专题5.1 比、比例及其性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题5.1 比、比例及其性质 教学目标 1.理解比的意义，掌握比的读写方法和各部分名称，理解比与除法、分数的关系，能运用比的意义解决实际问题； 2.理解比的基本性质，运用比的基本性质化简两个数的比、三个数的连比，会求比例尺； 3.理解比例、比例中项等概念，会检判断四个量是否成比例，理解比例的基本性质，会用比例基本性质求比例式中的未知量，能用比例解决工程、行程、浓度、比例尺、按比例分配等简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）比的意义的理解； （2）比的基本性质的理解； （3）比例基本性质的理解。 2.难点 （1）运用比的性质求三连比； （2）比例的实际应用。 知识点01 比的意义 1. 比的概念： 设a、b是两个数或两个量，为了比较a和b，可将a与b相除，叫作a与b的比. 记作：______(b≠0)，读作______，或______. 其中，a叫作比的_________,b叫作比的_________.a除以b的商叫作_________. 2. 比与除法、分数间的关系 比的前项相当于分数的_________和除式中的_________； 比的后项相当于分数的_________和除式中的_________；比值相当于分数的值和除式中的_________. 比 a：b 前项 a 比号 ： 后项 b 比 值 除法 a÷b 分数 【即学即练】 1．填空题： （1）两个数______又叫做两个数的比，比的后项不能为______； （2）在 “6：12” 中，前项是______，后项是______，比值是______； （3）可以读作______，也可以表示______：______； （4）求比值：0.8：0.4=_____ ，15：25=______. 知识点02 比的基本性质 1．分数的基本性质 ： （b≠0,m≠0,n≠0）. 2. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为零的数，比值_________。 a：b=am：bm=(a÷n)：(b÷n)（b≠0,m≠0,n≠0）. 3. 最简整数比：最简整数比是指比的前项与后项都是_________，且它们_________.运算结果中，比一般需要化为最简整数比. 4. 比例尺：我们把_________和_________之比称为这幅图的“比例尺”,也就是 图上距离：实际距离=比例尺 5.三项比的基本性质是 a：b：c=am：bm：cm=(a÷n)：(b÷n)：(c÷n)； 【即学即练】 1.化简下列各比： (1); (2)0.65：1.3 (3)1; (4)1.25L： 375 mL. 2．上海轨道交通1号线从上海南站至常熟路站在图上的直线距离为3.4cm,而从上海南站至常熟路站的实际直线距离约为6.8 km.求上海轨道交通1号线从上海南站至常熟路站在图上的直线距离与实际直线距离之比. 3.把下列各比化为最简整数比： (1)15：30：40; (2)：：46; (3)15 min：1.5h：1h 15 min. 4.根据下列条件求三项的比 (1)已知a：b=2：3,b：c=3：5.求a：b：c; (2)已知a：b=2：3,b：c=4：5.求a：b：c. 知识点03 比例 1．比例的意义 在a、b、c、d四个量中，如果_________,那么就说a、b、c、d成比例. 特别地，当b=c时，即_________（或_________）成立，那么把b叫作a和d的比例中项. 2.比例的基本性质是： 如果a：b=c：d或=，那么ad=bc. 反之，如果b、d都不为0且ad=bc,那么a：b=c：d或 =. 简称：两个外项的积等于两个内项的积 【即学即练】 1．判断30、25、12、10这四个数成比例吗?请说明理由. 2. 利用比例的基本性质求下列各式中的x. （1）4：x= ：2 （2） = 题型01 正确理解比的意义 【典例1】一个比的前项是 ，后项是 ，这个比的比值是 ． 【变式1】一个比的后项是12，比值是，这个比的前项是 ． 【变式2】（ ）（ ）（ ）（填小数），填空依次为( )，( )，( )，( )． 【变式3】已知线段的长度是线段长度的3倍，则的值是 ． 【变式4】a、b两个数，比多．与的比是( )，比少( )（填分数）． 题型02 求比值 【典例1】求比值． (1) ; (2) ; (3) ; 【变式1】求比值． (1) ；(2) ；(3) 【变式2】化简比并求出比值． (1) (2) 【变式3】一个比的比值是，如果它的前项乘，后项不变，则比值变为（ ）． A． B． C．2 D． 【变式4】．甲数比乙数少四分之一，乙数与甲数之比是（   ） A． B． C． 题型03 比的实际应用 【典例1】录入同一份稿件，王芳用了分钟，李明用了分钟．王芳和李明两人录入这份稿件打字速度比是 ． 【变式1】一项工作，甲单独做需要9天完成，乙需要12天完成，甲乙的工作效率比是 ． 【变式2】． (1)分别写出三种水果的总价与质量的比，并求出比值． (2)哪种水果最便宜？ 【变式3】许多食物的钙含量很高，如菠菜、鲫鱼、牛奶、豆腐等.根据表格提供的信息，判断：这四种食物中，哪种食物的钙含量最高?哪种食物的钙含量最低?(mg表示质量单位毫克，1000 mg = 1g.) 食物钙含量表 食物名称 钙含量 参考重量 菠菜 66 mg 100g 鲫鱼 16g 20000g 牛奶 226 mg 200g 豆腐 390 g 500000g 题型04 根据比的基本性质（化简）两项之比 【典例1】化简下面各比． (1) ; (2) ; (3) ; (4) 【变式1】化简比 (1) ; (2) 【变式2】化简下列式子 (1) ; (2) 【变式3】化简比并求比值． (1)500克千克; (2) 【变式4】小丽调制了两杯蜂蜜水，甲杯用了25毫升蜂蜜和200毫升水，乙杯用了30毫升蜂蜜和120毫升水． (1)甲乙两杯蜂蜜水的蜂蜜和水的比分别是多少？ (2)哪杯蜂蜜水更甜？ 题型05 求三项连比 【典例1】已知 ，，求 的最简整数比． 【变式1】把下列各比化为最简整数比：． 【变式2】已知，，求最简整数比． 【变式3】已知，，求． 【变式4】已知，，求． 题型06 求比例尺 【典例1】在一幅地图上，用长为3厘米的线段表示实际距离900千米． (1)这幅地图的比例尺是多少？ (2)在这幅地图上量得甲、乙两地之间的距离是厘米，甲、乙两地的实际距离是多少千米？ (3)有一条长是480千米的高速公路，在这幅地图上的长是多少厘米？ 【变式1】甲、乙两地实际相距，在地图上，用表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是 ． 【变式2】在一幅地图上，用3厘米表示实际距离150千米，这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【变式3】实际生产和生活中还有一种比例尺很特殊，如20∶1，它表示图上( )厘米代表实际距离( )厘米，它是把实际距离( )（填“放大”或“缩小”）． 【变式4】在比例尺为的地图上，量得潢川县彩虹桥长为5厘米，一个修桥队50天修千米，照这样计算，彩虹桥实际竣工还需要多少天？ 题型07 判断四个量是否成比例 【典例1】下列每组中的两个比可以组成比例吗？把组成的比例写在括号里． （1）和( ) （2）和( ) 【变式1】下面两个比可以组成比例的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】下面的比能与组成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】判断对错：用6、8、9、10这四个数可以组成比例．( ) 【变式4】有2、3、6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是（     ） A．1 B．4 C．9 D．12 题型08 求比例式中的未知量 【典例1】解比例． 【变式1】解下列方程． (1) (2) (3) 【变式2】如果4是8和的比例中项，那么 ． 【变式3】填空 （1） ( ) （2） ( ) 【变式4】求未知数x． ． 题型09 比例的实际问题——照这样计算 【典例1】王华5天看完一本115页的书，照这样的速度，要看207页的一本书，需要多少天？（用比例方法解答） 【变式1】小明家距离外婆家大约有580千米，汽车每100千米耗油升，按这个耗油量，出发时加满45升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答） 【变式2】将本相同厚度的书叠起来，它们的高度为厘米，如果将本这样的书叠起来，那么新的高度是多少？（用比例方法解题） 题型10 比例的实际问题——按比例分配 【典例1】《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜和锡各多少千克？ 【变式1】我校金螺号校园文化节共有120件学生作品获奖，其中五六年级获奖作品共占，且五六年级获奖作品数量比为，五六年级各有多少件作品获奖？ 【变式2】石硫合剂是用石灰、硫磺和水按的比配制而成的．现在张叔叔要配制这种石硫合剂，张叔叔要准备石灰、硫磺、水各多少千克？ 1．在括号内填上适当的数 ( )：   ( ) 2． 在中，4是比的( )项，8是比的( )项，比值是( ) 3．下列四组数中，能组成比例的是（    ） A．3，6，7和15 B．，，1和3 C．3，4，5和6 D．2，3，4和8 4．下列各组数中，不能组成比例的是（   ） A．2，3，4，6 B．1，2，4，8 C． D．，，， 5．白兔比黑兔多，白兔与黑兔的比是（ ）． A． B． C． D． 6. 如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的，则大长方形面积与小长方形面积的比值是（    ）． A． B． C． D． 7. 的比值是 ． 8．把11克盐溶解在100克水中，盐与盐水的比是 ，水占盐水的 ． 9．甲数比乙数多，甲、乙两数的比是________，乙数是甲数的________(填分数) 10. A、B两地间的实际距离米，画在地图上的距离厘米，比例尺是 ． 11．求比值． (1) ; (2) ; (3) ; (4)吨∶800千克 12． 把下列各比化成最简整数比： (1)15分钟:小时； (2)::． 13．已知，，求． 14．已知，，求（结果写成最简整数比）． 15．下面哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来． （1）4，5，12和15 （2）2，3，4和5 （3）1.6，6.4，2和5 （4）和 16．解比例． (1) (2) (3) 17.王亮6分钟走了300米，李明用的时间是王亮的1.5倍，王亮与李明的速度比是多少？ 18．王师傅 小时加工 个零件．照这样的速度，王师傅 分钟可以加工多少个零件？（用比例方法解题） 19．制作一种面包，面粉、水、白糖的比例为．现有面粉450克，制作这种面包，还需水和白糖各多少克？ 20．京剧是中国的国粹．近年来，京剧得到更多年轻人的喜爱．据统计，清远某校有60名年轻教师喜爱京剧．其中，男教师和女教师的人数之比是，喜爱京剧的男教师和女教师各有多少名？ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 比、比例及其性质 教学目标 1.理解比的意义，掌握比的读写方法和各部分名称，理解比与除法、分数的关系，能运用比的意义解决实际问题； 2.理解比的基本性质，运用比的基本性质化简两个数的比、三个数的连比，会求比例尺； 3.理解比例、比例中项等概念，会检判断四个量是否成比例，理解比例的基本性质，会用比例基本性质求比例式中的未知量，能用比例解决工程、行程、浓度、比例尺、按比例分配等常见简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）比的意义的理解； （2）比的基本性质的理解； （3）比例基本性质的理解。 2.难点 （1）运用比的性质求三连比； （2）比例的实际应用。 知识点01 比的意义 1. 比的概念： 设a、b是两个数或两个量，为了比较a和b，可将a与b相除，叫作a与b的比. 记作：a：b(b≠0)，读作：a比b，或_a与b的比. 其中，a叫作比的前项,b叫作比的后项.a除以b的商叫作比值. 