精品解析：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

九年级独立作业 命题：俞连山　审核：戈根平、万里 一、选择题 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，相似比为 ：，且 的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°，则∠ABO的度数是（　　） A. 52° B. 26° C. 38° D. 104° 4. 若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是( ) A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知，那么函数 的图象可能是( ) A. B. C. D. 6. 关于x方程的系数a、b、c满足则关于x方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 二、填空题 7. 如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 _____千米． 8. 一组数据7，－2，－1，6的极差为____． 9. 在直角△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanB=_____． 10. 已知点 是线段 的黄金分割点，且，若，则 ___________． 11. 若圆锥的母线长为8cm，其底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_____cm2（结果保留π）． 12. 如果将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为___________． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 14. 如图，在正方形 和正方形中，点 和点 的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________. 15. 已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 16. 如图，在正方形 ，点 ， 在射线 上，，则最大值是______． 三．解答题 17. （1）解方程： （2）计算： 18. 2023年5月30号，神舟十六号载人飞船发射成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计．将调查结果分为“不关注”“关注”“比较关注”及“非常关注”四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：部分学生对航天科技关注程度的条形统计图：   （1）此次调查中接受调查的人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角的度数为 （4）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人． 19. 一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 20. 如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE． （1）求证： ∽ ； （2）若∠BAC＝60°，BC＝，求DE的长． 21. 如图，直线经过点和，与抛物线在第三象限内交于点，的面积为． （1）求抛物线解析式： （2）结合图象直接写出不等式 的解集． 22. 如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D． (1)BD与DE相等吗?为什么? (2)若∠BAC=90∘，DE=2，求△ABC外接圆的半径． 23. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意，矩形 是其中一个停车位．经测量，，，，， 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果保留根号） （1）求 的长； （2）该充电站有10个停车位，求的长． 24. “杭州丝绸”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的丝巾，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天丝巾的销售量不低于230件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2800元，试确定丝巾销售单价的范围． 25. 如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是 的中点，点D和点N分别是线段 和 上的动点． （1）当点D和点N分别是 和 的中点时，求a的值； （2）当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求 的值； （3）当时，求的最小值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为 ．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求 ， 的值及点 的坐标． （2）点 在上，到 轴的距离为．判断能否经过点 ，若能，求 的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点 ，点 在线段上，且点 的横坐标是点 横坐标的一半． ①若点 与点 重合，点 恰好落在上，求 的值； ②若点 为直线与的唯一公共点，请直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级独立作业 命题：俞连山　审核：戈根平、万里 一、选择题 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．选项：是一元一次方程，故A错误． B．选项：是二元二次方程，故B错误． C．选项：是一元二次方程，故C正确． D．选项：是分式方程，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答本题的关键． 2. 已知，相似比为： ，且 的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长． 【详解】解：∽，相似比为： ， 的周长：的周长： ， 的周长为， 的周长为 ． 故选：C． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 3. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°，则∠ABO的度数是（　　） A. 52° B. 26° C. 38° D. 104° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵∠ACB=52°， ∴∠AOB=2∠ACB=104°， ∵OB=OA， ∴∠ABO=∠BAO=（180°-∠AOB）=​​​​​​​（180°-104°）=38°， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键． 4. 若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是( ) A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差定义判断即可． 【详解】5，6，7，8，9，这组数据的平均数为7，方差为S12=×（22+12+0+12+22）=2； 数据2，3，4，5，x的方差比这组数据方差大，则有S22＞S12=2， 当x=8时，2，3，4，5，8的平均数为4.4，方差为×（2.42+1.42+0.42+0.62+3.62）=4.24，满足题意， 故选D． 【点睛】此题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键． 5. 已知，那么函数 的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别从抛物线的开口方向，对称轴，与 轴的交点位置进行判断即可． 【详解】A、∵由图示知，抛物线开口方向向下， ∴． ∵抛物线与 轴交于负半轴， ∴ ． ∵对称轴， ∴， ∴，这与已知条件相矛盾， 故本选项错误； B、∵由图示知，抛物线开口方向向下， ∴. ∵抛物线与 轴交于正半轴， ∴ . ∵对称轴， ∴， ∴，这与已知条件相矛盾， 故本选项错误； C、∵由图示知，抛物线开口方向向上， ∴． ∵抛物线与 轴交于负半轴， ∴ ． ∵对称轴， ∴， ∴，这与已知条件相同， 故本选项正确 ； D、∵由图示知，抛物线开口方向向上， ∴． ∵抛物线与 轴交于负半轴， ∴ ． ∵对称轴， ∴， ∴，这与已知条件相矛盾， 故选C． 【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象开口向上或向下，分或两种情况分类考虑．另外还要注意 值是抛物线与 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或顶点坐标的位置等． 6. 关于x方程的系数a、b、c满足则关于x方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解的关系．由条件可得，从而二次函数 在 处的值与二次项系数 异号，这意味着无论抛物线开口向上还是向下，函数图象与 轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 与异号． 令 ，当 时， 若，则，抛物线开口向上，且，故函数图象与 轴有两个交点； 若，则，抛物线开口向下，且，故函数图象与 轴有两个交点． 综上，方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 二、填空题 7. 如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 _____千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为： 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键． 8. 一组数据7，－2，－1，6的极差为____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据极差的定义：一组数据中，最大值与最小值的差即为极差，进行解答即可． 【详解】解：一组数据 ，，， 的极差为 故答案为：9． 【点睛】本题考查了极差的定义．解题的关键在于熟练掌握极差的定义． 9. 在直角△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanB=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据sinA=，假设BC=x，AB=3x，利用勾股定理求出AC=x，再利用锐角三角函数的定义得出tanB的值． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴假设BC=x，AB=3x，∴AC==2x，∴tanB===2． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键． 10. 已知点 是线段 的黄金分割点，且，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段 分成两条线段 和 （），且使 是 和 的比例中项，叫做把线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设 的长为 ，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 的长为； 故答案为：． 11. 若圆锥的母线长为8cm，其底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_____cm2（结果保留π）． 【答案】16π． 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】圆锥的侧面积＝2π×8×2＝16π（cm2）． 故答案为：16π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 12. 如果将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先把配方得到y＝（x＋1）2−2，则抛物线y＝x2＋2x−1的顶点坐标为（−1，−2），然后把点（−1，−2）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到新抛物线的顶点坐标． 【详解】∵＝（x＋1）2−2， ∴抛物线y＝x2＋2x−1的顶点坐标为（−1，−2）， ∴把点（−1，−2）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（1，1）， 即新抛物线的顶点坐标为（1，1）． 故答案为：（1，1）． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与 轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令 ，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令 ，得， 解得：，， ∴为， 故答案为： ． 14. 如图，在正方形 和正方形中，点 和点 的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形 和正方形中，点 和点 的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当 时， ，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 15. 已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据，在上取一点 ，使得，则．进而得出，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：抛物线与 轴交于点和点，与 轴交于点． 当时，如图所示， ∵ 在上取一点 ，使得，则 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） 当时，同理可得 综上所述， 故答案为： 16. 如图，在正方形 ，点 ， 在射线 上，，则最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式是解决问题的关键．过点E作交 于G，过点G作于H，设，正方形 的边长为 ，，其中，证先，再证和全等得，然后证得，则，，进而得，则：，依题意得关于x的方程有两个实数根，得到根的判别式，得，由此解得，据此可得k的最大值，进而可得的最大值． 【详解】解：过点E作交 于G，过点G作于H，如下图所示： 设，正方形 的边长为 ，，其中， ，， ， 四边形 为正方形，， 又 ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 整理得∶， 依题意得关于x的方程有两个实数根 根的判别式 ， 将上式两边同时除以，得：， 整理得：， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为． 故答案为：． 三．解答题 17. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和特殊三角函数值的计算； （1）使用公式法解方程； （2）直接代入特殊角的三角函数值进行计算 【详解】解：（1）方程中，，， 判别式 ∴ 即， （2） 18. 2023年5月30号，神舟十六号载人飞船发射成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计．将调查结果分为“不关注”“关注”“比较关注”及“非常关注”四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：部分学生对航天科技关注程度的条形统计图：   （1）此次调查中接受调查的人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角的度数为 （4）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人． 【答案】（1）50 （2）见解析 （3）43.2 （4）人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合、求扇形的圆心角、利用样本评估总体，从条形统计图和扇形统计图中获取信息和数量间的关系，熟练利用样本评估总体的方法是解题的关键． （1）利用“频数÷频率=总数”，根据“关注”类有6人，占总体的即可求解． （2）由（1）得总人数为50人，再利用“总数×频率=频数”可求得“非常关注”类的人数，进而补全条形统计图可求解． （3）“关注”类占 ，利用圆心角等于 乘以该部分所占总体的百分比即可求解． （4）利用样本评估总体的方法即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得： “关注”类有6人，占总体的， ∴此次调查中接受调查的人数为：（人）， 故答案为：50． 【小问2详解】 解：由（1）的总数为50人，“非常关注”类占总体的， ∴“非常关注”类有：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：由图可得： “关注”类占12%， ∴“关注”对应扇形的圆心角为：， 故答案为：43.2． 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共人． 19. 一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 20. 如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE． （1）求证： ∽ ； （2）若∠BAC＝60°，BC＝，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）找出公共角即可求出相似 （2）根据得出一个比例式，再根据两边对应成比例且夹角相等得出，再结合的余弦值即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：是的高 （2） 又 【点睛】本题主要考查了相似三角形，三角函数等知识点，能找出根据第一个相似三角形的比例式来证第二个相似三角形是解题关键． 21. 如图，直线经过点和，与抛物线在第三象限内交于点，的面积为 ． （1）求抛物线解析式： （2）结合图象直接写出不等式 的解集． 【答案】（1）； （2）：或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的解析式求解、函数图象的交点问题及不等式的解集，熟练掌握函数图象的性质与交点坐标的求法是解题的关键． （1）先代入点 求直线解析式，再利用的面积求点 坐标，最后代入抛物线解析式求 ； （2）结合图象，找出直线在抛物线上方时 的取值范围． 【小问1详解】 解：∵ 直线经过点， ∴ ， ∴ ， ∴ 直线解析式为， ∵ 的面积为1，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 点 在第三象限， ∴ ， 将 代入得， 解得 ， ∴ 将代入得， 解得， ∴ 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：联立， ∴即， 解得， ∴ 另一个交点为， 结合图象，不等式的解集为：或． 22. 如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D． (1)BD与DE相等吗?为什么? (2)若∠BAC=90∘，DE=2，求△ABC外接圆的半径． 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）． 【解析】 【分析】(1)由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出,由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB； (2)由(1)得： ，得出CD=BD=DE=2，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°,由勾股定理求出，即可得出△ABC外接圆的半径． 【详解】（1）DE=DB．理由如下： ∵E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD， ∴， ∴∠DBC=∠BAE， ∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB； （2）连接CD，如图所示：由（1）得：， ∴CD=BD=DE=2， ∵∠BAC=90°， ∴BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∴BC== ， ∴△ABC外接圆的半径为． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本题的关键． 23. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意，矩形 是其中一个停车位．经测量，，，，， 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果保留根号） （1）求 的长； （2）该充电站有10个停车位，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质，角直角三角形的性质，正确运用恰当的三角函数是解题的关键． （1）根据矩形的性质，分别解，求出，解，求出，解，求出，再由求解； （2）在和 中，利用角直角三角形的性质求出，再由求解． 【小问1详解】 解： 矩形， ， ， 矩形 ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 在 中，， ∴， 矩形 ． 24. “杭州丝绸”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的丝巾，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天丝巾的销售量不低于230件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2800元，试确定丝巾销售单价的范围． 【答案】（1）v （2）当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元 （3）当时，捐款后每天剩余利润不低于元 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定 与 之间的函数关系式； （2）根据利润 销售量 单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润； （3）首先得出 与 的函数关系式，进而利用所获利润等于元时，对应 的值，根据增减性，求出 的取值范围． 【小问1详解】 由题意得： ． 故 与 之间的函数关系式为：， 【小问2详解】 由题意，得 ， 解得， ∴， 设利润为， ， ∵， ∴时，w随x的增大而增大， ∴时，， 答：当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 捐款后每天剩余利润， 依题意得： ， ， 解得：，， 如图所示，由图象得： ∴当时，捐款后每天剩余利润不低于元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． 25. 如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是 的中点，点D和点N分别是线段 和 上的动点． （1）当点D和点N分别是 和 的中点时，求a的值； （2）当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求 的值； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出 的长， 的长，根据，求出 的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点 ，连接，易得为等腰直角三角形，得到， ，进而得到四边形为平行四边形，得到，将 绕点 旋转90度得到 ，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出 的长即可． 【小问1详解】 解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是 和 的中点， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵ 是 的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； 【小问3详解】 ∵，， ∴， 作于点 ，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将 绕点 旋转90度得到 ，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点 在线段 上时，的值最小为 的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为 ．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求 ， 的值及点 的坐标． （2）点 在上，到 轴的距离为．判断能否经过点 ，若能，求 的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点 ，点 在线段上，且点 的横坐标是点 横坐标的一半． ①若点 与点 重合，点 恰好落在上，求 的值； ②若点 为直线与的唯一公共点，请直接写出 的值． 【答案】（1）， （2）不能，理由： ∵点 在（第一象限）上，到 轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点 , （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将 代入，得出①，根据点 为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得 的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①∵， 当重合时，则 ∵ 是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点 ，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去 得， ∴，则 ∵点 的横坐标是点 横坐标的一半． ∴即， 将 代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点 为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $