第8章 8.3 实数及其简单运算-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

8.3实数及其简单运算 第1课时实数的概念 要点提示 1.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数 2.实数的概念：有理数和无理数统称实数。 3.实数的分类：(1)按定义分类 (2)按正负分类 (正有理数】 正有理数 有限小数或无 正实数 有理数0 正无理数 限循环小数 实数 负有理数 实数0 正无理数】 (负有理数 无理数 无限不循环小数 负实数 负无理数 负无理数 4.实数与数轴：(1)当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的，点是一一对的，即每一个实数都可以 用数轴上的一个点来表示：反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.(2)对于数轴上的任意两个点，右边 的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 O1固基础 负实数集合：{ …} 知识点1无理数 知识点3实数与数轴上的点及大小比较 1.(2025赣州南康区期中)在实数中，是无理数 4.(2025山西)下列各数中比一3小的数是 的是 A号 B.3 C.3-8D.√16 A.-4 B.-2 C.-1 D.3 5.下列各组数大小比较正确的是 ( 知识点2实数及其分类 A.-3>0 B.√3>2 2.下列说法正确的是 A.正实数和负实数统称为实数 C.-5<-√3 n2<6 B.正数、0和负数统称为有理数 6.(2025扬州)如图，数轴上点A表示的数可 C.带根号的数和分数统称为实数 能是 D.无理数和有理数统称为实数 A 3.(教材变式)把下列各数分别填入相应的集 -1012345 第6题图 合里 A.2 B.√3 C.7 D.√10 0-7,-登-3.145 5 易错点对无理数的概念理解不准确 0.4343343334…(相邻两个4之间依次多 而出错 一个3) 7.在实数开，13 46,0.14149,0.1010010001 无理数集合：{ 1 …} (相邻两个1之间依次多1个0)，一 W16 分数集合：{ …}; 1-√2,0.15中，无理数有 个. 6 数学七年级RJ版 之02提能力之 。。。。。。 ……之O3拓思维心 8.若a为实数时，a=一a,则实数a对应的 14.如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数 点在数轴上的位置在 轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点O A.原点的右侧 B.原点的左侧 到达点A,设点A表示的数为a. C.原点或原点的右侧D.原点或原点的左侧 (1)a的值为 9.如图，下列各数是无理数且对应的点在线段 (2)求-(%+-27-1)-元的算术平 AB上的是 方根. 2 -3-2-101B23 第9题图 -1012 A.0 B.√2-1 C.-9 D.元 10.若有理数a,b满足a十√2=3十b√2，则a ,b= 1.若。6为实数，且满足(。+品》°+6可 =0,则√a5= 15.运算能力已知实数a,b满足关系式 |a2-91+√a2-4b-1=0. 12.小明设计了一个如图所示的电脑运算 (1)求a,b的值. 程序 (2)判断a十6是有理数还是无理数，并说 入 取算木 取立 平方根 方根 有理数 输出 Y值 明理由. 否 第12题图 (1)当输入的x值是64时，输出的y值是 (2)经分析发现，当输入的x值取 时，该程序无法输出y值 13.请将下图中数轴上标有字母的各点与下列 实数对应起来，再把下列各数用“>”连接 起来。 1.5,-2.7,-10,π√5，-3. 90” 下册第八章 第2课时实数的有关运算 要点提示 1.实数范围内的相关概念：(1)相反数.数a的相反数是一a,这里a可以表示任意一个实数.(2)绝对值.一个正 实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即对于任意实数a,有|a|= a(a>0), 0(a=0),(3)实数的大小.正实数都大于0；负实数都小于0；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数， -a(a<0) 绝对值大的数反而小， 2.实数的运算：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运 算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的 运算法则及运算性质等同样适用 O1固基础 知识点2实数的运算 知识点① 实数的性质 5.计算|27|+|-√16|十√4-⑧的值是 ( 1.一√9的绝对值是 A.1 B.±1 C.2 D.7 A- 1 B.9 C.-3 D.3 6.如图所示的是一个简单的数值运算程序.当输 2.下列各组数中，互为相反数的一组是( 入x的值为16时，输出的数值是 /输入☑√x÷2+1输出/ A.5和W(5)2 第6题图 B.-|一√2|和一(-√2) 7.计算： C.-8和一8 (1)(2025内蒙古节选)|一5|十√4十（一6） D.-5和5 3.√5一2的相反数的绝对值是 4.(教材变式)写出下列各数的相反数和绝 对值： (2)(2025上饶弋阳期中)2√2+√3-(3一 5万-5，-2 √2). 31 （3)(2025安庆太湖期中)-27-6- 1 63 +30.125+1 64 数学七年级RJ版 (1)一18，一8，一2这三个数是“完美组合 易错点求特殊的负无理数的相反数 数”吗？请说明理由. 时因符号导致出错 (2)若三个数一3，m,-12是“完美组合 8.√2一√3的相反数是 数”，其中有两个数乘积的算术平方根为 13.14-π|= 12,求m的值. … 02提能力之 9.计算|3一√5|+√(3-π)产的结果是( ) A.√5-π B.-√5+π C.√5+π D.6+元 10.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所 示，且a=一√2，b=√5，则化简a-√ 一|a一b|的结果为 () b 第10题图 A.-2√2 B.-2√3 O3拓思维)心 ，。,。 C.0 D.23 15.(2025赣州信丰期末)大家知道√2是无理 11.若一个数a的相反数等于它本身，则√3a 数，因此√2的小数部分我们不可能全部写 -5√2a2+1+2a-8= 出来，但是可以用√2一1来表示√2的小数 12.如图，数轴上A,B两点对应的实数分别是 部分.因为√2的整数部分是1，将这个数减 1和√3.若AB=BC,则点C所对应的实数 去其整数部分，差就是小数部分.例如：√4 为 <√7<√，即2<√7<3，所以√7的整数部 A 01V3 分为2，小数部分为√7一2. 第12题图 (1)√37的整数部分是 ,小数部分 13.定义一种新运算：对于任意实数a,b,都有 是 a☒b=√a-万.25☒8+1☒(-1)的值为 (2)若√I的整数部分为a,√15的整数部 分为b,则7a+2b的立方根为 14.新定义题我们知道，负数没有算术平方根， 但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积 (3)已知9十√5=x十y,其中x是整数，且 的算术平方根都是整数，则称这三个数为 0<y<1,求x-y的值. “完美组合数”.例如：一9，一4，一1这三个 数，√(-9)X(一4)=6，√（一9）X(-1)= 3,√(-4)×（一1）=2，其结果6,3,2都是 整数，所以一9，一4，一1这三个数为“完美 组合数” 下册第八章8.3实数及其简单运算 第1课时实数的概念 1.B2.D 3.解：无理数集合：{-，√49,0.4343343334（相 邻两个4之间依次多一个3)，…： 分数袋合：-814后… 5 负实数集合--受-… 4.A5.C6.C 11 7.4【解析】-√6=-4 故题中所给的数中，无理数有，万0.10101001…（相 邻两个1之间依次多1个0)，1一√2，共4个 8.D【解析】：√a2=-a,a=0或a<0,.实数a对 应的点在数轴上的位置是原点或原点的左侧. 9.B【解析】A.0是有理数，不符合题意；B.:1<√2< 2,.0<√2-1<1，√2-1是无理数且对应的点在线段 AB上，符合题意：C.-9<一8=-2，∴.一9表 示的点不在线段AB上，不符合题意；D.π>3，∴.π表 示的点不在线段AB上，不符合题意， 10.31 【解折(。+品》+V6=-0. 8 a3+27 =0,b-2=0, …a=- 36=2, ∴瓜-√-T=号 12.(1)2(2)0或1或负数【解析】(1)当x=64时， √64=8,8是有理数，√8=2,2是有理数，√2是无理 数，y=√2. (2)当x=0或1时，0和1的算术平方根和立方根都 是它本身，无法通过程序得到无理数， ∴.该程序无法输出y值. 负数没有算术平方根， .当x是负数时，该程序无法输出y值 综上所述，当输入的x值取0或1或负数时，该程序 无法输出y值. 13.解：点A:-√10；点E:-2.7;点B:-3;点D:1.5; 点F:W5;点C:π π>5>1.5>-3>-2.7>-10. 10 数学七年级RJ版 14.解：(1)-2π (2)-(g+-27-1)-元=-(-x+-27-1) -π=9/27+1=4. :4的算术平方根为2， ·-(2+27-1)一x的算术平方根为2： 15.解：(1).|a2-9+/a2-4b-1=0, .a2-9=0,a2-4b-1=0, 解得a=士3，b=2. (2)当a=3,b=2时，a+6是有理数；当a=-3,b =2时，a十6是无理数.理由如下： 由(1)，得a=士3，b=2. 当a=3,b=2时， a+6=/3+6=√9=3， ∴.当a=3,b=2时，a十6是有理数； 当a=-3,b=2时， a+6=-3+6=5, ∴.当a=-3,b=2时，a+6是无理数 第2课时实数的有关运算 1.D2.B 3.√5-2【解析】V5-2的相反数是2-√5,2-√5的绝 对值是5-2.故√5-2的相反数的绝对值是√5-2. 4解：-57-5，一号的相反数分别是55- -5厅-后，-号的绝对值分别是后万-5， 5.D【解析】原式=3十4十2-2=7. 6.3 7.解：(1)原式=5+2-2=5. (2)原式=2√2+√5-√3+√2=32. 原式-3-0+名+-2是 8.√5-2π-3.14 9.B【解析】原式=3一√5十π一3=一√5十π. 10.B【解析】√a-√6-|a-bl=√2-√3-|-√2 -√3|=√2-3-√2-√3=-23. 11.-912.2√3-1 13.5【解析】原式=√25-8+T-一=5-2+1 -(-1)=5. 14.解：(1)-18，一8，-2这三个数是“完美组合数”.理 由如下： √/(-18)X(-8)=12,√-18)×(-2)=6， /(-8)×(-2)=4, .一18，一8，一2这三个数是“完美组合数”. (2):√-3)X(-12)=6, .分两种情况讨论：当√一3m=12时，一3m=144, ∴.m=-48; 当√一12m=12时，-12m=144,∴.m=-12(不符 合题意，舍去) 综上，m的值是一48. 15.解：(1)6/37-6 (2)3 (3).2<5<3,∴.11<9+√5<12. 9十5=x十y,其中x是整数，且0<y<1, .x=11,y=9+√5-11=√5-2， .x-y=11-(5-2)=13-5. 【解析】(2)√I的整数部分为a,3<√I<4, .a=3. √5的整数部分为b,3<√15<4， .b=3,∴./7a+2b=9/7×3+2×3=/27=3, .7a+2b的立方根为3. 本章小结 1.D2.D 3.A【解析】/-3-/2x+I=0, .x-3=/2x十I, .x-3=2x+1,解得x=-4, ∴.x2+x-3=16-4-3=9, x2+x一3的算术平方根为√=3. 4.D【解析】由题意可知，m=3,n=1, .(m十n)3=43=64. :64的平方根为士8， .(m十n)3的平方根为士8. 5.2 6.士2【解析】由题意知，x=0,|y一1|=0，/之一2 =0, 解得x=0,y=1,z=2, .(x-yz)2=(0-1×2)2=4. ,4的平方根为士2， .(x-yz)2的平方根为士2. 7.C8.A 9.D【解析】：数轴上点A到原点的距离为1，且点A 在原点的左侧， .点A表示的数是一1， ∴数轴上到点A的距离为√的点所表示的数是一1一 √2或-1十√2. 10.2-√52-√3 11.-b【解析】由图可知，a<0<b,.a-b<0,.原式 =-a十a-b=-b. 12.C【解析】：3<4<5，√3<√<5， ∴.√3<2<5，即a>b>c. 13.D【解析】.3600<4023<4225， .√3600<√4023<√4225，即60<√4023 <65. 14.315.3(答案不唯一)16.B17.√2-3 18.解：(1)该长方形信封的长、宽之比为3：2， .设该长方形信封的长为3.xcm,宽为2.xcm. 由题意，得3x·2x=420, x=√70（负值已舍去）， .该长方形信封的长为3√70cm,宽为2√7而cm. (2)面积为256cm°的正方形贺卡的边长是16cm. 70>64,∴.√70>8， ∴.2√70>16，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴.小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封 19.解：设截去的每个小正方体的棱长为xcm. 依题意，得1000-8.x3=488, .x3=64,解得x=4. 故截去的每个小正方体的棱长为4cm. 第九章平面直角坐标系 9.1用坐标描述平面内点的位置 9.1.1平面直角坐标系的概念 1.D2.D3.B4.55.D 6.(1)(-7,6) (2)(-7,-6)或(7，-6) (3)(-7,6)或(-7，-6) 7.C8.C 9.B【解析】由题意，得m=一3，n=4, ∴.m十n=-3+2=-1. 10.1 1.(片，-号》)【解折1：点P(2m+3.3m-1D在第二、 四象限的角平分线上， 2m十3=-(3m-1),解得m=-5, 2 2m+3=2x(-2)+8=号8m-1=3x(-2) -1= 下册参考答案