的值； (2)过点A作直线l∥x轴与直线y＝－2x＋4 交于点C，求sin∠OCA 的值. 基础考点讲练 返回目录 解：(1)∵点B(n，6)在直线y＝－2x＋4上，∴－2n＋4＝6，解得n＝－1，∴B(－1，6). ∵点B(－1，6)在反比例函数图象上，∴k＝－6，∴反比例函数解析式为 y＝－.∵点A(－3，m)在反比例函数图象上，∴m＝－＝2.故k的值为－6，m的值为2. 基础考点讲练 返回目录 (2)如图，在函数y＝－2x＋4中，当y＝2时，x＝1，∴C(1，2)，∴OC＝，∴sin∠OCA＝. 基础考点讲练 返回目录 第1题图 考点1　确定反比例函数表达式y＝(k≠0)中k的值 1.(2023·安徽)如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过斜边OB的中点C. (1)k＝  　；  (2)D为该反比例函数图象上的一点，若 DB∥AC，则OB2－BD2的值为　 　.  　4　 安徽十年精选 返回目录 第2题图 2.(2022·安徽)如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝　 　.  　3　 安徽十年精选 返回目录 3.(2019 ·安徽)已知点A(1，－3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为( ) A.3 B. C.－3 D.－ A 安徽十年精选 返回目录 【变式训练】 ［数学推理］如图，已知点A(3，3)，B(3，1)，反比例函数y＝(k≠0) 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：　 　.  　k＝4(答案不唯一)　 安徽十年精选 返回目录 考点2 　与一次函数结合进行考查 4.(2024·安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 A 安徽十年精选 返回目录 5.(2021·安徽)已知正比例函数y＝kx(k≠0)与反比例函数y＝的图象都经过点A(m，2). (1)求k，m的值； (2)在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围. 安徽十年精选 返回目录 解：(1)将点A坐标代入反比例函数，得2m＝6，∴m＝3，∴A(3，2).将点A坐标代入正比例函数，得2＝3k，∴k＝. (2)如图所示. ∴正比例函数值大于反比例函数值时x的 取值范围为x＞3或－3＜x＜0. 安徽十年精选 返回目录 【变式训练】 在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2(x－2)＋5的图象交于点A和点B.已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是－4. (1)求k1，k2的值； (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D.求证：直线CD经过原点. 安徽十年精选 返回目录 (1)解：∵点A的横坐标是2，∴将x＝2代入y2＝k2(x－2)＋5，得y2＝5，∴A(2，5)，∴将A(2，5)代入y1＝，得k1＝10，∴y1＝.∵点B的纵坐标是－4，∴将y＝－4代入y1＝，得x＝－，∴B(－，－4)，∴将B(－，－4)代入y2＝k2(x－2)＋5，得－4＝k2(－－2)＋5，解得k2＝2，∴y2＝2(x－2)＋5＝2x＋1. 安徽十年精选 返回目录 (2)证明：如图所示. 由题意可得C(－，5)，D(2，－4)， 设CD所在直线的表达式为y＝kx＋b， 得解得 ∴CD所在直线的表达式为y＝－2x， ∴当x＝0时，y＝0，∴直线CD经过原点. 安徽十年精选 返回目录 考点1　反比例函数表达式的确定 1.(2024·湖南)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝(k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9 m，振动频率f为200赫兹，则k的值为　 　.  　180　 全国真题汇编 返回目录 2.(2024·贵州)已知点(1，3)在反比例函数y＝的图象上. (1)求反比例函数的表达式； (2)点(－3，a)，(1，b)，(3，c)都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由. 解：(1)将点(1，3)代入y＝，得k＝3，∴y＝. (2)将点(－3，a)，(1，b)，(3，c)代入y＝，得a＝－1，b＝3，c＝1，∴b＞c＞a. 全国真题汇编 返回目录 考点2 　反比例函数的图象和性质 3.(2024·苏州)如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接OA，过点O作OA 的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为( ) A.　　　B.　　　C.　　　D. A 全国真题汇编 返回目录 4.(2024·广州)函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当　　　　时，y1，y2均随着x的增大而减小.( )  A.x＜－1 B.－1＜x＜0 C.0＜x＜2 D.x＞1 D 全国真题汇编 返回目录 考点3 　反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义 5.(2024·黑龙江龙东地区)如图，双曲线y＝(x＞0)经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是( ) A.4.5　　　 B.3.5　　　 C.3　　　 D.2.5 A 全国真题汇编 返回目录 6.(2024·齐齐哈尔)如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S▱ABCO＝3，则实数k的值为　 　.  　－6　 全国真题汇编 返回目录 7.(2024·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，6)，B(n，2)，与x轴，y轴分别交于C，D两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时， 请直接写出点P的坐标； (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF＝AB时，求a的值. 全国真题汇编 返回目录 解：∵(1)一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，6)，B(n，2)，∴＝6，解得m＝6，∴反比例函数的表达式为y＝，∴2＝，解得n＝3，∴B(3，2).将A(1，6)，B(3，2)代入y＝kx＋b中，得解得∴一次函数的表达式为y＝－2x＋8. 全国真题汇编 返回目录 (2)点P的坐标为(0，5) (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，∴直线EF的表达式为y＝－2x＋8－a，∴E，F(0，8－a).∵EF＝AB，∴，解得 a＝6或a＝10. 全国真题汇编 返回目录 8.(2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋m与直线y＝2x相交于点A(2，a)，与x轴交于点B(b，0)，点C在反比例函数y＝(k＜0)图象上. (1)求a，b，m的值； (2)若以O，A，B，C为顶点的四边形为 平行四边形，求点C的坐标和k的值； (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值. 全国真题汇编 返回目录 解：(1)∵点A(2，a)在直线y＝2x上，∴a＝4，∴点A的坐标为(2，4).又∵直线y＝－x＋m与直线y＝2x相交于点A(2，a)，∴－2＋m＝4，解得m＝6.又∵直线y＝－x＋6与x轴交于点B(b，0)，∴0＝－b＋6，解得b＝6. 全国真题汇编 返回目录 (2)如图，过点O作AB的平行线，交反比例函数图象于点C1，C2，连接AC1，BC2.∵以O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，∴AB＝OC.又∵A(2，4)，B(6，0)，∴点C1的坐标为(－4，4)，点C2的坐标为(4，－4).∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴－4＝，解得k＝－16. 故点C的坐标为(－4，4)或(4，－4)，k＝－16. 全国真题汇编 返回目录 (3)∵直线lAC交x轴于负半轴，则点C在第二象限，当点E在B右侧时，有∠ABE和∠BAD都为钝角，且∠ABE＞∠BAD.∴点E必位于点B左侧.由题意知△ABE∽△DBA，∴BA2＝BE·BD，且直线lAD与y＝的图象只有一个交点C.设D(－n，0)，则E(n，0)，∴BE＝6－n，BD＝6＋n.∵AB＝＝4，∴BA2＝BE·BD＝32＝(6－n)(6＋n)，解得n＝2(负值已舍)，∴D(－2，0).设lAD＝cx＋d，将A(2，4)，D(－2，0)分别代入，有解得c＝1，d＝2，∴lAD的解析式为y＝x＋2.令x＋2＝，整理得x2＋2x－k＝0.∵Δ＝0，∴4＋4k＝0，∴k＝－1. 全国真题汇编 返回目录 考点4 　反比例函数的实际应用 9.［跨学科·物理］(2024·连云港)杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m).则动力F关于动力臂l的函数表达式为　 　.  F＝ 全国真题汇编 返回目录 10.(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝　 　 m/s.  　4　 全国真题汇编 返回目录 谢谢观看 返回目录 $