比与除法、分数间的关系 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数； 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；比值相当于分数的值和除式中的商. 比 a：b 前项 a 比号 ： 后项 b 比 值 除法 a÷b 被除数 除号 除数 商 分数 分子 分母 分数线 分数值 【即学即练】 1．填空题： （1）两个数______又叫做两个数的比，比的后项不能为______； （2）在 “6：12” 中，前项是______，后项是______，比值是______； （3）可以读作______，也可以表示______：______； （4）求比值：0.8：0.4=_____ ，15：25=______. 【答案】（1）相除，0；（2）6，12，\0.5；（3）（4）. 【分析】根据比的概念即能解答问题. 【解析】(1)比的定义为“两个数相除”，后项相当于除数，除数不能为0. (2)比的形式为“前项：后项”，比值=前项÷后项，即6÷12=或0.5. (3) (4) 知识点02 比的基本性质 1．分数的基本性质 ： （b≠0,m≠0,n≠0）. 2. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变。 a：b=am：bm=(a÷n)：(b÷n)（b≠0,m≠0,n≠0）. 2. 最简整数比：最简整数比是指比的前项与后项都是整数，且它们互素.运算结果中，比一般需要化为最简整数比. 3. 比例尺：我们把图上距离和实际距离之比称为这幅图的“比例尺”,也就是 图上距离：实际距离=比例尺 5.三项比的基本性质是：a：b：c=am：bm：cm=(a÷n)：(b÷n)：(c÷n)； 【即学即练】 1.化简下列各比： (1); (2)0.65：1.3 (3)1; (4)1.25L： 375 mL. （1）；（2）1：2；（3）8：5；（4）10：3 【分析】明确化简目标——强调 “最简整数比” ，单位不一致的要先化为一致. （1） 比的前项后项都除以最大公因数； （2） 现将小数化为整数； （3） 先将代数分化为假分数； （4） 先将单位化同一； 【解析】 （1）解：==； （2）解：0.65：1.3=（0.65×100)：(1.3×100）=65：130=1：2; （3）解：1=（)：(）=24：15=8：5； （4）解：1.25L ： 375 mL=1250mL：375mL=(1250÷125)：(375÷125)=10：3 2．上海轨道交通1号线从上海南站至常熟路站在图上的直线距离为3.4cm,而从上海南站至常熟路站的实际直线距离约为6.8 km.求上海轨道交通1号线从上海南站至常熟路站在图上的直线距离与实际直线距离之比. 1：200000 【分析】图上距离：实际距离=比例尺；求比值时单位不一致的要先化为一致. 【详解】3.4cm：6.8km =3.4cm：680000cm =(3.4×10)：(6800000) =34：6800000 =1：200000. 答：上海轨道交通1号线从上海南站至常熟路站在图上的直线距离与实际直线距离之比是1：200000. 3.把下列各比化为最简整数比： (1)15：30：40; (2)：：46; (3)15 min：1.5h：1h 15 min. （1）3：6：8;（2）3：2：276;（3）1：6：5 【分析】本题结果需要化为最简整数比，根据三项比的性质即可解题. 【详解】 （1）15：30：40=3：6：8; （2）：：46=3：2：276; （3）15 min：1.5h：1h 15 min=15min：90min：75min=1：6：5 4.根据下列条件求三项的比 (1)已知a：b=2：3,b：c=3：5.求a：b：c; (2)已知a：b=2：3,b：c=4：5.求a：b：c. （1）2：3：5;（2）8：12：15 【分析】（1）因为在a：b和b：c中，中间项b的“份数”一样多，所以可以直接求三项之比； （2）因为3和4的最小公倍数是12,所以 a：b=2：3=(2×4)：(3×4)=8：12, b：c=4：5=(4×3)：(5×3)=12：15. 所以，a：b：c=8：12：15. 【详解】解： （1）a：b：c=2：3：5 （2）a：b=2：3=8：12,b：c=4：5=12：15 【点睛】由“两两之比”转化为“三项连比”最关键的是让“b”的份数一样多。 知识点03 比例 1．比例的意义 在a、b、c、d四个量中，如果a：b=c：d,那么就说a、b、c、d成比例. 特别地，当b=c时，即a：b=b：d（或=）成立，那么把b叫作a和d的比例中项. 2.比例的基本性质是： 如果a：b=c：d或=，那么ad=bc. 反之，如果b、d都不为0且ad=bc,那么a：b=c：d或 =. 简称：两个外项的积等于两个内项的积 【即学即练】 1．判断30、25、12、10这四个数成比例吗?请说明理由. 这四个数成比例 【分析】判断四个数是否成比例，用“等积”来验证最方便，只需要验证“最大数×最小数”=“中间数×中间数”即可。判断四个数是否成比例（便捷方法：最大数×最小数=中间两数×中间两数） 【解析】解：将四个数排序：10、12、25、30，最大数30，最小数10，中间数12、25；因为30×10=300，12×25=300，所以30×10=12×25，这四个数成比例即10：12=25：30. 2. 利用比例的基本性质求下列各式中的x. （1）4：x= ：2 （2） = （1）x=；（2）x=55 【分析】求比例式中的未知量的步骤是：比例式→等积式→解方程. (1)解：因为4：x= ：2 所以 x=8 解之得： x=； 因为 = ， 所以 4x=20×11 即： 4x=220 解之得 x=55. 题型01 正确理解比的意义 【典例1】一个比的前项是 ，后项是 ，这个比的比值是 ． 【答案】/0.9 【分析】本题考查了比的意义，比是表示两个数相除，根据比的意义就能计算． 【详解】解： 故答案为：． 【变式1】一个比的后项是12，比值是，这个比的前项是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了比的意义，比是表示两个数相除，设前项是x，根据比的意义求出x的值即可． 【详解】解：设前项是x，根据题意得： ， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】本题考查比的意义，解题的关键是根据比的意义求出比的前项． 【变式2】（ ）（ ）（ ）（填小数），填空依次为( )，( )，( )，( )． 【答案】 15 12 40 0.6 【分析】本题考查了比的意义，比是表示两个数相除，比与分数与除法的关系，根据比例和分数的基本性质，所有表达式都等于 ，通过设未知数并求解比例方程，得到各空的值． 【详解】解：由题意，所有表达式均等于 ， 对于第一个空：设未知数为 ，则 ，即 ，解得 ． 对于第二个空：设未知数为 ，则 ，即 ，解得 ． 对于第三个空：设未知数为 ，则 ，即 ，解得 ，． 对于第四个空：． 故答案为：15，12，40，0.6． ． 【变式3】已知线段的长度是线段长度的3倍，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比的意义，比是表示两个数相除，求AB：CD就用AB的长度除以CD的长度． 设线段的长度为x，则线段的长度为，然后根据比例的定义求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x，则线段的长度为， ， 即的值是3． 故答案为：． 【变式4】a、b两个数，比多．与的比是( )，比少( )（填分数）． 【答案】 【分析】本题考查了比的意义，比是表示两个数相除，将a看作单位“1”，则b为，即可解答． 【详解】解：将a看作单位“1”，则b为， 则， 比少， 故答案为：，． 题型02 求比值 【典例1】求比值． (1) ; (2) ; (3) ; 【答案】(1)； (2) ； (3) . 【分析】本题考查了求两个数的比值，根据比的意义，比是表示两个数相除，掌握计算方法即可求解． （1）先写成除法计算，再把结果写成分数形式即可； （2）先把小数变成分数，然后写成分数除法，再转化成分数乘法计算，结果写成分数形式即可； （3）先写成分数除法，再转化成分数乘法计算，结果写成分数形式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； 【变式1】求比值． (1) ；(2) ；(3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题主要考查了求比值，解题的关键是掌握求比值的法则． （1）利用比和分数的关系，约分即可计算； （2）利用除以一个数等于乘这个数的倒数来进行求值即可； （3）先把小数化成分数，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】化简比并求出比值． (1) (2) 【答案】(1); (2)2 【分析】先统一单位，再化简比，最后结果写成分数形式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：化简比， =2. 【变式3】一个比的比值是，如果它的前项乘，后项不变，则比值变为（ ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了比的意义，比是表示两个数相除，设原比的前、后项，通过代数表达式推导新比值．关键：明确“后项不变，前项乘几，比值就乘几”的规律． 【详解】设原比的前项为，后项为，则 ． ∵ 前项乘，后项不变， ∴ 新比值为 ． ∴ 比值变为． 故选：A． 【变式4】．甲数比乙数少四分之一，乙数与甲数之比是（   ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了比的意义，比是表示两个数相除，关键是根据题意把乙数看作单位“1”，求出乙数． 把乙数看作单位“1”，则甲数相当于，根据比的意义得出乙数与甲数的比即可． 【详解】把乙数看作单位“1”，则甲数为， 所以乙数与甲数之比为， 故选：B． 题型03 比的实际应用 【典例1】录入同一份稿件，王芳用了分钟，李明用了分钟．王芳和李明两人录入这份稿件打字速度比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比的应用和比的意义，比是表示两个数相除，设稿件总量为单位“1”，可得王芳的速度为，李明的速度为，将两人的速度相除即可求解速度之比，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设稿件总量为，则王芳的打字速度为，李明的打字速度为， 所以速度比为 故答案为：． 【变式1】一项工作，甲单独做需要9天完成，乙需要12天完成，甲乙的工作效率比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比的应用和比的意义，比是表示两个数相除，将总工作量当作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，将两人的效率相除即可求得甲乙的工作效率比． 【详解】解：将总工作量当作单位“1”， 则甲的工作效率是，乙的工作效率是， 所以甲乙的工作效率比为． 故答案为：． 【变式2】． (1)分别写出三种水果的总价与质量的比，并求出比值． (2)哪种水果最便宜？ 【答案】(1)，；，；， (2)西红柿 【分析】本题考查了比的应用和比的意义； （1）分别用三种水果的总价比质量，根据比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变化成最简整数比；用比的前项除以后项求出比值． （2）比较比值的大小，比值最小的最便宜． 【详解】（1）解： =4.4； ； =5.7 ； =6.3 （2）解：因为； 答：西红柿最便宜． 【变式3】许多食物的钙含量很高，如菠菜、鲫鱼、牛奶、豆腐等.根据表格提供的信息，判断：这四种食物中，哪种食物的钙含量最高?哪种食物的钙含量最低?(mg表示质量单位毫克，1000 mg = 1g.) 食物钙含量表 食物名称 钙含量 参考重量 菠菜 66 mg 100g 鲫鱼 16g 20000g 牛奶 226 mg 200g 豆腐 390 g 500000g 【答案】四种食物中，牛奶的钙含量最高，菠菜的钙含量最低 【分析】本题考查了比的应用和比的意义； 先分别求出四种食物中钙含量占食物总重量的比值，比较比值的大小，即可知道钙含量的高低． 【详解】解： (1)菠菜中的含钙量为：66mg ：100g = 66mg ：100000mg = 0.00066; (2)鲫鱼中的含钙量为：16g ：20000g = 0.0008; (3)牛奶中的含钙量为：226mg∶200g = 226mg∶200000mg = 0.00113； (4)豆腐中的含钙量为：390g ：500000g = 0.00078; 答：因为0.00113>0.0008>0.00078>0.00066，所以这四种食物中，牛奶的钙含量最高，菠菜的钙含量最低. 题型04 根据比的基本性质（化简）两项之比 【典例1】化简下面各比． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查化简比，根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比． （1）比的前项和后项同时除以4； （2）先变成整数比，比的前项和后项同时乘以再同时除以3； （3）先变成整数比，然后比的前项和后项同时除以14； （4）先统一单位，然后比的前项和后项同时除以除以它们的最大公因数． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】化简比 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了化简分数之比，根据比的性质比的前后项都乘以各分母的最简公分母即可. 【详解】（1）解：； （2）. 【变式2】化简下列式子 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比的化简，先将小数化成整数，然后除以最大公约数即可； 【详解】（1）解：； （2）； 【变式3】化简比并求比值． (1)500克千克 (2) 【答案】，； (2)，600 【分析】本题考查了比的基本性质，求比值．根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比；用比的前项除以后项，所得的商即为比值． （1）先统一单位，再根据比的基本性质化简比，然后求比值即可； （2）先统一单位，再根据比的基本性质化简比，然后求比值即可． 【详解】（1）500克千克克克 ， ； （2） ， ． 【变式4】小丽调制了两杯蜂蜜水，甲杯用了25毫升蜂蜜和200毫升水，乙杯用了30毫升蜂蜜和120毫升水． (1)甲乙两杯蜂蜜水的蜂蜜和水的比分别是多少？ (2)哪杯蜂蜜水更甜？ 【答案】(1)甲：，乙： (2) 乙 【分析】本题考查了比例的性质和比例的应用； （1）分别将甲乙两杯中的蜂蜜比上水，再化简，即可解题； （2）比较两杯蜂蜜水蜂蜜和水的比值大小即可解答． 【详解】（1）解：， ， 答：这两杯蜂蜜水的蜂蜜和水的比分别是和． （2）解：因为1：8=，1：4=且< 所以，乙杯蜂蜜水更甜． 题型05 求三项连比 【典例1】已知 ，，求 的最简整数比． 【答案】． 【分析】本题主要考查了求三项连比，先将两项之比都化为整数比，根据题意可求出，，再寻找公共项b的最小公倍数，据此可求出答案． 【详解】解：因为=4：7，因为=28：5， 又因为， 所以． 【变式1】把下列各比化为最简整数比：． 【答案】 【详解】本题考查了比例的化简，先统一单位，再化简为最简整数比即可求解． 【解答】解：，， ∴． 【变式2】已知，，求最简整数比． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三项连比，先将两项之比都化为整数比，先化简，然后结合，再寻找公共项b的最小公倍数，据此可求出答案． 【详解】解：因为， ， 所以． 【变式3】已知，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三项连比，先将两项之比都化为整数比，据此可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式4】已知，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三项连比，先将两项之比都化为整数比，再寻找公共项c的最小公倍数，据此可求出答案． 【详解】因为a：c， 因为， 所以，， 又因为，， 合并得． 答：． 题型06 求比例尺 【典例1】在一幅地图上，用长为3厘米的线段表示实际距离900千米． (1)这幅地图的比例尺是多少？ (2)在这幅地图上量得甲、乙两地之间的距离是厘米，甲、乙两地的实际距离是多少千米？ (3)有一条长是480千米的高速公路，在这幅地图上的长是多少厘米？ 【答案】(1) (2)750千米 (3)厘米 【分析】本题考查了比例尺，掌握相关的知识点和运算是解题的关键． （1）比例尺=图上距离∶实际距离，将1千米＝100000厘米，单位统一，再根据比的基本性质，前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；将前项化为1，可化简得出比例尺． （2）根据实际距离=图上距离比例尺，比例尺可化为分数形式，运用分数除法计算得出结果，再根据千米和厘米之间的进率转换单位． （3）先根据千米和厘米之间的进率转换单位，再根据图上距离=实际距离比例尺，运用分数乘法计算得出结果，即可解答． 【详解】（1）解：实际距离为厘米， 则900千米＝90000000厘米， 比例尺为． 答：比例尺为． （2）， 厘米 千米． 答：甲、乙两地的实际距离是750千米． （3）480千米＝48000000厘米， （厘米）． 答：这幅地图上的长是厘米． 【变式1】甲、乙两地实际相距，在地图上，用表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例尺的定义，但要先注意把单位统一，然后再根据定义求出答案． 【详解】解：实际距离，图上距离， 则比例尺． 故答案为：． 【变式2】在一幅地图上，用3厘米表示实际距离150千米，这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求比例尺． 根据比例尺图上距离实际距离计算即可． 【详解】解：150千米厘米， 比例尺， 故选：D． 【变式3】实际生产和生活中还有一种比例尺很特殊，如20∶1，它表示图上( )厘米代表实际距离( )厘米，它是把实际距离( )（填“放大”或“缩小”）． 【答案】 20 1 放大 【分析】本题主要查了比例尺， 根据比例尺是图上距离与实际距离的比，前项表示图上距离，后项表示实际距离，可知比例尺表示图上距离是实际距离的20倍，因此实际距离被放大． 【详解】解：比例尺中，前项20表示图上距离，后项1表示实际距离，因此图上20厘米代表实际距离1厘米， 所以图上距离大于实际距离，则是把实际距离放大． 故答案为：20；1；放大． 【变式4】在比例尺为的地图上，量得潢川县彩虹桥长为5厘米，一个修桥队50天修千米，照这样计算，彩虹桥实际竣工还需要多少天？ 【答案】450天 【分析】本题主要考查了比例尺的应用、比例的应用等知识点，掌握实际距离＝图上距离÷比例尺是解题的关键． 先运用比例尺求出潢川县彩虹桥长的实际距离，再求出未完成的历程，设彩虹桥实际竣工还需要x天．然后列比例式求解即可． 【详解】解：设彩虹桥实际竣工还需要x天． ， ． 答：彩虹桥实际竣工还需要450天． 题型07 判断四个量是否成比例 【典例1】下列每组中的两个比可以组成比例吗？把组成的比例写在括号里． （1）和( ) （2）和( ) 【答案】(1) (2) 不可以组成比例 【分析】本题考查了比例的意义，掌握比例的意义及比值的求法是解题的关键． 表示两个比相等的式子叫比例，据此分别求出各组比的比值，比值相等的，将两个比用等号连接写出比例即可． 【详解】（1）因为，， 所以； （2）因为，， 所以 所以和不可以组成比例； 【变式1】下面两个比可以组成比例的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，求比值，比例的定义，掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：A．，， ∵， ∴和不能组成比例，故A不符合题意； B．，， ∴和能组成比例，故B符合题意； C．，， ∵， ∴和不能组成比例，故C不符合题意； D．，， ∵ ∴和不能组成比例，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】下面的比能与组成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查比例的意义，关键是计算出四个选项中哪个比的比值与的比值相等． 先求出的比值，再分别求出四个选项中每个比的比值，哪个比的比值与的比值相等，即可与组成比例． 【详解】解：， A、，不可以与组成比例； B、，不可以与组成比例； C、，不可以与组成比例； D、，可以与组成比例． 故选：D． 【变式3】判断对错：用6、8、9、10这四个数可以组成比例．( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的定义，根据比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，判断是否存在两对数的乘积相等． 【详解】解：若四个数能组成比例，则必有两数的积等于另外两数的积，计算最大两数和中间两数的乘积： 因为，8×9=72， 所以8×9，因此无法满足比例的基本性质． 故答案为：． 【变式4】有2、3、6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是（    ） A．1 B．4 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了比例，根据比例的定义进行即可． 【详解】解：，，，而12则不能与这3个数组成比例； 故选：D． 题型08 求比例式中的未知量 【典例1】解比例． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，掌握比例方程的计算方法是解题关键． 根据比例的基本性质，外项积等于内项积，化简计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式1】解下列方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】本题考查运用比例的基本性质解答比例方程． （）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，两边再同时除以； （）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，两边再同时除以； （）先计算出，再根据比的基本性质（比的前项=比的后项×比值）列方程求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ， 【变式2】如果4是8和的比例中项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项，根据比例中项的定义得出，求解即可，熟练掌握比例中项的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵4是8和的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】填空 （1） ( ) （2） ( ) 【答案】 （1） 4 （2） 【分析】本题主要考查可比例的性质，根据比例的基本性质，比的外项之积等于内项之积，据此计算未知数即可． 【详解】解：设两题中的未知数分别为、，由题意得： （1），，， 所以， （2），，， 所以， 故答案为：4；． 【变式4】求未知数x． ． 【答案】 【分析】用整体思维把两个括号内的代数式看成一个整体，分别看成比的前项和后项根据比例的性质计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 题型09 比例的实际问题——照这样计算 王华5天看完一本115页的书，照这样的速度，要看207页的一本书，需要多少天？（用比例方法解答） 【答案】天 【分析】本题主要考查了比例的应用，准确计算是解题的关键． 根据正比例关系，每天看的页数一定，看的页数与天数成正比例，设未知数列方程求解． 【详解】解：设需要天， ， ， ， ， 需要天． 【变式1】小明家距离外婆家大约有580千米，汽车每100千米耗油升，按这个耗油量，出发时加满45升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答） 【答案】能到外婆家． 【分析】本题考查了比例的应用． 设45升汽油能行驶x千米，根据耗油量与行驶距离成正比例关系，列出比例方程求解，再与外婆家距离比较即可． 【详解】解：设45升汽油能行驶x千米， 根据题意，耗油量与行驶距离成正比例，有， 即， ， ， ， ， 答：能到外婆家． 【变式2】将本相同厚度的书叠起来，它们的高度为厘米，如果将本这样的书叠起来，那么新的高度是多少？（用比例方法解题） 【答案】厘米 【分析】本题考查比和比例，掌握相关知识是解决问题的关键．设新的高度是x厘米，由题意可知，根据两内项之积等于两外项之积，解方程即可． 【详解】解：设新的高度是x厘米，由题意： ， ， 答：新的高度是厘米． 题型10 比例的实际问题——按比例分配 【典例1】《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜和锡各多少千克？ 【答案】铜150千克，锡30千克 【分析】本题考查了按比分配问题、比的意义、比的应用．根据比的意义，可把含铜的质量看成5份，则锡的质量为1份，总质量为份，用鼎的总质量除以总份数得到每份的质量，再分别乘铜和锡对应的份数，即可得解． 【详解】解法一：（千克）， 铜的质量为（千克）， 锡的质量为（千克）， 即这个鼎含铜150千克，锡30千克． 解法二：设这个鼎含铜含锡分别为5x千克和x千克，由题意得 5x+x=180 x=30 5x=150 答：这个鼎含铜150千克，锡30千克． 【变式1】我校金螺号校园文化节共有120件学生作品获奖，其中五六年级获奖作品共占，且五六年级获奖作品数量比为，五六年级各有多少件作品获奖？ 【答案】五年级21件，六年级27件 【分析】本题主要考查了按比分配问题、求一个数的几分之几的问题，熟练掌握“先求部分总量，再按比例分配”是解题的关键．先求出五六年级获奖作品总数，再按比例分配求出五、六年级各自的获奖数． 【详解】解：， ， （件）， 五年级：（件）， 六年级：（件）， 答：五年级有21件作品获奖，六年级有27件作品获奖． 【变式2】石硫合剂是用石灰、硫磺和水按的比配制而成的．现在张叔叔要配制这种石硫合剂，张叔叔要准备石灰、硫磺、水各多少千克？ 【答案】石灰，硫磺，水 【分析】根据比例，计算总份数，再求每份质量，最后乘以各份数得各成分质量． 本题考查了比的意义，计算出每一份的质量是解题的关键． 【详解】解法一：石灰、硫磺和水的比例是，总份数为份． 石硫合剂总质量为，每份质量为． 石灰质量：； 硫磺质量：； 水质量：． 答：张叔叔要准备石灰2.5千克、硫磺5千克、水25千克． 解法二：设分别需要石灰、硫磺和水为x千克，2x千克和10千克，由题意得 x+2x+10x=32.5 x=2.5 2x=5,10x=25 答：张叔叔要准备石灰2.5千克、硫磺5千克、水25千克． 1．在括号内填上适当的数 ( )：   ( ) 【答案】 16 45 【分析】本题考查比的意义，根据比的意义列式计算即可． 【详解】解：因为， 所以； 因为， 所以． 故答案为：，． 2． 在中，4是比的( )项，8是比的( )项，比值是( ) 【答案】 前 后 / 0.5/ 【分析】本题考查了比的读法、写法及各部分的名称、求比值，解题关键是掌握比的意义：两个数相除又叫做两个数的比；比的各部分的名称：前项后项比值；用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值；比值表示一个数，可以是整数、小数或最简分数．据此填空即可． 【详解】解： 即在中，4是比的前项，8是比的后项，比值是或， 故答案为：前；比号；后；；． 3．下列四组数中，能组成比例的是（    ） A．3，6，7和15 B．，，1和3 C．3，4，5和6 D．2，3，4和8 【答案】B 【分析】本题考查了四个数成比例，根据成比例的概念，最大值与最小值相乘，另外两个相乘，它们的积相等，则成比例，由此即可求解． 【详解】解：A、，不能成比例，不符合题意； B、，能成比例，符合题意； C、，不能成比例，不符合题意； D、，不能成比例，不符合题意； 故选：B ． 4．下列各组数中，不能组成比例的是（   ） A．2，3，4，6 B．1，2，4，8 C． D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查比例式，解题的关键是能够根据四个数找到它们之间的比例关系． 根据比例的定义，把能够组成比例的选项写成比例式． 【详解】A选项：； B选项：； C选项：； D选项不能组成． 故选：D． 5．白兔比黑兔多，白兔与黑兔的比是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比的意义，解题的关键是掌握比的意义，根据题意能够灵活的求出比． 把黑兔看作份，根据题意，白兔就是份，得到它们的比． 【详解】解：把黑兔看作份，白兔比黑兔多，也就是白兔比黑兔多份，则白兔是份，所以白兔与黑兔的比是． 故选：D． 6. 如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的，则大长方形面积与小长方形面积的比值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查长方形的面积以及比值，根据题意，列出比例式是关键．设阴影部分的面积为k，可得大长方形的面积为，小长方形的面积为，进而即可求解． 【详解】解：设阴影部分的面积为k， ∵阴影部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的， ∴大长方形的面积为，小长方形的面积为， ∴大长方形和小长方形的面积的比值为． 故选D． 7. 的比值是 ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查了比的性质，求比值，解题的关键是熟练掌握比的基本性质． 根据比的基本性质求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．把11克盐溶解在100克水中，盐与盐水的比是 ，水占盐水的 ． 【答案】 11∶111； 【分析】本题考查比和分数的应用，解题的关键是先求出盐水的总质量． 先计算盐水的总质量（盐的质量+水的质量），再分别求出盐与盐水的比以及水占盐水的比例． 