精品解析：广东省深圳市蛇口育才教育集团育才三中2025-2026学年上学期九年级数学随堂练习第三次月考试卷

九上随堂练习 一、选择题（共8小题） 1. 下面立体图形中，主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．据此解答即可． 【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，不符合题意； B、球的主视图和左视图均为圆，不符合题意； C、长方体的主视图和左视图是不完全相同的长方形，符合题意； D、圆柱的主视图和左视图均为长方形，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 3. 一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（ ） A. 21 B. 27 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算．直接由概率公式求解即可. 【详解】解：根据题意得，解得：， 经检验：符合题意， 所以估计盒子中小球的个数为30． 故选：D． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据正切求边长，掌握正切的定义是解题的关键．根据正切的定义直接计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴ 故选：C． 5. 如图在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了以原点O为位似中心做出位似图形坐标变化规律，根据坐标变成原来的或求解即可． 【详解】解：点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1， 所以点A的对应点的坐标为原来横纵坐标的或， 即或， 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，其中，点位于第二象限，点位于第一象限，且与轴正半轴的夹角为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，坐标与图形，勾股定理以及三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线． 连接，作轴，由正方形的性质可得，，则由勾股定理和角度和差得，，最后用三角函数即可求出点的坐标． 【详解】解：连接，作轴，如下图： 由正方形的性质可得，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为：， 故选：A． 7. 如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．延长交于点H，证明，继而证明，根据三线合一可知，进一步可得，继而 可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵P是线段的中点， ∴， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8. 在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（ ） A. 8 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 二、填空题（共5小题） 9. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 10. 比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的大小比较，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，角度越大，正弦值越大． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：<． 11. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离___________米时，才能发现C处的儿童． 【答案】## 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，再证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】在中，，， ， ，， ， ， ， ， 在中，米， ， ， 汽车从处前行米，才能发现处的儿童， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12. 设a、b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解定义得出，求出，再根据根与系数的关系得出，代入即可求出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解的定义，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，已知一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为x1，x2，那么． 13. 正方形纸片中，E，F分别是、上的点，且，交于M．若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及解含的直角三角形．过点C作，交的延长线于点N，利用已知条件和正方形的性质证得和，利用解含的直角三角形的性质推导出，进而利用相似三角形的性质得出线段比例的关系，最后将线段之间进行转化即可得出结果． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点N， ∵，四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，，， 又∵，， ∴， ∴， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 14. 按要求解下列一元二次方程 （1）（公式法） （2）（配方法） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理得， ，， ∴ ∴，； 【小问2详解】 解： 移项得， 整理得， 配方得， ∴ ∴，； 【小问3详解】 解： 移项得， ∴或 ∴，； 【小问4详解】 解： 去括号整理得， ∴或 解得，． 15. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； （3）10 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以得到其对应点，，，再连线即可得出答案； （3）利用割补法求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，关于x轴对称图形画法及位似图形的画法，熟练运用位似图形的性质是解题关键． 16. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】（1）40，， 补全条形统计图如下： （2） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 故答案为：40， 【小问2详解】 解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 17. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B． （1）若AB＝10，求FD的长； （2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE． 【答案】(1) FD=5 （2）∵AC=BC， ∴∠A=∠B． 又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B， ∴∠CDE=∠B． 而∠B=∠F， ∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF， ∴△CDE∽△DFE ． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线的性质得出DE∥AB，进而得出∠DEC =∠B，即可得出FD=DE，即可得出答案； （2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠A=∠CED=∠CDE，即可得出∠CDE=∠F，即可得出△CDE∽△DFE． 【详解】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE//AB， DE=AB=5 又∵DE//AB， ∴∠DEC= ∠B． 而∠ F= ∠ B， ∴∠DEC =∠F， ∴FD=DE=5； （2） 略 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和平行线的性质等知识，熟练利用相关性质是解题关键． 18. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键．根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． ， ． ．即． ． 同理，． ．即． ． 解得，． ． ∴围墙的高度为． 19. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 20. 在中，，将绕点旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长： （3）如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点K．当时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出，根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，根据，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 解：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上随堂练习 一、选择题（共8小题） 1. 下面立体图形中，主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 3. 一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（ ） A. 21 B. 27 C. 28 D. 30 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 如图在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，其中，点位于第二象限，点位于第一象限，且与轴正半轴的夹角为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　） A. B. C. D. 8. 在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（ ） A. 8 B. 5 C. D. 二、填空题（共5小题） 9. 若，则_____． 10. 比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 11. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离___________米时，才能发现C处的儿童． 12. 设a、b是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 正方形纸片中，E，F分别是、上的点，且，交于M．若，则__________． 三、解答题（共7小题） 14. 按要求解下列一元二次方程 （1）（公式法） （2）（配方法） （3） （4） 15. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 16. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 17. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B． （1）若AB＝10，求FD的长； （2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE． 18. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 19. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 20. 在中，，将绕点旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长： （3）如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点K．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $