第08讲 实数及其简单运算（7个知识清单+11类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

第08讲 实数及其简单运算 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01无理数..............................................................................................................................................................................4 题型02无理数的大小估算..........................................................................................................................................................6 题型03无理数整数部分的有关计算..........................................................................................................................................8 题型04实数概念理解..................................................................................................................................................................10 题型05实数的分类......................................................................................................................................................................12 题型06实数的性质.....................................................................................................................................................................15 题型07实数与数轴.....................................................................................................................................................................17 题型08实数的大小比较.............................................................................................................................................................18 题型09实数的混合运算.............................................................................................................................................................21 题型10新定义下的实数运算.....................................................................................................................................................22 题型11与实数运算相关的规律题.............................................................................................................................................26 分层练习.......................................................................................................................................................................................28 夯实基础.......................................................................................................................................................................................28 能力提升.......................................................................................................................................................................................40 知识点1．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点2．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点3．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点4．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点5．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点6．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点7．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 题型01无理数 1．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）在实数，2.3333，，，中，为无理数的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数3.1415926，，1.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数有 个． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）判断下列各数是有理数还是无理数． （每相邻两个1之间逐次增加一个0），． 题型02无理数的大小估算 4．（24-25七年级下·全国·期中）估计的值（   ） A．在和之间 B．在和0之间 C．在0和1之间 D．在1和2之间 5．（23-24七年级下·福建福州·期中）若，则整数可以是 （写出满足条件的一个即可）． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）【阅读理解】 【问题探索】若的小数部分是b，求的值． 题型03无理数整数部分的有关计算 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．若的整数部分和小数部分分别是，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 题型04实数概念理解 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）的值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 12．（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 题型05实数的分类 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和无理数都是实数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024七年级下·全国·专题练习）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的括号内： （相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 整数：{           …}； 负数：{           …}； 分数：{           …}； 有理数：{           …}； 正数：{           …}； 无理数：{           …}． 题型06实数的性质 16．（2025七年级下·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·全国·周测）的倒数是 ，绝对值为的实数是 ． 18．（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 题型07实数与数轴 19．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，数轴上A，B两点所表示的实数分别是和，C是线段的中点，则线段的长度是（   ） A． B．2 C． D． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在数轴上，点分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等．若，则点B表示的数是 ． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）请将下图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用“>”连接起来． 1.5，． 题型08实数的大小比较 22．（2025七年级下·全国·专题练习）下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）比较大小： 2．（填“”或“”） 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和6； (2)和2.3； (3)2，3，； (4)4，，． 题型09实数的混合运算 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是有理数的是（   ） A． B． C． D． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 27．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1) (2) 题型10新定义下的实数运算 28．（23-24七年级下·重庆渝中·期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②若（n是整数），则； ③若，，，则所有可能的值为，，； ④方程的解为或． A．个 B．个 C．个 D．个 29．（2025七年级下·全国·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：．例如，则 ． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 题型11与实数运算相关的规律题 31．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 32．（20-21七年级下·福建莆田·期中）若，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，，，则在，，…，中，取值为2的个数为 ． 33．（20-21七年级下·全国·课后作业）小明做数学题时，发现①； ②，即； ③，即； ④，即，… （1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想． （2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！ 夯实基础 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．下列四个数：，1，，其中最小的数是（　　） A． B．1 C． D． 3．已知a为正整数，且则a等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 5．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．的相反数是 ，绝对值是 ． 10．化简： ． 11．用“<”连接下列各数，，，的结果是 ． 12．在实数，0.1414，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数有 个． 13．对于任意非零实数a，b，定义运算“”如下： ，则 ． 14．把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 三、解答题 15．求下列各数的相反数与绝对值： 2.5，，，，0． 16．计算： 17．（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ （2）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ （3）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ 18．比较下列各组数的大小． (1)与； (2)5与． 19．计算： (1)； (2)． 20．如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 能力提升 一、单选题 21．给出下列实数：、、0、、、、（每相邻两个1之间依次多一个0），其中分数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 22．如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是 ．    24．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)． 26．（1）若a是的平方根，b的一个平方根是2，求式子的立方根； （2）实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求式子的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 实数及其简单运算 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01无理数..............................................................................................................................................................................4 题型02无理数的大小估算..........................................................................................................................................................6 题型03无理数整数部分的有关计算..........................................................................................................................................8 题型04实数概念理解..................................................................................................................................................................10 题型05实数的分类......................................................................................................................................................................12 题型06实数的性质.....................................................................................................................................................................15 题型07实数与数轴.....................................................................................................................................................................17 题型08实数的大小比较.............................................................................................................................................................18 题型09实数的混合运算.............................................................................................................................................................21 题型10新定义下的实数运算.....................................................................................................................................................22 题型11与实数运算相关的规律题.............................................................................................................................................26 分层练习.......................................................................................................................................................................................28 夯实基础.......................................................................................................................................................................................28 能力提升.......................................................................................................................................................................................40 知识点1．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点2．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点3．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点4．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点5．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点6．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点7．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 题型01无理数 1．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）在实数，2.3333，，，中，为无理数的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握如π， ，（每两个8之间依次多1个0）这样的无限不循环小数为无理数是解决此题的关键．根据无理数是无限不循环小数，解答即可． 【详解】 解：在实数，2.3333，，，中， 无理数有 ，共有2个， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数3.1415926，，1.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数有 个． 【答案】3 【知识点】无理数、有理数的定义、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了无理数的定义，解题关键是理解无理数的定义，准确进行判断． 根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：在（相邻两个1之间依次增加一个2），中， 是有理数， （相邻两个1之间依次增加一个2），是无理数，共3个， 故答案为：3． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）判断下列各数是有理数还是无理数． （每相邻两个1之间逐次增加一个0），． 【答案】无理数：（每相邻两个1之间逐次增加一个0）；有理数：， 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题主要考查了实数分类，无理数和有理数定义，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．根据无理数是指无限不循环小数，整数和分数统称为有理数进行求解即可． 【详解】解：无理数：（每相邻两个1之间逐次增加一个0）； 有理数：，． 题型02无理数的大小估算 4．（24-25七年级下·全国·期中）估计的值（   ） A．在和之间 B．在和0之间 C．在0和1之间 D．在1和2之间 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．首先先估算出的取值范围，即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·福建福州·期中）若，则整数可以是 （写出满足条件的一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据二次根式的概念把原式变形为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）【阅读理解】 【问题探索】若的小数部分是b，求的值． 【答案】2 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．先根据，得出，从而得出的整数部分是2，根据的小数部分是b，得出是的整数部分． 【详解】解：， ， 的整数部分是2， 又的小数部分是， 是的整数部分， ． 题型03无理数整数部分的有关计算 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．若的整数部分和小数部分分别是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、算术平方根的实际应用 【分析】考查了算术平方根和估算无理数的大小，根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 【答案】1 【知识点】求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得，的值后代入中，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【详解】（1）解：， 即， ， ∴的整数部分是，的小数部分是， ； （2）解：由（1）可知，， ， 的平方根是． 题型04实数概念理解 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的意义、实数概念理解 【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的概念，根据绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：， 故选：． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【知识点】倒数、绝对值的意义、实数概念理解、无理数 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 12．（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【知识点】无理数、实数概念理解、有理数的定义、求一个数的立方根 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 题型05实数的分类 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和无理数都是实数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数可以分为有理数和无理数两大类‌．有理数包括整数和分数，而无理数则是无限不循环小数． 【详解】解：实数可以分为有理数和无理数两大类‌．有理数包括整数和分数， 故①实数包括有理数、无理数和0；说法错误，0属于有理数； ②有理数和无理数都是实数；说法正确； ③正实数和负实数统称为实数，说法错误，实数中，0既不是正数也不是负数； ④实数包括有理数和无理数，但一个实数不是有理数就是无理数，不能实数既是有理数又是无理数．原说法错误； ∴说法正确的有1个， 故选：A． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】见解析 【知识点】实数的分类 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 故答案为：，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，，，；，，，80%；，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的括号内： （相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 整数：{           …}； 负数：{           …}； 分数：{           …}； 有理数：{           …}； 正数：{           …}； 无理数：{           …}． 【答案】，，，，{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），…}，{（相邻两个3之间1的个数依次增加一）， 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数．熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据整数，负数，分数，有理数，整数，无理数的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：， 整数：， 负数：， 分数：， 有理数：， 正数：{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），…}， 无理数：{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 题型06实数的性质 16．（2025七年级下·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，实数的性质，利用负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 17．（24-25七年级下·全国·周测）的倒数是 ，绝对值为的实数是 ． 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了倒数，绝对值的意义，根据乘积为1的两个数互为倒数以及绝对值的意义求解即可， 【详解】解：的倒数是，绝对值为的实数是∶， 故答案为：， 18．（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【知识点】实数的性质 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 【详解】（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 题型07实数与数轴 19．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，数轴上A，B两点所表示的实数分别是和，C是线段的中点，则线段的长度是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】线段中点的有关计算、实数与数轴 【分析】本题考查了实数、数轴和线段的中点，根据数轴上两点之间的距离公式先求出线段的长，再根据线段的中点的定义求出的长即可得解． 【详解】解：∵数轴上A，B两点所表示的实数分别是和， ∴， ∵C是线段的中点， ∴． 故选：A． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在数轴上，点分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等．若，则点B表示的数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、相反数的定义 【分析】此题考查了数轴，相反数，掌握相反数的意义是解本题的关键．根据原点左边的数是负数，由相反数的定义可得答案． 【详解】解：，点分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等． 点B表示的数是． 故答案为：． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）请将下图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用“>”连接起来． 1.5，． 【答案】点；点；点；点；点；点．． 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算，结合数轴，判断出各点表示的数，再根据数轴上的点右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由图可知：点；点；点；点；点；点， ． 题型08实数的大小比较 22．（2025七年级下·全国·专题练习）下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于，大于负数，可知负数最小． 【详解】解：根据正数大于，大于负数， 可知：负数最小， 最小， 故选：B ． 23．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）比较大小： 2．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和6； (2)和2.3； (3)2，3，； (4)4，，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键． （1）根据算术平方根的定义，进而即可求解； （2）根据立方根的定义，进而即可求解； （3）根据立方根的定义可得，比较即可获得答案； （4）结合算术平方根和立方根的定义，首先比较4与的大小，再比较4与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ； （4）解：， ， ， ， ． 题型09实数的混合运算 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、实数的混合运算 【分析】本题考查了无理数的定义，实数运算等知识，根据实数运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，为无理数，故本选项不符合题意； B、，为无理数，故本选项不符合题意； C、，2为有理数，故本选项符合题意； D、是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】3 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查了绝对值，立方根，先根据绝对值，立方根的定义逐项化简，再算加减即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 27．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)或 (2)0 【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，实数的混合运算； （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）先计算算术平方根，绝对值，乘方运算，立方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，        ∴，                      解得：或； （2）解： ； 题型10新定义下的实数运算 28．（23-24七年级下·重庆渝中·期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②若（n是整数），则； ③若，，，则所有可能的值为，，； ④方程的解为或． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．利用新定义的理解对上述①②③④进行判断即可； 【详解】①，， ，故①错误； ②， ， 则或，故②错误； ③，， 则所有可能的值为，，，故③正确； ④， ， 即， ， ， ，故④错误； 综上所述；只有一个正确， 故选：A 29．（2025七年级下·全国·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：．例如，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果． 【详解】根据题意得， ∴． 故答案为：． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，见解析 【知识点】实数的混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，实数混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“平衡数”的定义，即得答案； （2）若与是关于1的“平衡数”，则，求得，但是当时，，即可判断答案． 【详解】（1）解：， 4与是关于1的“平衡数”， ， 与是关于1的“平衡数”； 故答案为：，； （2）解：与不是关于1的“平衡数”． 理由：若与是关于1的“平衡数”， 则， ， 当时，， 故与不是关于1的“平衡数”． 题型11与实数运算相关的规律题 31．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 32．（20-21七年级下·福建莆田·期中）若，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，，，则在，，…，中，取值为2的个数为 ． 【答案】508 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】通过，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，，从而得到1的个数，再由得到2的个数． 【详解】解：∵， 又∵，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数， ∴，，…，中为1的个数是2019−1510＝509， ∵， ∴2的个数为（1525−509）÷2＝508个． 故答案为：508． 【点睛】此题考查完全平方的性质，找出，，…，中为1的个数是解决问题的关键． 33．（20-21七年级下·全国·课后作业）小明做数学题时，发现①； ②，即； ③，即； ④，即，… （1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想． （2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！ 【答案】（1）；见解析（2），见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】（1）参照题目中的计算方法计算即可； （2）依据题目给出的数字可发现规律，按照题目解题方法验证即可． 【详解】解：（1）， 验证：； （2）由① ②； ③； ④， …… 第n个等式是， 验证：． 【点睛】本题考查了算术平方根的化简，解题关键是理解题目中的解法并会运用． 夯实基础 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数．根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是 故选：C． 2．下列四个数：，1，，其中最小的数是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小， 故选：A． 3．已知a为正整数，且则a等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，结合题意根据即可得出答案． 【详解】解：∵a为正整数，且，， ∴， 故选：B． 4．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出，再根据流程图代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 6．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了计算算术平方根，立方根，计算实数的减法，根据计算法则依次计算并判断 【详解】解：A.，故该项不正确； B.，故该项不正确； C.，故该项正确； D.，故该项不正确； 故选：C 7．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．根据数轴可得，再逐一分析各选项的数据即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故A符合题意； ，， ，， 故B，C不符合题意； ， ，故D不符合题意； 故选：A． 8．如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由数轴得到点A分别到点B的距离是解题关键． 由数轴得到，因此，于是，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵面积为S的正方形的顶点A在数轴上， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义即可求出；根据绝对值的性质判断出该数的正负即可求出． 【详解】的相反数是-（）=； ∵＜0， ∴|． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，要求掌握绝对值和相反数的性质及其定义，并能熟练运用到解题当中． 10．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查化简绝对值，判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．用“<”连接下列各数，，，的结果是 ． 【答案】 【分析】先利用两个负数，绝对值大的反而小，比较，的大小，再比较与的大小，可得＜ 结合负数小于正数，从而可得答案. 【详解】解： 而＞ ＜ ＜ 而负数是小于正数的， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟悉平方根与立方根的含义是解题的关键. 12．在实数，0.1414，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：， 实数，0.1414，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数有，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，共4个； 故答案为：4． 13．对于任意非零实数a，b，定义运算“”如下： ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 14．把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】见解析 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 故答案为：，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，，，；，，，80%；，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 三、解答题 15．求下列各数的相反数与绝对值： 2.5，，，，0． 【答案】相反数分别为：，，，，0；绝对值分别为：2.5，，，，0． 【分析】根据实数的性质，分别求相反数与绝对值即可． 【详解】2.5，，，，0的相反数分别为：，，，，0； 2.5，，，，0的绝对值分别为：2.5，，，，0． 【点睛】本题考查了实数的性质，相反数与绝对值的意义，掌握相反数与绝对值的意义是解题的关键． 16．计算： 【答案】9． 【分析】分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式＝9﹣2＋2×＋1＝9． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握各自知识的本质和内涵是解题的关键． 17．（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ （2）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ （3）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ 【答案】（1）有，没有；（2）没有，没有；（3）没有，没有． 【分析】（1）根据1是最小的正整数解答即可； （2）根据没有最小的有理数和无理数解答即可； （3）根据没有最小的实数解答即可． 【详解】解：（1）有最小的正整数，是1，没有最小的整数； （2）没有最小的有理数，没有最小的无理数； （3）没有最小的正实数，没有最小的实数． 【点睛】此题考查实数，关键是根据实数的概念与分类解答． 18．比较下列各组数的大小． (1)与； (2)5与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，无理数的估算． （1）根据，即可得出答案； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，立方根，算术平方根，正确计算是解题的关键： （1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根，立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键． （1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值； （2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 因为与均为非负数， 所以， 所以， 所以原式． 能力提升 一、单选题 21．给出下列实数：、、0、、、、（每相邻两个1之间依次多一个0），其中分数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分数的定义，实数，平方根，解题的关键是熟练掌握分数的定义和平方根． 根据分数的定义求解即可． 【详解】解：， ∴，，，属于分数，共3个； 故选：A． 22．如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由数轴得到点A分别到点B的距离是解题关键． 由数轴得到，因此，于是，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵面积为S的正方形的顶点A在数轴上， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 23．如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是 ．    【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离以及中点的性质，清楚数轴上两点间的距离计算方法是解题关键．首先结合数轴，利用已知条件求出线段的长度，然后根据中点的性质即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上表示，的对应点分别为、， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 24．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，立方根，算术平方根，正确计算是解题的关键： （1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根，立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 26．（1）若a是的平方根，b的一个平方根是2，求式子的立方根； （2）实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求式子的值． 【答案】（1） 2或0； （2） 【分析】本题考查立方根与平方根的概念及实数的运算，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的概念，本题属于基础题型． （1）根据立方根与平方根的概念即可求出答案； （2）根据题意，列出题中隐含的已知条件，然后将其代入所求代数式求值． 【详解】解：（1）∵， ， ∵的一个平方根是 2 ， ， 当时，； 此时的立方根是 2 ， 当时，； 此时的立方根是 0 ， ∴的立方根为： 2 或 0 ； （2）根据题意，得， ，则， 当时， ； 当时， ； 所以，代数式的值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$