【详解】解：盐水的总质量为盐的质量加上水的质量，即克， 盐与盐水的比：盐的质量是11克，盐水质量是111克，所以盐与盐水的比是， 水占盐水的比例：水的质量是100克，盐水质量是111克，所以水占盐水的． 故答案为：①11：111；②． 9．甲数比乙数多，甲、乙两数的比是________，乙数是甲数的________(填分数) 【答案】 ； 【分析】本题考查了比的转化关系，设乙为单位“1”；则甲为，根据题意即可求解即可. 【详解】解：①设乙为单位“1”；则甲为 所以 故答案为： ； ② 故答案为：. 10. A、B两地间的实际距离米，画在地图上的距离厘米，比例尺是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可． 【详解】解：实际距离米厘米，图上距离厘米， 比例尺=图上距离:实际距离． 故答案为：． 11．求比值． (1) (2) (3) (4)吨∶800千克 【答案】(1) (2) (3)0.4 (4) 【分析】此题考查求比值的方法，比的前项除以后项，即可求出比值． （1）用前项0.625除以后项，求出比值； （2）用前项除以后项，求出比值； （3）用前项0.4除以后项1，求出比值； （4）将单位统一到千克，再将前项除以后项即可求出比值． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）吨千克千克千克． 12． 把下列各比化成最简整数比： (1)15分钟:小时； (2)::． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比的化简，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将小时化为分钟，再求解； （2）先将百分数化为分数，再求解． 【详解】（1）解：小时分钟， 15分钟：小时 ； （2）：： ． 13．已知，，求． 【答案】 【分析】本题考查了比例的化简．掌握比和除法的关系是解题关键． 利用比例的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 14．已知，，求（结果写成最简整数比）． 【答案】 【分析】本题考查了比的性质，掌握比的性质是解题的关键． 先根据比的性质将化简，用含有相同的数字的b连接比，并整理即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 15．下面哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来． （1）4，5，12和15 （2）2，3，4和5 （3）1.6，6.4，2和5 （4）和 【答案】（1）可以组成比例，可组成（答案不唯一）；（2）不可以组成比例；（3）不可以组成比例；（4）不可以组成比例． 【分析】判断下面每组中四个数能否组成比例，可根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，来判断即可． 【详解】解：（1）因为， 所以4，5，12和15可以组成比例，可组成（答案不唯一）； （2）因为， 所以2，3，4和5不可以组成比例； （3）因为， 所以1.6，6.4，2和5不可以组成比例； （4）因为，， 所以和不可以组成比例． 16．解比例． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解比例、应用等式的性质2解方程，解题的关键是掌握解比例的步骤． （1）先根据比例的基本性质把比例转化成，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以即可； （2）先根据比例的基本性质把比例转化成 ，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以并进一步计算； （3）先根据比例的基本性质把比例转化成，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以并进一步计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17.王亮6分钟走了300米，李明用的时间是王亮的1.5倍，王亮与李明的速度比是多少？ 【答案】 【分析】此题是考查比的意义及化简．关键是根据路程、速度、时间三者之间的关系求出王亮、李明的速度． 根据“速度路程时间”，用300米除以6分钟就是王亮的速度，用300米除以分钟就是李明的速度．根据比的意义即可写出王亮与李明的速度比． 【详解】解：（分钟） 或 答：王亮与李明的速度比是． 18．王师傅 小时加工 个零件．照这样的速度，王师傅 分钟可以加工多少个零件？（用比例方法解题） 【答案】 个 【分析】本题主要考查了比例的应用．设王师傅 分钟可以加工x个零件，根据“王师傅 小时加工 个零件”，可得，即可求解． 【详解】解：设王师傅 分钟可以加工x个零件，根据题意得： ， ， 解得：， 答：王师傅 分钟可以加工600个零件． 19．制作一种面包，面粉、水、白糖的比例为．现有面粉450克，制作这种面包，还需水和白糖各多少克？ 【答案】水315克；白糖9克 【分析】本题考查了按比分配问题、比的意义、比的应用，根据比的意义，把面粉的质量看作50份，水的质量看作35份，白糖的质量看作1份，用450除以50可计算每份的质量，再用每份的质量分别乘水和白糖所对应的份数即可得解． 【详解】解：（克） 水：（克） 白糖：（克） 答：还需水315克，白糖9克． 20．京剧是中国的国粹．近年来，京剧得到更多年轻人的喜爱．据统计，清远某校有60名年轻教师喜爱京剧．其中，男教师和女教师的人数之比是，喜爱京剧的男教师和女教师各有多少名？ 【答案】男老师：35名；女老师：25名 【难度】0.65 【分析】本题考查了按比例分配，根据题意可知，男教师和女教师的人数比是，即把清远某校喜爱京剧老教的人数分成了份，用清远某校喜爱京剧老教人数÷总份数，求出1份是多少，进而求出喜爱京剧的男老教人数和女老教人数，据此解答． 【详解】（份） （名） （名） 答：喜爱京剧的男教师有35名，女教师有25名． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $