精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

牡丹江二中2025—2026学年度第一学期期末试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列，，则＝（ ） A. 0 B. －1 C. －2 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质及已知求得，再利用公差的性质求出公差即可求出的值. 【详解】由数列为等差数列，则，解得， 可得公差，所以． 故选：B． 2. 已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 3. 已知函数的定义域为，且导函数在的图象如下图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，先正后负，因此根据图象即可求得极大值点的个数． 【详解】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负， 结合图象可知，函数在区间的极大值点只有. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及学生的识图能力．属于基础题． 4. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，根据导函数的正负，来判断原函数的单调性. 【详解】令，则， 当时，，的单调递减区间为， 故选:D. 5. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 6. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 7. 已知数列满足，则数列前2025项和为（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，根据分组求和即可求解. 【详解】依题意， ， 其中后1012对（）的和均为， 故这1012对的和为， 由得. 故选：D 8. 动点满足关系式，则点的轨迹是（ ） A. 离心率为的椭圆 B. 离心率为的双曲线 C. 离心率为的椭圆 D. 离心率为的双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点距离公式，结合题意与椭圆定义，利用离心率的定义，可得答案. 【详解】由表示动点到定点的距离， 表示动点到定点的距离， 且两点的距离为， 则动点的轨迹为椭圆，易知，，所以离心率. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中不正确的命题是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若，，则为等差数列 C. 若为等比数列，则，成等比数列 D. 若，则是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】ACD 举反例；B利用计算. 【详解】若，则满足，但不是等比数列，故A错误； ，则当时，， 则， 又满足上式，则，则为等差数列，故B正确； 若，则， 则不是等比数列，故C错误； 若，则，则当时，， 此时不是等比数列，故D错误. 故选：ACD 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为，即，解得，故A正确； 对于B，所以抛物线，所以焦点为，设， 因为为线段的中点， 所以，即， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 由的坐标可知， 所以的周长为， 当且仅当P为与抛物线的交点时，等号成立，所以周长的最小值为，D正确. 故选：ABD. 11. (多选题)已知函数的定义域是，关于函数下列命题正确的有( ) A. 对于任意，函数是上的增函数； B. 对于任意，函数存在最小值； C. 存在，使得对于任意的，都有成立； D. 存在，使得函数有两个零点． 【答案】ABD 【解析】 【分析】由时，，可判断A是否正确；由函数在定义域内有唯一的极小值判断B是否正确；根据A，以及函数图像的走势，即可判断C是否正确；结合B和函数图像的走势，可判断D是否正确． 【详解】函数的定义域为：，． 对于选项A，因为，所以，∴是增函数，故A正确； 对于选项B，因为，所以有解，又在为增函数，所以在上存在唯一的零点，所以在上为减函数，在上为增函数，所以函数在上有唯一的极小值，亦是最小值，故B正确； 对于选项C，当时，当时，；当时，； 由A可知是上的增函数，所以函数在上存在唯一的零点， 所以当时，；故C不正确； 对于选项D，由B可知，时，函数存在最小值，且，所以 ，所以， 所以存在使最小值小于， 又当和时，， 所以存在，使得函数有两个零点，故D正确． 故答案为：ABD． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了利用导函数求函数的单调性，最值，零点，难度中档． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用代入法求出数列前几项可以判断数列的周期性，利用数列周期性进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因此可以判断该数列的周期为，. 故答案为：3 13. 已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，设切点为，，由题意列关于与的方程组，求解得答案． 【详解】解：由，得， 设切点为，， 则，消去并整理，得，则． ． 故答案为：． 14. 点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，得到以点到点的距离为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设点的坐标为，其中，则， 所以点到点的距离为， 当时，取得最小值，最小值为，所以点到点距离的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且对任意的，都有. （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为，即， 又，即，又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以 . 16. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）， 所以. 【解析】 【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，即可证明. 【小问1详解】 由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. 【小问2详解】 略 17. 已知，. （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若是的极值点，求在上的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题意可知对任意的恒成立，转化为，利用二次函数的基本性质求得函数在区间上的最小值，进而可得出实数的取值范围； （2）由题意可得出，求得的值，然后利用导数分析函数在区间，求出极值，将极值与和比较大小，可得出函数在区间上的最大值. 【详解】（1），， 由题意可知，对任意的恒成立， 由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以，函数在区间上单调递增，则，解得. 因此，实数的取值范围是； （2），由于是函数的极值点，则，解得，，. 令，得或，列表如下： 极小值 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以，函数在处取得极小值，且极小值为. 又，，则， 因此，函数在区间上的最大值为. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题. 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 19. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）极大值为，无极小值；（3）． 【解析】 【分析】（1），求得，得到，然后计算切点纵坐标，求导数，计算切线斜率，写出切线方程，进而得到函数的解析式; （2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性，进而得到极值. （3）令,，由于，，故先对时的情况利用导数研究函数的单调性，即可得到，符合题意.当时，再利用导数研究函数的单调性，设的零点情况分和讨论，进而求得 时符合题意，时不符合题意，从而综合可得. 【详解】解：（1），∴， ，， ，， 切线方程为,即, ∴． （2）由（1）知，函数定义域为， 所以， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）令, ，，, 1．当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意； 2．当时，设， ①当，，，所以在上单调递增， ，所以在上单调递增，所以， 所以符合题意； ②当时，，，所以在上递增， 在上递减，，所以当，， 所以在上单调递减，，所以，，舍去. 综上：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和求解不等式恒成立中的参数取值范围问题，关键难点是不等式恒成立中的分类讨论思想，要理解分类讨论的依据. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2025—2026学年度第一学期期末试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列，，则＝（ ） A. 0 B. －1 C. －2 D. －3 2. 已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知函数的定义域为，且导函数在的图象如下图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 6. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则数列前2025项和为（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 8. 动点满足关系式，则点的轨迹是（ ） A. 离心率为的椭圆 B. 离心率为的双曲线 C. 离心率为的椭圆 D. 离心率为的双曲线 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中不正确的命题是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若，，则为等差数列 C. 若为等比数列，则，成等比数列 D. 若，则是等比数列 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 11. (多选题)已知函数的定义域是，关于函数下列命题正确的有( ) A. 对于任意，函数是上的增函数； B. 对于任意，函数存在最小值； C. 存在，使得对于任意的，都有成立； D. 存在，使得函数有两个零点． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，则＝______． 13. 已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为___________. 14. 点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且对任意的，都有. （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和. 16. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 17. 已知，. （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若是的极值点，求在上的最大值． 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 19. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $