第2章 第2节 一元二次方程及其应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习配套课件（安徽专版）

数学 返回目录 第二章　方程(组)与不等式(组) 第二节　一元二次方程及其应用 知识网络 01 基础考点讲练 02 安徽十年精选 03 全国真题汇编 04 知识网络 返回目录 一元二次方程及其应用 知识网络 返回目录 一元二次方程及其应用 知识网络 返回目录 典例1　 解方程：x(x－7)＝8(7－x). 【答案】　解：移项，得x(x－7)－8(7－x) ＝0，即x(x－7)＋8(x－7)＝0， 左边因式分解，得(x－7)(x＋8)＝0， ∴x－7＝0或x＋8＝0， 解得x1＝7，x2＝－8. 基础考点讲练 返回目录 【解析】　注意到(x－7)与(7－x)互为相反数，将方程右边移项后可以提取公因式(x－7)，再利用因式分解法，即可求得一元二次方程的解. 基础考点讲练 返回目录 解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程的结构特点选择合适的方法以及熟知每一种解法的步骤，方能使求解过程事半功倍.本题也可通过变形将原方程化为一元二次方程的一般形式，考虑用公式法求解. 基础考点讲练 返回目录 【易错提醒】　解答本题时，容易直接两边约去(x－7)，而造成漏解.如用这种方法，需分类讨论：(1)当x－7＝0时，方程左边＝右边，故x＝7是原方程的一个根.(2)当x－7≠0时，两边同时约去(x－7)，得x＝－8.综上，原方程的解为x1＝7或x2＝－8. 基础考点讲练 返回目录 典例2　 在平面直角坐标系中，若直线y＝－x＋m不经过第一象限，则关于x的方程mx2＋x＋1＝0的实数根的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 D 基础考点讲练 返回目录 【解析】　∵直线y＝－x＋m不经过第一象限，画出草图，可知m≤0.当m＝0时，原方程即为x＋1＝0，只有一个根；当m＜0时，方程mx2＋x＋1＝0为一元二次方程，此时Δ＝1－4m.∵m＜0，∴－4m＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程mx2＋x＋1＝0有两个不相等的实数根.综上所述，方程mx2＋x＋1＝0的实数根的个数为1个或2个. 基础考点讲练 返回目录 【易错提醒】　应用一元二次方程根的判别式的前提是将方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，且注意a≠0，才可以通过计算Δ的值进行判断.另外，本题最容易忽略考虑m＝0的情况. 基础考点讲练 返回目录 典例3　 阅读材料：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，定义方程的判别式为Δ＝b2－4ac，当Δ＞0时，方程有两个不同的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.并且当方程有实数根时，两根之和为x1＋x2＝－，两根之积为x1·x2＝.已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0. (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值； (3)若方程的两个实数根为x1，x2，且＝13，求m的值. 基础考点讲练 返回目录 【答案】　解：(1)∵方程有两个实数根，所以(2m－1)2－4×1×m2≥0，解得m≤，∴m的取值范围是m≤. (2)将x＝1代入方程得1＋2m－1＋m2＝0，解得m1＝0，m2＝－2.当m＝0时，∵1＋n＝1，∴n＝0.当m＝－2时，∵1＋n＝5，∴n＝4.综上所述 基础考点讲练 返回目录 (3)∵方程的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝－2m＋1，x1x2＝m2.∵＝13，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝13，即(－2m＋1)2－2m2＝13，解得m1＝1＋，m2＝1－.∵m≤，∴m＝1－，即m的值为1－. 基础考点讲练 返回目录 【解析】　(1)根据方程有两个实数根，得出一元二次方程根的判别式大于等于零，据此即可解决问题.(2)将x＝1代入方程，求出m的值，进而可求出方程的另一个根，据此可解决问题.(3)利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题. 基础考点讲练 返回目录 典例4　(2024·瑶海区校级三模) 某农户种植花生，原来花生的亩产量为200 kg，出油率为50%(即每100 kg花生可加工成花生油50 kg)，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132 kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的.求新品种花生亩产量的增长率. 基础考点讲练 返回目录 (1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为x，依题意填写下列表格；   亩产量(kg) 出油率(%) 出油量(kg) 原来 200 50 200×50% 现在     132 (2)求新品种花生亩产量的增长率. 基础考点讲练 返回目录 【答案】　解：(1)花生的现在亩产量为200(1＋x)，花生的现在出油率为50%. (2)设新品种花生亩产量的增长率为x，根据题意得200(1＋x)×50%＝132，解得x1＝，x2＝－(舍去).所以x＝＝20%. 答：新品种花生亩产量的增长率为20%. 基础考点讲练 返回目录 【解析】　(1)增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率).(2)每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200(1＋x)·50%，依此即可列方程求解. 基础考点讲练 返回目录 有关平均变化率问题是一元二次方程的应用中的常见题型，记住下面两个公式有助于快速构建方程： （1）平均增长率：a（1+x）n=b. （2）平均降低率：a（1-x）n=b. 其中a是起始量，b是第n次变化后的量，n是增长（或降低）的次数，x为平均增长（或降低）率. 基础考点讲练 返回目录 1.下列方程中，有两个相等实数根的是( ) A.x2＋1＝2x B.x2＋1＝0 C.x2－2x＝3 D.x2－2x＝0 A 基础考点讲练 返回目录 2.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( ) A.23(1－x)2＝18.63 B.18.63(1＋x)2＝23 C.18.63(1－x)2＝23 D.23(1－2x)＝18.63 A 基础考点讲练 返回目录 3.(2024·南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为　 　.  4.关于x的一元二次方程2x2－5x＋m＝0有两个实数根，则m的取值范围为　 　.  　－4　 m≤ 基础考点讲练 返回目录 5.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(阴影部分)，原空地一边减少了3 m，另一边减少了2 m，剩余空地面积为56 m2，设正方形空地原来的边长为x m，则可列方程为　 　.  　(x－3)(x－2)＝56　 基础考点讲练 返回目录 6.解方程：x2－2x＝2x＋1. 解：∵x2－2x＝2x＋1，∴x2－4x＝1，∴x2－4x＋4＝1＋4，即(x－2)2＝5，∴x－2＝±，∴x1＝2＋，x2＝2－. 基础考点讲练 返回目录 7.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，小商品的销售单价每降低5元，日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 基础考点讲练 返回目录 解：(1)设售价应定为x元，则每件的利润为(x－40)元，日销售量为20＋＝(140－2x)件，依题意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20，整理得x2－110x＋3 000＝0，解得x1＝50，x2＝60(舍去)，∴售价应定为50元. (2)设该商品打y折销售.根据题意，得62.5×≤50，解得y≤8，∴该商品至少需打八折销售. 基础考点讲练 返回目录 考点1　一元二次方程的解法 1.(2024·安徽)解方程：x2－2x＝3. 解：x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，(x－3)·(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1. 安徽十年精选 返回目录 【变式训练】 若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0配方后得到方程(x＋3)2＝2c，则c的值为( ) A.－3 　　　B.0　 　　C.3　 　　D.9 C 安徽十年精选 返回目录 考点2 　一元二次方程根的判别式 2.(2022·安徽)若一元二次方程2x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　.  3.(2018·安徽)若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( ) A.－1 B.1 C.－2或2 D.－3或1 A 　2　 安徽十年精选 返回目录 【变式训练】 关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 C 安徽十年精选 返回目录 考点3 　一元二次方程的实际应用 4.(2017·安徽)一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足( ) A.16(1＋2x)＝25 B.25(1－2x)＝16 C.16(1＋x)2＝25 D.25(1－x)2＝16 D 安徽十年精选 返回目录 考点1　一元二次方程的根 1.(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为( ) A.2 B.－2 C.2或－2 D. 2.(2024·凉山州)已知y2－x＝0，x2－3y2＋x－3＝0，则x的值为 　 　.  　3　 A 全国真题汇编 返回目录 考点2 　解一元二次方程 3.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( ) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 C 全国真题汇编 返回目录 4.(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0； (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长. 解：(1)x2－4x＋3＝0，∴(x－1)(x－3)＝0，即x－1＝0或x－3＝0，∴x1＝1，x2＝3. (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边＝＝2；当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边＝，∴第三边的长为2. 全国真题汇编 返回目录 考点3 　一元二次方程根的判别式 5.(2024·自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 A 全国真题汇编 返回目录 6.(2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，则实数k的取值范围是( ) A.k＜ B.k≤ C.k≥ D.k＜－ 7.(2024·广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A.m＜0且m≠－1 B.m≥0 C.m≤0且m≠－1 D.m＜0 A B 全国真题汇编 返回目录 考点4 　一元二次方程根与系数的关系 8.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且＝3，则p的值为( ) A.－ B. C.－6 D.6 9.(2024·泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是 　 　.  　14　 A 全国真题汇编 返回目录 10.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0. (1)求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且－x1x2＝9，求m的值. 全国真题汇编 返回目录 (1)证明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0，易知a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，∴Δ＝b2－4ac＝［－(m＋2)］2－4×1×(m－1)＝m2＋8.∵m2≥0，∴Δ＝m2＋8＞0，∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：设方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2.则x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.∵－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，∴(m＋2)2－3(m－1)＝9，整理得m2＋m－2＝0，∴(m＋2)(m－1)＝0，解得m1＝－2，m2＝1.∴m的值为－2或1. 全国真题汇编 返回目录 考点5 　一元二次方程的应用 11.(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2.在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为( ) A.5 m或6 m B.2.5 m或3 m C.5 m D.3 m C 全国真题汇编 返回目录 12.(2024·重庆A卷)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是　 　.  　10%　 全国真题汇编 返回目录 13.(2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … (1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由. 全国真题汇编 返回目录 解：(1)由题意，设一次函数的关系式为y＝kx＋b，结合表格数据知图象过点(45，55)，(55，45)，∴ ∴∴所求函数关系式为y＝－x＋100. 全国真题汇编 返回目录 (2)由题意，销售额w＝x(－x＋100)＝－x2＋100x，若销售额是2 600元，则2 600＝－x2＋100x，∴x2－100x＋2600＝0.又∵Δ＝(－100)2－4×2 600＝10 000－10 400＝－400＜0，∴方程没有解，∴该商品日销售额不能达到2 600元. 全国真题汇编 返回目录 谢谢观看 返回目录 $